М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 14

Обозначая через т радиус-вектор относительно точки Мк, имеем в декартовых координатах с началом в точке Мк й = й(М») + ебх э' + й х т", Гс, = у (й йт) = ~ (й(М») йт) + ( йх' + у (й х т йт» Г дФ Г 12.4 / дх с, с, с, ск Здесь 1,.; дФ Ф = -ебх»хт, е,"х = —. Первые два интеграла в правой части формулы (!2.4) равны нулю: так как й(М») = сопя!, то первый интеграл равен скалярному произведению й(М») на интеграл от йт по замкнутому контуру Ск, который, конечно, равен нулю; второй интеграл есть интеграл по замкнутому контуру от йФ. Подынтегральное выражение в последнем члене формулы (12.4) преобразуется так: (»о х т" йт) = (»й т" х йт) = 2ь»,»,'»о, так как т х йт — это вектор, направленный по нормали к поверхности»»ок, и по величине равный 2»Ы, где Ьа — площадь площадки Аты Следо- вательно, Гс, = 2 ы„йо.

ью Лекция 12 ВВ Складывая по всем малым контурам Ск, получим: п,т1в = 2 ~ ия йт. (12.5) Здесь было использовано, что Гав = — Гвл, то есть циркуляции по всем внутренним границам площадок Лак в сумме дают нуль. Формула Стокса верна, если можно на контур С надеть поверхность Е такую, что в любой точке этой поверхности скорость определена и дифференцируема. Если же такой поверхности не существует, то формула Стокса не применима.

12.5. Пример вихревого течения с прямолинейными траекториями В обыленной жизни понятие вихря связываетсл с вращательным движением. Действительно, если вычислить вектор вихря в случае, когда имеется, например, вращение среды как твердого тела (то есть без деформации), то вектор вихря будет отличен от нуля, равен угловой скорости тела. Однако с точки зрения определения вектора вихря, принятого в механике сплошной среды, движение может быть вихревым, даже если все частицы движутся по параллельным прямым траекториям. В качестве примера рассмотрим течение, в котором и, =ау, ик =п, =О, а=сонат.

Рис, 12.1. Вихревое течение с прямолинейными траекториями. Показано распределение скорости по у Все частицы движутся по прямым, параллель- ным оси х (рис. 12.1). Компоненты вектора вихря в этом течении таковы: 1/дпв дпк'1 а 2(, дх ду ) 2 дп, е .= — =О, хх— дх а екв = евк =— 2 е„„= е„= е„= ек, — — О, Таким образом, это течение является вихревым, вектор вихря перпендикулярен плоскости ху.

Заметим, что разные материальные отрезки при таком течении поворачиваются по-разному. В частности, отрезки, параллельные оси х, вообще не поворачиваются. Но отрезки, которые в данныИ момент времени направлены по главным осям тензора скоростей деформаций, поворачиваются с угловой скоростью ат. Главные оси тензора скоростей деформаций направлены под углом ~45 к оси х, в чем можно убедиться, вычислив компоненты тензора скоростей деформаций: 12.8. /гример безвикревого течения с Ееетиа(мя тдеектодяв)гм, 89 и найдя собственные векторы матрицы 12.6. Пример безвихревого течения о круговыми траекториями Рассмотрим течение, которое называется «точечный вихрь». Оно определяется следующим потенциалом скорости: вг = й агс)8 — = йд, У х б = бгаг) )о, й = сопьк д)с йр д)о йх о,= — =- —, о„= — = —, е,=О.

(1 2.6) — д, — г т — д„=Лг Здесь гт их + у . Радиус-вектор Л имеет компоненты х,у, О. Поэтому г г (о ° А) = О, е .) 22, следовательно, все частицы движутся по окружностям. Рис. 12.2. Траектории: е) в пространстве и б) на плоскости ху в течении, которое называется «точечный вихрь Можно найти уравнения траекториИ и стандартным способом: для точек на траекториях бг )) б, то есть ех ов Таким образом, это течение потенциальное, то есть безвихревое. Кроме гого, ок, от — функции от х и р, не зависят от х, и о, = О. Поэтому это течение плоское (плоско-параллельное). Вычислим компоненты скорости: 90 Лекция 12 В силУ формул (12.6) УРавнениЯ тРаектоРий Расск2атриваемого течения таковы: дя Иу 2 2 — — — то есть И(к + у ) = О, то есть я2 1 у' — сопзг у Х Снова получаем, что траектории — окРужности с центром в начале координат. интересно, что, в отличие от распределения скоростей при врашенин твердого тела, когда скорости пропорциональны расстоянию от оси вращения, то есть малы вблизи оси, в этом врашательном движении скорости тем больше, чем ближе к оси вращения — к оси х (или к началу координат, если рассматривается только плоскость я, у).

Именно такое распределение Окружных скоростей наблюдается вб врагцаюшихся столбах жидкостей и газов, например в смеРчах. При этчм давление в области вблизи оси врашения получается сушественно мень2лим, чем вне смерча; этим объясняется его всасываюшее действие. Почему это течение называется точечный вихрь, хотя вектор вихРя Равен нулю? для пояснения найдем циркуляцию скорости Г по Окружности с центром в начале координат. По определению циркуляцией по замкнутому контуру С называется "ЛЩУ2НШГНР И1ИСЧ РЮЛ Г=~О,Ь, с где в, — проекция е на касательную к контуру С, а да — элемент длины дуги контура С. В данном течении скоРость напрагн2ена по касательной к окружности, поэтому 1е,~ = У/ге, + ер = ~ "И Ес'"и й ) О, то движение происходит против часовой стрелки.

Если вычисляется Г при условии, что контУР С обходитсЯ пРотив часовой стРелки. то в )гУ22 Гя 22 Г = ~2 — да = — 2я22 = 2яй Ф О 7л л с Этот РезУльтат кажетсЯ стРанным, так как течение бьзвихревое, а по формуле Стокса циркуляция скорости по замкнутому контуру рав„а удвоен ному потоку вектора вихря через поверхность, натяг2утую на этот контур, и, значит, если КЗ = О, то Г = О. Дело в том что для данного течения формула Стокса для контура, охватывающего начало координат, не применима, потому что не существует повеРхности, кот5рую можно было бы натянуть на контур так, чтобы скорость и ее произ22одные везде на этой поверхности были определены: в,„в„-г ОО при те -~ О рассмотрим наше течение только в области вйе окружности малого радиуса Вя, а внутри окружности заменим наше течение на какое- нибудь непрерывное так, чтобы скоРость и ее пРоизводные всюду стали определены.

Тогда применима формула Стокса, а значит, течение внутри 12.6. Пример безеихреого течения о круговыми траекториями 91 окружности В =- Ле вихревое: Г = ~ о,де = 2 / ьтидо = 2итз'В~~. (12.7) Здесь Š— круг Гг < Яо, ы — среднее значение величины вектора вихря внутри круга (в точках рассматриваемого круга ы„= го„го, = ьтт — — О; последнее верно для любого плоско-параллельного движения).

Отметим, что Г = 2яй, не зависит ог Гха. Если Гге -г О, то го -г со. Говорят, что течение, описываемое потенциалом 1о = Й агсгб (у/я), всюду потенциально, кроме точек оси а, где имеется вихрь бесконечно большой величины. Лекция 13 13.1. Закон сохранения массы для индивидуального объема сплошной среды 13.2. формула дифференцирования по времени интеграла по подвижному индивидуальному объему 13.3. Закон сохранения массы для пространственного объема 13,4, Дифференциальное уравнение неразрывности — следствие закона сохранения массы 13.5. Уравнение неразрывности для несжимаемой среды 13.1. Закон сохранения массы для индивидуального объема сплошной среды Закон сохранения массы утверждает, что масса М любого индивидуального объема силошиой среды постоянна; М = сопзг.

Ицаивидуальиъгм объемом называют выделенную часть среды, состоящую из одних и тех же индивидуальных частиц. В механике сплошных сред интерес представляет не столько масса некоторого объема, сколько распределение массы по объему, которое характеризуется распределением плотности. Определим понятие плотности.

Рассмотрим малый объем Ьк' с массой Ьгп. Средняя плотность этого объема равна; Ьта Р»р = Рис.13.1. Объем Р с поверхностью Е В следующей части курса мы будем заниматься математической формулировкой универсальных физических «законов сохранения» и выводить из них уравнения, описывающие поведение сплошных сред. В рамках ньютоновской механики для всех сред, независимо от их свойств, постулируется выполнение следующих законов сохранения, которые мы будем последовательно рассматривать: 1) закон сохранения массы; 2) закон со-, хранения количества движения; 3) закон сохранения момента количества движения; 4) закон сохранения энергии; 5) закон изменения энтропии. ) за.

Осермулв лифферениироввния ло времени интеграле Плотность р в точке среды определяется как предел этого отношения, когда сьУ стягивается в рассматриваемую точку: сьгп р= Исп ьу о ЬУ' Масса поп бесконечно малой частицы записываетсл в виде: соти = рсоК Масса в объеме У равна: р йУ. у Закон сохранения массы для конечного иидивидуальиого объема свдп)киев среды У гласит: — ~ раУ=И. Г а „г' к «(б Здесь У„яо(с) — индивидуальный, в общем случае подвижный, объем.

13.2. Формула дифференцирования по времени интеграла по подвижному индивидуальному объему Выведем формулу дифференцирования по времени интеграла по подвижному обьему У(1) от некоторой величины А(хс, с). По определению производной имеем: А(х', с + Ьс) ссУ вЂ” А(х', 'с) с(У гй+ьй сй) (И ьс-+о — / А(х', с) АУ вЂ” Ип) сьс с'(б В правой части вычтем н прибавим одно и то же слагаемое: А(х', й) ссУ. у(с+ьс) Тогда получим А(х',(+ Ы) Л' — з~ А(х',1) 4У с) Г;, у(с+ьс) у(с+ьс) — ~ А(х',с) с(У вЂ” Исп + с(со) ' и о сьс у(с) Лекция 13 А(х', 6) ИЪ' — / А(х', Е) сЛг г'!геаг! + !!щ щ- о гй! А(х', 8 + ЬВ) — А(х', В) = !цп Л'+ щ- о Ь1 кйч-щ! ! + !нп — / А(х',8) гКК щ оЬг к!г-каг1-гй! Первое слагаемое в последней сумме равно ~ — 4К ущ Ь ге = Ь<тее„,Ы, где о„„ — проекция скорости на нормаль к площадке Ьпв.

Интеграл по области !г(г -1- Ы) — к'(!) можно представить как соответствующий предел суммы произведений значений подинтегральной функции в точках элементарных цилиндров на объемы этих цилиндров. Тогда второе слагаемое вычисляется так: Рис. 13.2. Вычисление интеграла по области У(г+ Ь!) — Щ) У !пп — йп1 ~~~ А(хг~,()е„„тэЫав = / Аея огг Ы-~О Ь8 У-~оэ я=1 в где Š— поверхность объема гг(1). Итак, формула дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему выглядит так: Для вычисления второго слагаемого разбиваем область 1г(1+~2) — т'ф: на сумму 2хт малых цилиндров с основаниями тхггю представляющими собой элементы поверхности Е объема уг(1), и длинами образующих !о)Ы (рис.

!3.2). Объем элементарного цилиндра равен произведению плошади; основания на высоту; 13.3. Закон сохранения массы лля пространственного объема 95 Эта формула обобщает следующую известную формулу дифференцирова- ния интеграла с переменными пределами: И /' /' д/ г!Ь йа !1/ ' / д! '= а *='б!' — I г(х,1) г!х = I — г(х+/') = — — г),,—. а(г) — ~Лг + ре„г!гг = О. др дС (13.2) 13.3. Закон сохранения массы дпя пространственного обьема Заметим, что в формуле (13.2) производная по времени имеется только в подынтегральном выражении. В этой формуле участвуют (г и Е только для рассматриваемого (одного) момента времени, в отличие от формулы (13.1), содержащей производную по времени от интеграла по Р(!), для вычисления которой важно знать, как меняется р во времени. Если мы имеем делос гг, х.