М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 5
Текст из файла (страница 5)
2, Сложение. При сложении двух векторов компоненты суммы суть суммы соответствующих компонент слагаемых: д + и = (о; + и;)э' = гв' + и')э;. Складывать можно только компоненты с одинаковым строением индексов! Суммы компонент с одинаковым строением индексов представляют собой компоненты вектора, а с разным строением индексов — нет: они изменяются при переходе к другой системе координат не по закону изменения компонент вектора. мг егфнз 1 1 о — огфиэ 012; Фг = .О.огфиз — 5 с гх с с Мы видим, что если система координат не декартова, то величины коварнантных и контравариантных компонент скорости, вообще говоря, зависят от длин векторов базиса и даже не имеют размерности скорости; физические компоненты дают более реальное представление о величине скорости.
Использование физических компонент удобно в практических расчетах, но вид уравнений при этом зависит от системы координат. В теории предпочтительно использовать инвариантный вид уравнений, а для этого нужно использовать ко- и контравариантные компоненты. 28 Лекция 3 3. Скалярное умножение.
Скалярное произведение векторов: а) есть скаляр, то есть не зависит от выбора системы координат; б) не зависит от порядка сомножителей; в) обладает свойством линейности, то есть («ю (Ай+ рю)) = Л(й ~~+ а(гй д), где Л, р — скаляры, Выразим скалярное произведение через компоненты перемножаемых векторов. Пусть й = и;эг = иэээ, ю = юьэ = ю Уп Тогда (й. й) = (и,э' .
юьэ ) = июьу', или (й ю) = (и'э, ю'э~) = иэю'уд, или (и ю) = (и;э' ю~э~) =-и;ю~бг = и,ю' = и юу. г Обратим внимание, что в выражении скалярного произведения по всем индексам производится суммирование, причем один из индексов суммирования — верхний, а другой — нижний. Именно поэтому эта сумма — скаляр, то есть не меняется при переходе к другой системе координат: сомножители с верхними и нижними индексами преобразуются с помощью взаимно з обратных матриц А и В. Нетрудно проверить, что, например, ~ ~и;ю; г=| в общем случае меняется при переходе к другой системе координат.
4. Тензорное («полнадное», «неопределенное», «внеганее») умножение. Рассмотрим сначала диадное произведение, то есть произведение двух векторов а = а'э„Ь = Ь'э . Мы будем обозначать диадное произведение а Ь. Оно вводится следующим образом. Составим матрицу из всевозможных произведений компонент векторов а и Ь: а1Ь' а!Ь2 а!Ьз аЬ1 аЬ аЬ Компоненты этой матрицы по определению представляют собой компоменты диадиого произведения а Ь.
Свойства диадного произведения таковы. а) Оно зависит от порядка сомножителей: а Ь Ф Ь а. б) Диадное умножение — линейная операция: пусть Ь = Лс+ рй, где Л, р — скалярные коэффициенты. Это значит, что Ь' = Лс' + дйэ; так как а'Ь' = Ла'с' + ра й', то а Ь = Ла с+ ра й.
29 З.З. Танаоры как обьахгы в) Диадное произведение любых двух векторов можно представить как линейную комбинацию диадных произведений векторов базиса. Если а = а'э;, Ь = )Рээ, то, согласно пункту (б), ! а Ь = а Ь!э!э . Произведения э,э. называют базисными диадами. Матрицы их компонент имеют вид ! О О О ! О э~э~ ° О О О, э~аз О О О н т.д. О О О О О О гь л' а Ь эьэ! = а Ь'э;эу — — а Ь. Используя формулы преобразования компонент и базисных векторов, имеем и л; дхм дхл дхм дх" а Ь э э! = а~Ь'э э —.
—, — — = агЬ'э э = а Ь дх' дхУ дхм дх" так как дх' дх —.— = б,~, дх! дхм дхл дх" —.— = б". дх! дхл Аналогично диадному произведению вводятся триадное а Ь с с коме понентами а'Ь'с и вообще палиаднае произведение а Ь с... д с компонентами а Ь'с ...Я ° 3.3. Тензоры как объекты Одно из определений тензора таково: тензорам иазьвается инвариантный объект, представляющий собой линейную комбинацию полиадных ироизведеиий векторов базиса.
Число векторов базиса в соответствующих полиадных произведениях называется рангом тензора. Например, тензоРы второго и третьего рангов записываются в виде О ць Т=Т ээ, Н=)Т эээх. Вектор можно назвать тензором первого ранга, а скаляр — тензором нулевого ранга. Коэффициенты при полиадных произведениях векторов базиса называются компонентами тензора. Сами полиадные произведения векторов базиса являются при этом базисными тензорами.
Для одного и того же тензора в одной и той же системе координат можно ввести разные наборы компонент — с разным строением индексов. г) Диада есть объект, не зависящий от выбора системы координат. Действительно, покажем, что Лекция Э Рассмотрим, например, тензор второго ранга Т = Тбэгд . Представляя второй вектор базиса в базисных диадах в виде разложения по контравариантному базису, будем иметь б-- о- -ь Ц --а 1- ь Т=Т э,э =Т э,дьэ =Т дяэ;э =Тьэ;э Здесь мы ввели обозначение Т.',: = Т' д.а. Н причем то, что г — первый индекс, а л — второй, подчеркивается точками, поставленными на пропушенных местах.
Аналогично, представляя первый базисный вектор или оба базисных вектора в базисных диадах в виде разложения по контравариантному базису, получаем Т=Т э1эт =Таз эт — Тглэ э 'з'- .- ц -а - -а-~ где Т,: =Т'ды, Те,=Т'д„.д„. т о о Таким образом, для тензора второго ранга можно ввести четыре разных набора компонент. В декартовых координатах все четыре набора совпадают. Замечание 2. Как и для векторов, для тензоров при описании процессов в ортогопальп ых криволинейных системах координат часто вводятся фюичеекие компоненты с использованием единичных векторов базиса е„направленных по касательным к координатным линиям.
Выражение физических компонен~ через ковариантныс пли коптравариацтпые компоненты легко получить, пользуясь инвариантной записью тепзора. Например, используя, что диагональные элементы метрической матрицы равны квадратам влип ковариантных векторов базиса, можно написать Т"эгэ, = Т тЯд,/ддде,ет = Теб е,е",. Таким образом, То,/ди „гдн н= Тет„„(суммирования по т, У нет). Часто при работе с ортогональиыми криволинейными координатами вводятся обозначения ътд — = Н'. Величины Н, называются коэффициентами Ламе. 3.4.
Формулы преобразования компонент тензоров при переходе к другой системе координат Получим формулы преобразования компонент тензора с различным строением индексов, пользуясь иивариаитностью тепзора, то есть его независимостью от выбора координат. Имеем .д'дй Т вЂ” Г э~э — Т эьэ~ Т эгэ Н ел ~ гы дт ~л дам дал ' У 3.4. Формулы преобразования компонент танщкзв Отсюда Т" =Т гаг дх' дхз дхм дхк Эти формулы аналогичны формулам преобразования контравариантных компонент вектора. Компоненты Т~з называются контравариантными компонентами тензора Т. Аналогично получаются формулы преобразования компонент с другим строением индексов, а также компонент тензоров более высокого ранга. Например, дх' дх' дхм Те Т "«дхкд пп д к' (3.1) Замечание 3. Из вида формул преобразования компонент тепзорз (3.
Н следует, что если все его компоненты равны нулю в какой-то системе коордипаз; то все они равны нулю н в любой другой системе. Тогда говорят, что тенюр равен нулю. Итак, компоненты тензоров преобразуются при переходе к другой системе координат как произведения компонент векторов. Иногда это свойство принимается за определение тензора. Лекция 4 4.1. Фундаментальный метрический тензор 4.2. Операции над тензорами 4.3.
Скалярные инварианты тензоров 4.4. «Теорема деления, или обратный тензорный признак 4.1. Фундаментальный метрический тензор Фундаментальный метрический тензор определяется формулой 3 о =доз э. Пользуясь формулами преобразования компонент метрической матрицы д„и векторов базиса (см. лекцию 2), можно показать, что зто инвариантный объект, то есть в любой системе координат х ' и л а=дыэ э Действительно, М Л 1 - -у ' ~х ~х ~х ~х - -в ь ~-ьл-~ -ь Вы шслим компоненты метрического тензора со смешанными индексами и контравариантные: гь у ~А' у яв 1 С = д, э э = д,.д эьэ = 6 эьэ = д; д э эь = 4-1- .ь $3'- - ь1- - ге-- = е,'э эь = 6; д э.эь = д э эь = д' 'э эь. Итак, компоненты метрического тензора со смешанными индексаМН суть дт, а контравариантные компоненты — д ~.
4.2. Операции над тензорами 1. Сложение. Компоненты суммы двух тензоров представляют собой суммы компонент складываемых тензоров. Подчеркнем, что а) складывать можно только тензоры одинакового ранга; 4.2. Олерании нед гензорами б) складываются только компоненты с одинаковым строением индексов. Например, если Т,„и Н „— компоненты тензоров, то суммы их комб' ч понент С',ь = Т':+Н,': также являются компонентами тензора, ранг которого равен рангу складываемых тензоров. Это проверяется с использованием формул преобразования компонент тензоров. Легко видеть, что, например, суммы Т ь + Н;. б.
е не являются компонентами тензора: они преобразуются при переходе к другой системе координат не по тензорному закону. Из правила сложения тензоров и Формул преобразования компонент тензора при переходе к другой системе координат следует, что если компоненты двух тензоров соответственно равны в какой-то системе координат: Т',' = В.'.„, Ц Ц (4.1) то они соответственно равны и во всех системах координат, то есть равенство (4.1) инвариантно относительно преобразований координат. Действительно, из (4.1) следует, что в исходной системе координат Р'3 =Т": — Вм'=О, ма = мь ме = атак как Р 'ь — компоненты тензора, то из их равенства нулю в одной системе координат следует, что они равны нулю в любой системе координат.
Это свойство и обуславливает широкое применение векторов н тензоров в физике, При соблюдении правильного расположения индексов у компонент векторов и тензоров, входящих в Физические уравнения, запись этих уравнений будет одинаковой во всех системах коорлинат, что очень удобно. 2.
Умножение тензора на число. При умножении тензора на число все его компоненты умножаются на это число. 3. Тензорное умножение — это обобщение полиадного умножения векторов: всевозможные произведения компонент двух тензоров ТЗНм = С..ц составляют компоненты тензора, ранг которого равен сумме рангов перемножаемых тензоров. доказательство этого утверждения состоит в выводе ФормУл пРеобРазованиЯ С зьг на основе соответствУющих фоРмУл длЯ компонент перемножаемых тензоров. 4. Свертка. Свертку можно применять к тензорам, ранг которых больше или равен двум. для того, чтобы провести свертку по каким-либо двум ннлексам, нужно взять компоненты, у которых олин нз этих индексов нижний, а другой — верхний. Затем выбрать те компоненты, у которых значения нижнего и верхнего индексов совпадают, и вычислить суммы Лекция 4 таких компонент для каждого фиксированного набора остальных индексов.
Полученные суммы представляют собой компоненты тензора, ранг которого на 2 меньше ранга исходного тензора. Например, С' — компоненты вектора. Для доказательства покажем, что С3 преобразуются при перехоле от системы координат я' к системе з по правилу преобразования компонент вектора; 'в дя' дяз дяе "е дз' ' "3 дз' дяг 5. Свертка одного тепзора с другим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
