М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред

ББК 22.25я73 Эглит Маргаризв Эрнестовна Лекции по основам механики сплошных сред. Изд. 2-е, испр. М.! Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. — 208 с. ! 1астояшая кинга прсдстапляет собой записи лекций по курсу кОсновы механики сплошных сред», прочитанных автором для студентов второго курса отделения механики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.

В. Ломоносова. Лекции охватывают следующие разделы механики сплошных сред: элементы тецзорного исчисления; основные понятия, используемые для описания движения и деформирования сплошных сред; универсальпыс физические законы сохрансния и следующие из них дифференциальные уравнепил и условия на поверхностях сильного разрыва; простейшие модели жидкостей, газов и упругих сред. Для исследователей в области механики, преподавателей и студентов соответствуюц!их специальностей. Речензелееы: д-р физ.-мат. наук, проф. В. П. Карликов; кана. физ.-мат, паук, доц.

Н. Е. Леон»зьее Нзаатеаьетао окнах аыа аом "ЛНВРОКОМ"». 1173 12, Моск»а, ар-т Шастала тат»асти» Октабра, 9. Формат бс" 9ОП 6. Пач. а. 12. Заа. № 8880. Отаачатачо а 000 аЛЕНАНДзх 117212, Москва, пр-т Шаотаааоаталетма Окмбра, 11А, отр. 11, О Книжный дом аЛИБРОКОМ», 2010 ! ЯВзч 978 — 5-397-01476 — 2 Е!И!ИИ! 9 785397 014762 Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ии было средствами, будь то элек.

тронные или механические, вкзючач фотокопирование и запись на магнитный носитель, а также размешение а Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца. Содержание Предисловие Лекция 1 1! 11 !2 13 !.5. Два подхода к описанию движения: лагранжев и эйлеров,... 13 !.6. Материальная !индивидуальная) производная по времени.... 16 1.7. Формулы для вычисления ускорений по скоростям ........

17 Лекция 2 20 2! 23 Лекция 3 25 25 27 29 30 Лекция 4 !.1. Предмет механики сплошных сред................... 1.2. Понятие сплошной среды . 1.3. Пространственные (зйлеровы) и материальные (лагранжевы) координаты, 1.4. Закон движения сплошной среды 2.!. Криволинейные системы координат. Локальные ковариантные векторы базиса.............. 2,2. Метрическая матрица.

Контравариантные векторы базиса... 2.3. Формулы преобразования векторов базиса и компонент метрической матрицы при переходе к другой системе координат 3.!. Векторы как объекты. Ковариантные н контравариантные компоненты вектора. Физические компоненты вектора.... 3.2. Операции над векторами 3.3. Тензоры как объекты 3,4. Формулы преобразования компонент тензоров при переходе к другой системе координат 4.!.

Фундаментальный метрический тензор........... 4.2. Операции над тензорами 4.3. Скалярные инварианты тензоров . 4.4. «Теорема деления», или обратный тензорный признак 32 32 32 34 35 Содерхгэние Лекция 5 5.1. Дпфферс1широваппе скалярной функции по координатам. Вектор градиент 5.2. Дигйферепцпроваш1е вектора по координатам .......... 5.3. Дифференцирование тепзора любого ранга............

5.4. Правила коввриаптпого дифференцирования........... 5.5. Ковариаитные производные компонент метрического тензора 'Лекция 6 6.1. Свойства символов Кристоффеля . 6.2. Тензор кривизны . 6.3. Тензоры второго ранга. Разложение на сумму симметричного и внтисимметричного тензоров . ' 6.4. Тензорная поверхность. Главные оси и главные компоненты симметричного тензора второго ранга......,.......... 6.5.

Инварианты симметричного тепзора второго ранга....,... 6.6. Разложение симметричного тензора па шаровой тепзор и девпатор . Лекция 7 7.1. Аптпсиктетрпчпые тепзоры второго ранга и трсхмсрном прострщ ~стае 7.2. Преобразование малой частицы при произвольном перемещении среды 7.3. Тензоры деформаций Грина и Альманси........ Лекция 8 8.1. Механический смысл ковариантных компонент тензоров деформаций Грина и Альманси в лагранжевой системе координат 8.2.

Главные оси и главные компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси, связи между ними............... 8.3. Формулы для величины относительного изменения объема прп дефорыпровапип Лекция 9 9.1. Компоненты тецзоров деформаций Грина 8 и Альманси Е в пространственной системе координат.............. 9.2. Выражение компонент тепзоров деформации через пропзволные от компонент вектора перемещения 36 36 37 40 40 41 42 43 44 44 45 46 47 47 50 52 55 55 58 60 65 Содержание Лекция 1О .

!О. !. Уравнения совместности для компонент тензора деформаций !0.2. Тензор скоростей деформаций . 10.3. Связь между компонентами тензоров деформаций и скоростей деформаций !0.4. Выражение компонент тензора скоростей деформаций через компоненты вектора скорости.................

10.5. Механический смысл компонент тензора скоростей деформаций Лекция 11 . 11.1. Формулы для скорости относительного изменения объема при движении среды !1.2. Дивергенция скорости и ее механический смысл....... ! 1.3. Формула Гаусса — Остроградского . 11.4. Теорема Коши — Гельмгольца о распределении скоростей в малой окрестности любой точки сплошной среды ..... Лекция 12. 12.1. Вектор вихря. Его механический смысл. Вихревое и безвихревое движение 12.2. Потенциал скорости . 12.3.

Циркуляция скорости . 12.4, Формула Стокса !2.5. Пример вихревого течения с прямолинейными траекториями ., 12.6. Пример безвихревого течения с круговыми траекториями.... Лекция 13. 13.!. Закон сохранения массы для индивидуального объема сплошной среды 13.2. Формула дифференцирования по вРемени интеграла по подвижному индивидуальному объему !3.3. Закон сохранения массы для пространственного объема .. 13.4.

Дифференциальное уравнение неразрывности— следствие закона сохранения массы !3.5. Уравнение неразрывности для несжимаемой среды,..... Лекция 14 . 14.1. Уравнение неразрывности в лагранжевых координатах .... 14.2. Закон сохранения количества движения,..........., . !4.3. Силы, действующие на среду: массовые и поверхностные.

Вектор напряжений . 69 69 74 74 78 79 80 81 83 83 85 86 86 88 89 92 93 95 96 97 98 98 !02 104 Содержание !4.4. Математическая формулировка закона сохранения количества движения для индивидуального объема сплошной среды..... 105 14.5. Еще один внд формулы днфференпнрования по времени пптеграла по подвижному объему . 107 .. 107 . 110 .. 112 Лекция 15 15. !. Формула Коши для вектора напряжений . 15.2.

Тензор напряжений 15.3. Дифференциальные уравнения движения . 114 114 Лекция 16 !6.1. Закон сохранения момента количества движения... 16.2. Момент количества двнжепия для конечного объема сплошной срелы. Массовые и поверхностные пары. Вектор моментных напряжений, 16.3, Математическая формулировка закона сохранения момента количества движения для индивидуального объема сплошной среды 16.4. Формула Коши для вектора моментных напряжений. Тензор момеятных напряжений .

115 118 119 . 121 Лекция 17 17.1. Дифференпиальное уравнение собственного момента количества лвижения 17.2. Симметрия тепзора напряжений как следствие закона сохранения момента количества движения при некоторых условиях 121 122 17.3. Что такое математическая модель среды или явления? ...... 123 17.4. Жидкости и газы в механике сплошных сред. Давление ..... 123 125 17.5. Идеальные жидкости и газы 17.6, Дифференциальные уравнения движения идеальных жидкостей или газов — уравнения Эйлера............ 17.7.

Полная система механических уравнений для несжимаемых идеальных жидкостей.......,..... 17.8, Полная система механических уравнений для баротропных 126 127 процессов в сжимаемых идеальных жидкостях и газах ....... 127 17.9. Граничное условие непроницаемости на поверхности твердого тела, находящегося в идеальной жилкости............... 128 Лекция 18. 18.!. Вязкие жидкости и газы. Определение 18.2. Модель линейно-вязкой (ньютоновской) жидкости 18.3. О давлении в вязкой жидкости . 129 ..

129 .. 131 133 16.5. ДифФереншиальное уравнение момента количества движения .. 120 Содержание 18.4. Уравнения движения вязкой жидкости— уравнения Навье †Сток . 18.5. Полная система уравнений несжимаемой линейно-вязкой жидкости . Лекция 19. 19.1, Граничные условия на поверхности твердого тела в вязкой жидкости 19.2. Модель упругой среды 19.3. Закон Гука для анизотропной и нзотропной среды 19.4. Механический смысл коэффициентов упругости Лекция 20, 20.1. Система уравнении линейной теории упругости при изотермических процессах 20.2. Уравнения линейной теории упругости в перемещениях — уравнения Навье — Ламе.... 20,3, Граничные условия в задачах теории упругости 20.4. Температурные напряжения и деформации,...

Лекция 21 21.!. Теорема живых сил (уравнение кинетической энергии) 21.2. Работа внутренних поверхностных сил ........... 21.3. Первый закон термодинамики — закон сохранения энергцн 21.4. Закон сохранения энергии для индивидуального объема сплошной среды Лекция 22.......... 22.1. Закон сохранения энергии дяя пространственного объема, через который движется среда 22.2.

Вектор потока тепла 22.3. Дифференциальное уравнение энергии............. 22.4. Уравнение притока тепла (уравнение внутренней энергии) 22.5. Закон теплопроводности Фурье Лекция 23 23.1. Уравнение притока тепла при теплопроводности в покоящейся среде 23.2. Совершенный газ 23.3. Второй закон термодинамики 23.4. Обратимые и необратимые процессы ......... 134 135 . 136 136 137 137 140 . 142 142 144 145 146 . 148 . 148 .

152 . 153 !54 . 157 . 157 158 . 159 . 160 . 161 . 162 162 . 164 !67 .. 168 Содержание Лекция 24 . 24.1. Второй закон термодшимпкп для индивидуального объема сплошной среды . 24.2. Дпг!к!зерепциальпос уравнение энтропии.......... 24.3. Производство зптроппп в процессе теплопроводности 24.4. Понятие некомпенсированного тепла........., .. 24,5. Неравенство Клаузнуса ..

Лекция 25. 25.!. Тепловые машины . 25.2. Тепловые машины, работающие по циклу Карно 25.3, Обратимый цикл Карно для совершенного газа, 25А. Эквивалентность Физических формулировок второго закона термодинамики Лекция 26 26.1. Теорема Карпо о коэИ>пцпентах полезного действия (КПД) тепловых машин 26.2. Введение абсолютной температуры с помощью циклов Карно 26.3. Введение энтропии для системы, для которой определена температура Лекция 27...

27,1. Введение энтропии для системы, состоящей из подсистем с разными тем пературамп . 27.2. Вывод утверждения о возрастании энтропии за счет необратимости процесса пз утверждения о невозможности вечного двигателя второго рода 27.3. Выражение для притока энтропии извне для объема г' сплошной среды 27.4. Введение энтропии без предположения о сущест~ювании температуры системы 27.5. Вывод утверждения о невозможности вечного лвигателя второго !ролл пз утвержлсшш о возрастании энтропии за счет необратимости процесса Лекция 28 28.1. Условия па поверхностях сильного разрыва в сплошных средах 28.2. Тангенциальные разрывы и ударные волны Список обозначений . Литература .