М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

1.5. Два подхода к описанию движения: лагранжев н эйлеров При описании движения по способу Лагранжа мы следим за тем, что происходит в каждой индивидуальной точке среды. Точки среды перемещаются, но мы следуем за ними и описываем изменение скорости, температуры и т.д.

каждой из них. Например, если мы хотим описать поток воздуха над поверхностью земли (ветер) по способу Лагранжа, то мы должны запустить в небо много воздушных шаров, снабженных измерительными приборами (причем устроить их так, чтобы сила Архимеда уравновешивалась с силой тяжести). Шары будут перемещаться вместе с частицами воздуха и измерять скорость и другие параметры этих частиц (рис.

Е! а). Математически лагранжево описание состоит в том, что все величины (скорость е, температура Т, давление р и т.д.) рассматриваются как функции времени и лагравжевых координат: з г з,,( ~сг з) ( ~сгсз) При описании движения по способу Эйлера мы изучаем, что происходит в точках пространства, через которое движется среда. При этом нас не интересует, какие именно индивидуальные частицы проходят через рассматриваемую область пространства, где они были раньше и будут в дальнейшем, — нас интересует только то, что происходит в ланной области, например в окрестности опоры моста или крыла самолета.

Для описания упомянутого выше потока воздуха по способу Эйлера мы должны установить много вышек с измерительными приборами в интересующей нас Лекция 1 Рис. 1.1. а) Лагранжезо описание; шары с измерительными приборами летят вместе с частицами воздуха; б) зйлерозо описание: параметры воздушного потока измеряют приборы, помещенные на специальных мачтах области пространства и измерять скорость ветра, температуру и другие параметры в местах, где стоят вышки (рис.1.!б). Величины, характеризующие движение сплошной среды, рассматриваются прн зйлеровом подходе как функции пространственных координат я' н времени 1 е=е(1,х~,к',вз), т =У(),х~,вз,вз), р=р(),х~,в',хз). Еше одна иллюстрация лагранжева и эйлерова подходов к описанию движения приведена на рис.

1.2: Лагранж (который был моложе Эйлера на 30 лет) плывет по реке, следя за индивидуальными частицами, а Эйлер наблюлает все, что происходит в каждой точке выделенной области, сидя на берегу. Два способа — способ Лагранжа и способ Эйлера — эквивалентны в том смысле, что если известно описание движения по одному из способов, то можно найти описание по другому способу (справедливости ради отметим, что на самом деле оба подхода были предложены впервые Эйлером). а) Рис. 1.2. а) лаграижев подход; б) эйлеров пццход 1.5.

Даа подвода к описанию движениго лагранжев и эйлеров 15 Переход от лаграшкева описания к эйлерову. Пусть известны все параметры, описывающие движение, как функции времени и лагранжевых координат, то есть известны о = Ф с', с' Сз), Т = Т(1, С1, Сз„ Сз), р = р(г г! ~2 ~3) и т. д, В частности, известен закон движения х! = 3'(1, с', 4, с ), 3 = 1, 2, 3. Найдем из этих соотношений ~! как функции от х', 8: ~' =~~(С,х,х~,х~), ! =1, 2, 3, Подставляя эти выражения в функции о=в(1,~,~',( ), Т=Т(1,(',~',(), р=р(1,4,4,(3) и т.д., найдем скорость, температуру и другие параметры как функции пространственных координат и яремени, то есть в эйлеровом описании; о = о(1, х'„хз, хз), Т = Т(1, х', хз, хз), р = р(1, х', хз, х').

Переход от эйлерова описания к лаграшкеву. Пусть нам известны параметры среды с точки зрения Эйлера, в частности известны скорости среды во всех точках хз во все моменты времени 1, то есть известна функция о(1, х, х, х ). Как найти закон движения? Как ввести лагранжевы коор- 1 2 3 2 3 динаты? По определению, компоненты скорости о, о „о каждой точки равны производным по времени от ее пространственных координат: 1 — =о (1,х,х, х ), ! Х 1 1 2 3 гй !1х 2 ! 2 з г — =о (Ю,х,х,х ), 131 з — г в(1,х,х,х). З ! 2 З зй Эти соотношения представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения х! как функций времени, Для нахождения решения необходимо задать значения х! в начальный момент времени.

Если задано, что х = хв, х = хо, х = хо при 1 = О, то реше- ! 1 2 2 3 3 ние записывается в виде х =х (с,хо хо хо). Это и есть закон движения. Начальные координаты х!о можно взять в ка! ! честве лагранжевых координат. Вводя обозначения хв = С, будем иметь *' = х'(1, ( ), где для краткости через ~ обозначен набор ~, (, ~'. Далее 1Е Лвкция 1 мы часто будем набор координат обозначать одной буквой; например, когда мы пишем б(г,хг), то имеем в виду б(?,в,х,я ). Подставляя полученные выражения в~ через?, (л в функции д(г,в'), Т(г,х~) и т.д., получим интересующие нас параметры как функции времени и лагранжевых координат, то есть в лагранжевом описании: Е = й(?, С~, С", С~), Т = Т(г, С~, С~, С~).

1.6. Материальная (индивидуальная) производная по времени Материальная, плп индивидуальная, производная по времени от величины? описывает, как меняется со временем величина у в иидивнауалыюй точке среды. Обычно в механике сплошных сред индивидуальная производная функции у обозначается ф/Й. Как вычисляется индивидуальная производная у по?, если у задана по способу Лагранжа, то есть У = Я, С')? Так как для индивидуальной точки ( = сопзг, то, очевидно, индивидуальная производная при лагранжевом описании есть просто частпая производная по?: Ф дИ, с') й д1 Здесь символом С' обозначен набор (, С', ( .

Как вычисляется индивидуальная производная у по?, если у задана по способу Эйлера, то есть у = Я, я~)? Рассмотрим сначала частную производную по 1 при постоянных в „то есть д,?(?, х )/дг. Эта производная называется локальной пропзводпой величины у по времени. Что она описывает? Она описывает изменение ? со временем в фиксированной точке пространства. Отметим, что ярп нахождении локальной производной мы сравниваем значения, которые принимает у в данной точке пространства в разные моменты времени; прн этом в разные моменты времени через данную точку проходят разные частицы, то есть мы сравниваем значения у в разных частицах.

Локальная производная не дает сведений о том, как меняется у в индивидуальных частицах. Теперь вернемся к вопросу о вычислении индивидуальной производной при эйлероаом описании. Для индивидуальной точки пространственные координаты в меняются со временем: вг = л'(?, ~ь). Поэтому лля индивидуальной точки у является сложной функцией времени: у зависит от?, в, а ж зависят от?, С'", и индивидуальная производная вычисляется как производная сложной функции: ф дя, ж') д?(С, х') дх'(г,(ь) Ф д1 дж' д1 1.7.

Формулы для вычисления ускорений ло скоростям 17 В последнем члене в правой части этого равенства Подразумевается суммирование по индексу С от 1 до 3; при этом использовано следующее соглашение о суммировании: если в одночленном выршкении какой-то индекс повторяется дважды, то по этому индексу производится суммирование от 1 до 3. Прн этом обозначение индекса суммирования, очевидно, не существенно. Формулу для индивидуальной производной можно переписать в дру- 1 том виде, если учесть, что производные по времени от координат х при постоянных С суть компоненты скорости частицы: дх(С,С ) дС Поэтому выражение для индивидуальной (материальной, полной) ирвиаяпд- ной при зйлеровом описании таково; , дЯ, х') з дЯ, х'), дЯ, х') дх' дхз дхз ,д1(С,х) +и <~~ д г(С, х') Ф дС дУ(С х1) дС ~ д1(С * ) гН(С, х') зд1(С, х') +е +е дх' .

дхз дхз 1.7. Формулы для вычисления ускорений по скоростям Ускорение индивидуальной точки есть скорость изменения ее скорости со временем, то есть й> о = —, оС' где пв/гСС вЂ” индивидуальная производная по времени. Если скорость задана по Лаграшку, то есть = е(С, (г), де(С,с ) дС Если скорость задана по Эйлеру, то есть е = е(С, х ), Гиялнмик~ «яе , Ки яык икяянкн Иву Здесь в последнем выражении снова использовано соглашение о суммировании, то есть )в Лекция ! то де до(~, х'), де(~, хг) г до"($, хг) з де(~, хг) де(г, хг); до(1, хг) В проекциях на координатные оси декартовой системы это равенство дает де' , де' г до' , де' а = — +е — +е — +о —, д~ дх' дхг дхз до' дог дог де' а =- — +е — +е — + о —, И д д' дх доз, доз г доз з дез а = — +е — +е — +о' —, д~ дх' дхг дх' Если координаты обозначены х,у,а, то формулы для компонент ускорения при эйлеровом описании имеют вид до, до, де, де, а, = — +е,— +ор — +о,—, да дх "до да дер дор дер дер ар — +ггх +ор +е» И ' дх " ду да ' де, до, де, де, а, = — +е, +ор — +о,—, дС *дх Рду да' В криволинейной системе координат формулы для компонент ускорения имеют более сложный вид (см, формулу (5.)) в лекции 5).

Замечание. Что такое лаграижева система координат? При лагранжевом подходе к описанию движения обычно используется одна из двух различных лагранжевых систем координат: либо начальная, либю сопутствующая. При использовании начальной лагранжевой системы мы приписываем все, что происходит с частицами среды, тем точкам, тле частицы находились а начальный момент времени, несмотря на то, что частицы перемещаются в пространстве. а) рис. т.з. координатные линии сопутствующей лаграижевой системы коорйиивт а) в момент г = 0; б) в момент г = 4, 'х 0 1.7. Формулы Лля вычисления ускорений по скоростям 19 Если же мы хотим относить все характеристики к текущему (актуальному) положению точек среды, то мы должны пользоваться так называемой сопутствующей лагранжевой системой координат. Очевидно, что для того, чтобы координаты точек в такой системе не менялись при движении, несмотря на перемещение и деформирован не среды, сама координатная система должна двигаться и деформироваться вместе со средой.

Сопутствующая лагранжева система, как правило, криволинейна (рис.1.3). Лекции 2-6 содержат краткое изложение основных понятий, связанных с использованием криволинейных систем координат и тензорного исчисления. Этн понятия важны для механики сплошных сред, так как основные характеристики, используемые для описания движения среды и действующих на пее сил, являются тензорами, а криволинейные системы координат часто удобны для формулировки и решения задач. В частности, сопутствуюшая лагранжева система координат, как правило, криволинейна.

Лекция 2 2.1. Криволинейные системы координат. Локальные ковариантные векторы базиса 2.2. Метрическая матрица. Контравариантные векторы базиса 2.3. Формулы преобразования векторов базиса и компонент метрической матрицы при переходе к другой системе координат 2.1. Криволинейные системы координат. Локальные ковариантные векторы базиса Будем обозначать координаты точек через я, в,в . Для декарто- з вых координат будем использовать и обычные обозначения х, у, х.

Через кадшую точку области, где задана система координат, можно провести вий, Й.т. координатные линии и локальные векторы базиса криезлииейной сисгемы координат 2.2. Метрическая матрица. Контраавриантные векторы базиса 2! в трехмерном пространстве три координатные линии. Координатные линии — это линии, на которых две координаты постоянны. Координатные поверхности — это поверхности, на которых одна из координат постоянна. В каждой точке области, где задана система координат, вводятся локальные так называемые кевариаитиые векторы базиса э, по формулам дг дх где г — радиус-вектор точки. Происхождение названия этих базисных векторов мы поймем в конце лекции.

Характеристики

Список файлов лекций