М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Второй закон термодинамики для нндивидуальиого объема сплошной среды 24.2. Дифференциальное уравнение энтропии 24.3. Производство энтропии в процессе теплопроводности 24.4. Понятие некомпенсированного тепла 24.5. Неравенство Клаузнуса 24.1. Второй аазгом уерлздйазналзмлм для индивидуального объема сплошной среды Второй закон термодинамики — один из основных законов термодинамики.
Общая математическая формУлировка второго закона термодинамики имеет вид ИЯ = д,Я+ г(!Я, г)!Я > О. (24.!) Рассмотрим некоторый объем сплошной среды г~, ограниченный поверхностью Е, Чтобы написать математическую формулировку второго закона термодинамики для этого объема, нужно составить выражения для всех членов, входящих в (24.!). Введем плотность энтропии з так, чтобы энтропия малой частицы с массой г!пг представлялась в виде зал = зрЛ; а энтропия всего объема К вЂ” в виде Я= / зрдК и Напишем выражение лля притока энтропии за счет массового притока тепла з(,Я„„,, Разобьем объем на малые частицы так, чтобы внутри каждой частицы температуру Т всех точек можно было считать одной и той же. Тогда, согласно формуле (23.4), приток энтропии за счет массового притока тепла к малой частице с массой р г!)г будет Т 24.2. Диефвренннддьвев уравнение знгрогван а ко всему объему $' (24.3) 24.2.
Дифференциальное уравнение энтропии Дифференциальное уравнение энтропии выводится из второго закона термодинамики (24.5). Соотношение (24.5) для непрерывных процессов с использованием формулы дифференцирования по времени интеграла по подвижному индивидуальному объему и с учетом формулы (24.4) можно записать в виде у (24.б) Г йдмасс с2ссмасс == (а Р й3г ° Чтобы получить выражение притока энтропии за счет притока тепла через поверхность Е, разбиваем поверхность Е на малые элементы с2ст, Через поверхность с!гг поступает за счет поверхностного притока тепла количество тепла — д„а г!сг и, соответственно, количество энтропии ( — д„ГТ) а г!в, а через всго поверхность Е поступает количество энтропии / Т Итак, выражение для притока энтропии за время а к объему и сплошНяй среды за счет притока тепла извне таково: ,/ Т,/ Т (24.2) м Поверхностный интеграл в правой части выражения (24.2) можно преобразовать в объемный по формуле Гаусса — Острогралского, так как по формуле Коши д„= д'и;.
Получим са=~( а,""а-с,® )аа Обозначим через с!св плотность притока энтропии извне, то есть приток энтропии к единице массы среды. Из формулы (24.3) видно, что с2,в = — — г!!у~ — ) а. Г!дмасс ! . д (24.4) т р (Т) Второй закон термодинамики для индивидуального объема сплошной среды записывается в виде с! Г Г ! а2дмасс Г да а!ай г!а5 — / вр д$' = ~ — — р Л' — / — йсг +, — > О.
(24,5) а/ /т а /т а' а К„„, у м 172 Лекция 24 Это равенство должно выполняться для любого, в том числе и бесконечно малого объема. Это означает, что производство энтропии в елиницу времени представляется в виде интеграла по объему, то есть можно ввести плотность производства энтропии в единицу времени д;в/Ф так, чтобы АЯ ГАв 4в г а,Г' а ' 11 Тогда второй закон термодинамики записывается в виде ') = /г1в лев Ав'1 Ав р1 — — — ' — — '~ Л = О, — ' > О. 1а й1 а) ' ж Так как это справедливо для любого объема, то подынтегральное выражение (предполагаемое непрерывным) должно быть равно нулю, то Есть в каждой точке среды должно выполняться соотношение (24.7) И Т а р'1,Т) а' ж Это соотношение называется дифференциальным уравнением энтропаи.
24.3. Производство энтропии в процессе теплопроводности Пусть массового притока тепла нет, дд„„, = О, Приток тепла к каждой частице происходит только за счет теплопроводности. Тогда приток тепла на единицу массы за время Й имеет вид 1 1 дд = — — д!ада = — -з7;д'а. Р Р Чтобы вывести формулу для производства энтропии в процессе теплопроводности, проведем следуюшее рассуждение. Разобьем рассматриваемый объем среды Р на малые частицы так, чтобы внутри каждой частицы температуру Т всех точек можно было считать одной и той же, разности температур точек внутри малой частицы нет.
Тогда мы должны считать, что внутри частицы не происходит необратимого процесса теплопроводности, а изменение энтропии частицы дЯ = Нар Л' связано с притоком тепла Ыдр Л" по формуле, верной для обратимого процесса, то есть Нд Ыв = —. Т' Для изменения энтропии всего объема 1г имеем МЯ = / — рп'1г = — )' — х7;д'Мйк'= — / 17;~ — )кйп"г'+ 24.4. Понятие некомпенсированного тепла + г2'з7; — Й НК = — —" Ж Нсг — — Ч;Т й а1г. Первый член в правой части, согласно формуле (24 2), представляет собой приток энтропии извне в случае, когда имеется только поверхностный приток тепла. Следовательно, второй член представляет собой производство энтропии.
Итак, плотность производства энтропии за малое время й за счет теплопроводности есть 1 д;в„= — —,д'Ч;ТЖ = — —,(8 йгад Т) й. (24.8) Из соотношения (24.8) можно сделать слелуюшие выводы. 1. Пусть выполняется закон Фурье о = -к йгад Т. Тогда 4в „, = — (йгаг1Т) й. Так как согласно второму закону 4в „„> О, то и > О. Итак, из второго закона термодинамики следует, по коэффициент геплопроаолности к положителен.
2. Если 18габ Т1 мал, то 4а/Ф вЂ” малая второго порядка. Поэтому при малой разности температур соседних частиц процесс передачи тепла можно рассматривать как обратимый. 24.4. Понятие некомпенсированного тепла Понятие «некомпенсированное тепло» вводится следующим образом. Рассмотрим сначала случай„когда температура Т всех точек системы одна и та же. Тогда й,Я = Щ/Т. По второму закону термодинамики г1Я = — + г11Я, АЯ ~ ЭО.
й;> Т После умножения левой н правой частей этого соотношения на абсолютную температуру получим Т13= а+Та;Я. Введем обозначение ТгЬЯ = й~, тогда второй закон термодинамики можно записать так ТДЯ = Щ + Щ', Ц > О. Если бы процесс был обратим, то было бы Таким образом, при необратимых процессах энтропия ведет себя тяк,' как вела бы себя при обратимых, если бы в них приток тепла был бал 174 Лекция 24 равен аЯ+ йЗ'. Величиная Щ' была названа создателями классической термодинамики иекомпеисироваииым теплом. Если температура в разных точках среды различна, то понятие некомпенсированного тепла можно ввести следующим образом.
Воспользуемся уравнением второго закона термодинамики в дифференциальной форме: кздмасс ! д! цдмаск 7зд ! 1 0з = — -%', ~ — ) «!! + 4з = — — й + — д'Ч;Тй + к1, з. р '~,,т) ' т рт ртз Два первых члена в правой части — это плотность притока тепла, деленная на температуру: ! / ! „'г к!д — ! йу — — г!!тук!!) = —, т~ ""* ) т' Р Третий член в правой части есть (-4з ): ! —,дквп;Тг!! = — 4з рт' Следовательно, дифференциальное уравнение энтропии можно представить в виде Из = — + (к!!з — г1;з„), !д т или Тк!з = г1д -1- Ид', где г!д' = Т(4з — й!з„~).
(24.9) Величина к!д называется плотиостью некомпенсированного тепла. Она равна умноженной на абсолютную температуру плотности производства энтропии за счет всех необратимых процессов, кроме теплопроводности. Если остальные необратимые процессы не зависят от процесса теплопроводности, то из второго закона термодинамики следует, что !д' > О. 24.5. Неравенство Клаузиуса Поскольку йу' > О, то, согласно соотношению (24.9), тйз > й~. Подставим в это неравенство выражение для г!д, полученное из уравнения притока тепла; зи = яд+ — р" ~ в; й +,цд'*, Р Получим неравенство Клаузиуса: Ии — — р ~Уув;к!! — йд — Тйз < О. 1 ~* Р Оно должно быть выполнено для всех процессов во всех средах.
Важно, что внешние силы и притоки тепла извне в это неравенство не входят. Лекция 25 25.!. Тепловые машины 25.2. Тепловые машины, работающие по циклу Карно 25.3. Обратимый цикл Карно для совершенного газа 25.4. Эквивалентность физических формулировок второго закона термодинамики 25.1. Тепловые машины Второй закон термодинамики был впервые сформулирован в работе Сади Карно (1824 год), которая называлась Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» н была посвящена анализу работы тепловых машин. Это было время, когда тепловые машины начали преобразовывать мир.
Их развитие привело к появлению автомобилей, самолетов, огромного числа других машин, без которых невозможно представить современную жизнь. А в 19 веке все это начиналось. Поэтому можно понять, почему столь блестящий молодой человек из знаменитой семьи, каким был Сади Карно, заинтересовался таким кажушимся сейчас прозаическим, но новым и волнующим в те времена вопросом о принципах работы тепловых машин и возможности создания машин с наибольшим коэффициентом полезного действия. Через сорок лет после появления работы Карно Клаузиусом было показано, что из теоремы Карно следует возможность введения функции состояния системы, которую он назвал энтропией. Так появилась математическая формулировка второго закона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
