М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 2
Текст из файла (страница 2)
170 .. 171 ., !72 .. 173 . 174 175 . !75 .. 176 .. 178 !81 182 185 . 186 . 189 189 !92 193 194 . 197 . 198 . 198 .. 202 .. 205 .. 207 Предисловие Механика сплошных сред объединяет и составляет общую основу различных наук о равновесии и движении деформируемых сред — газов, жидкостей, твердых деформируемых сред, таких как металлы или грунты. Важно, что в курсе механики сплошных сред излагаются общие подходы к математическому моделированию поведения различных сред, в том числе новых сред со сложными свойствами. Поэтому такой курс считается обязательным в большинстве университетов и высших технических учебных заведений.
Курс «Основы механики сплошных сред» читается в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова для студентов отделения механики механико-математического факультета в четвертом семестре. Он является введением к фунламентальному курсу, который читается в пятом и шестом семестрах, называется «Механика сплошных сред» и содержит более глубокое рассмотрение процессов, происходящих в сплошных средах, а также математических моделей, которые используются для их описания. Предлагаемая книга основана на многолетнем опыте чтения лекций по курсам «Основы механики сплошных сред» и «Механика сплошных сред» для студентов как отделения механики, так и отделения математики механико-математического Факультета МГУ им.
М. В. Ломоносова, для слушателей Факультета повышения квалификации преподавателей высших учебных заведений, а также для студентов Российского государственного университета нефти и газа им. И. М. Губкина. Эта книга представляет собой записи лекций по курсу «Основы механики сплошных сред», прочитанных автором на механико-математическом факультете М ГУ в 2008 году.
Материал разбит не по темам, а по лекциям, соответственно тому, что фактически было прочитано за два академических часа. При этом иногда начало лекции представляет собой очень краткий повтор той части содержания предыдущей лекции, которая необходима дяя понимания этой лекции. Лекции охватывают следующие разделы: лагранжево и эйлерово описание процессов в сплошных средах; элементы тензорного исчисления; геометрические и кинематические понятия, используемые для описания лвижения и деформирования сплошных сред (тензоры деформаций и скоростей деформаций, вектор вихря и т.д.); универсальные физические законы сохранения; динамические и термодинамические понятия (тензоры напряжений и моментных напряжений, внутренняя энергия, энтропия и т.д.); дифференциальные уравнения и условия на поверхностях сильного Гтредислоеие разрыва, следующие из законов сохранения; простейшие модели жидкостей, газов и упругих сред. Курс, представленный в этой книге, во многом основан на идеях и подходах Л.
И. Седова, автора классическою двухтомного учебника «Механика сплошной среды> и основоположника курса механики сплошных сред в Московском университете. В частности, намеренно используются обозначения, принятые в учебнике Л. И. Седова, с целью облегчить чтение этого учебника, который является одним из основных по механике сплошных сред в нашей стране. Однако методика изложения материала в этих лекциях во многом отличается от принятой в учебнике Л. И. Седова; особенно это касается изложения основ термодинамики. Основной целью автора было изложить материал как можно более доступно и выделить самое главное, не упоминая в ряде случаев некоторых деталей и математических ограничений, хотя и важных, но не обязательных, по мнению автора, при первоначальном знакомстве с основами механики сплошных сред.
При подготовке книги автору помогали студенты механико-математическою факультета МГУ А. Кручинина, В. Козтицкий, И. Бородин, В. Копанев, О. Герасимова, А. Иванова, А. Кольев, И. Криворучко. Автор выражает им благодарность. Автор благодарит заведующего кафедрой гидромеханики механико- математическою факультета М ГУ профессора В. П.
Карликова и доцента этой кафедры Н, Е.Леонтьева, которые прочитали рукопись и сделали ряд полезных замечаний, а также профессора А. Г Куликовского, чьи лекции и их обсуждение сделали для автора более ясными многие вопросы. В частности, изложение основ термодинамики в этой книге частично основано на работах, выполненных автором совместно с А. Г Куликовским.
Автор надеется, что зта книга будет полезной для студентов, преподавателей и исследователей в области механики сплошных сред. 9 октября 2008 года. Лекция 1 1.1. Предмет механики сплошных сред 1.2. Понятие сплошной среды 1.3. Пространственные (зйлеровы) и материальныо (лагранжевы) координаты !.4, Закон движения сплошной среды 1,5. Два подхода к описанию движения: лагранжев и эйлеров 1.6. Материальная (индивидуальная) производная по времени 1.7. Формулы для вычисления ускорений по скоростям 1.1.
Предмет механики сплошных сред В механике сплошных сред изучается равновесие и движение деформируемых сред — газов, жидкостей; твердых деформируемь1х сред, например, металлов. Методами механики сплошных сред можно математически описать процессы, связанные с движением воздуха в атмосфере, воды в трубопроводах, реках, морях и океанах, вещества звезд и межзвездного пространства. Частью механики сплошных сред является биомеханика, изучающая движение крови и других жидкостей в живых организмах, работу мышц и костей и так далее. Механика сплошных сред применяется при расчете зданий и конструкций, автомобилей и ракет.
Отдельными разделами механики сплошных сред являются следующие науки: гидромеханикл, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и другие. В курсе «Основы механики сплошных сред» 1) даются общие основы этих наук и 2) описываются общие подходы к математическому моделированию поведения различных сред, в том числе сред с новыми сложными свойствами. 1.2. Понятие сплошной среды Сплошная среда — это среда, заполняющая занятую ею область непрерывно, то есть в любом сколь угодно малом объеме этой области содервится масса. В действительности все среды имеют дискретное строение, состоят Лекция ! пз частиц, находящихся часто па большом (по сравнению с размерами частиц) расстоянии друг от друга.
Например, радиус молекулы водорода 10 ~ см, а радиус ядра (в котором, в основном, и сосредоточена масса) !О и см, то есть размер ядра в 100 000 раз меньше размера молекулы. Расстояние между молекулами в газе !О см, то есть в !000 раз больше, челг размер самой молекулы. Даже такое плотное вещество, как железо, состоит, в основном, из пустоты, в которую вкраплены частицы вещества: отношение плотности железа к плотности ядерного вещества — и Р»»».7Ри.и»о~ = 7 !О В то же время расстояния межау частицами обычно много меньше размеров изучаемых тел. Например, в воздухе при нормальных условиях в кубике со стороной 0,001 см содержится 27 миллиардов молекул. Оказывается, если изучается явление, масштаб которого Ь много больше расстояния между частицами и размера частиц, то можно считать массу размазанной непрерывно по всей области, занятой средой, то есть использовать модель сплошной среды.
Как потоки сплошной среды можно рассматривать даже потоки камней (камнепад на склоне горы), или зерна, или других крупных частиц, если ширина и глубина потока много больше размера частиц. Если некоторая величина определена во всех точках рассматриваемой области, то мы говорим, что в этой области задано поле этой величины. Например, поле скорости — это совокупность скоростей всех точек среды в рассматриваемой области. 1.3. Пространственные (эйлеровы) и материальные (лагранжевы) координаты Пространственная система координат — это система, связанная с пространством, относительно которо~о происходит движение.
Координаты точек среды в простравствеиной системе координат называются пространственными или эйлеровыми координатами. !Ыы будем обозначать пространственные координаты через ж, э, ж (с индексами наверху!). Для декарг з товых координат будем использовать и обычные обозначения в, 1г, з. Знать движение среды означает знать, как меняются со временем пространственные координаты всех ее точек, то есть знать функции, задающие зависимость пространственных координат точек среды от времени. Для разных точек среды эти функции могут быть различными.
Чтобы выделить индивидуальную точку среды, можно, например, использовать г з о качестве метки («имени») хо, эо, хо — значения ее координат в начальный момент времени. При движении среды пространственные координаты индивидуальных точек среды являются функциями времени и «имени» точки: к =эй ко ко ко). ! в ~ г з 1.5. Два подхода к описанию движенивт лагранжев и эйлеров гз Для параметров, выделяющих индивидуальные точки, часто используют обозначения ~г. Если эти параметры — начальные координаты, то (г = хо. Но необязательно брать в качестве С' начальные координаты; можно использовать какие-нибудь функции начальных координат или координаты в какой-нибудь другой фиксированный момент времени. Важно, чтобы они отмечали индивидуальные точки и для каждой индивидуальной точки не менялись, куда бы эта точка ни двигалась.
Параметры (', которые вьщеляют индивидуальные точки среды, называются материальными или лагранжевыми координатами; для индивидуальной точки они не меняются в процессе движения. 1.4. Закон движения сплошной среды Итак, при движении среды пространственные координаты ее индивидуальных точек являются функциями времени и лагранжевых координат: хг = х'(1, (', ~, ('), з' = 1„2, 3. Эти соотношения называются законом движения среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
