М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 13

Используем также формулу, связывающую компоненты тензоров деформаций и скоростей деформаций '"~ее е, = 1пп —. ш-о Лекция 11 во Подставляя это выражение в формулу (11.1), получим г1д „, 1 à — = г!!те = Иа — ! е„йг. и! ьи-ю кхУ (1!.4) ' ЬЕ равен, очевидно, объему среды, вытекающему через поверхность 1.'кЕ за единицу времени. Следовательно, дивергенция скорости равна отношению величины обьема, вытекающего через поверхность !ьЕ за единицу времени, к величине этого объема (точнее, пределу этого отношения при стягивании объема в точку). Образно говоря, отличие дивергенции скорости от нуля в некоторой точке означает, что среда в некотором (интегральном) смысле расходится из этой точки.

11.3. Формула Гаусса †Остроградско Рассмотрим обьем У сплошной среды, ограниченный поверхностью Е. Если разбить этот объем на сумму малых объемов кхУ, для каждою малого объема использовать формулу (! 1.4), а затем просуммировать по всему объему У, то можно получить формулу б!тИУ = / и„йт. (11.5) / де, дог де, '! [ — *+ — "+ — '~г!У= l ! о,~оа(гг,е)+~„ыа(гг,д)+~,~оа(~,4 йг. !1, де др" дх,7! (11.6) В произвольной системе координат формула Гаусса — Остроградского имеет вид '!71В'дУ = В'П; йг. (11.7) т Е Заметим, что формула Гаусса — Остроградского верна не только для вектора скорости.

Любые три функции Р, О, Я можно рассматривать как Эта формула называется формулой Гаусса — Остроградского. Она преобразует интеграл по объему в интеграл по поверхности, ограничивающей этот обьем. Напишем формулу Гаусса — Остроградского в декартовой системе координат, раскрывая выражения для дивергенции и проекции скорости на нормаль: 114. Теорема Коши — Гельмгольца о раслределеиии скоростей 81 компоненты вектора скорости какого-то движения, поэтому в декарто- вых координатах для любых дифференцируемых Р, !7, 22 верна формула Гаусса — Остроградского //дР дга дВ'т Рсоа(п,х)+Осок(п,у)+Ясов(п, а) йт = ) ~ — + — + — ) ИК ,/ 1,дх ду да) (11.8) Более того, можно доказать, что формула (11.8) верна даже в случае, когда Р, сг, Рс не обязательно скалярные функции, но и векторы, тензоры или величины другой природы.

11.4. Теорема Коши-Гельмгольца о распределении скоростей в малой окрестности любой точки сплошной среды Рассмотрим некоторую точку М сплошной среды с координатами х и ее малую окрестность. Пусть точка М с координатами х + дх'— некоторая произвольная точка малой окрестности точки М. Используя формулу Тейлора, можем написать е(М') = 6(хг + Ых') = у(х1) + —. Ых! = е(М) + е ер!х'эУ = дх' 1 .; 1 = 6(М) + -Яеу + '7861)йх1эу + -Яе — хуе;)Их'ээ.

(11.9) 1 Известно, что -(17;е + ~726;) = еб — это компоненты тензора скорости деформации. Введем обозначение 1 2 -(17;62 — 7~6;) = шб', шб называются компонентами тензора вихря. Введем еще аксиальный вектор ш, компоненты которого определяются формулами 1 1 ш = — ш; = — (т716. — т/е;), ,/у " 2,/у где (1,7', (с) — круговая перестановка из (1,2, 3). Вектор ш называется вектором вихря.

Проверим, что (11.! 0) »1 2 э э ш,"дх'э/=(ш х гЯ = /у ш~ ш! дх! 1(х~ э 3 ,! з 82 Лекция 11 Для проверки вычислим, например, компоненту при э; ынг1х' = ымг(х + юг~Их = —,/д(ы г1х — ы Их ) то есть формула (11.10) верна. Следовательно, формулу (11.9) можно записать в виде: е(М') = б(М) + е„г1х'э г + (й х йгг:. (11.11) Эта формула называется формулой Коши — Гельмгольца лля распределения скоростей в малой окрестности любой точки сплошиой среды. Она показывает, что для малой частицы скорость можно представить как сумму трех слагаемых. Первое слагаемое одинаково для всех точек малой частицы и поэтому может быть названо скоростью поступательного движения (движение тела называется поступательным, если в каждый момент времени скорости всех точек тела одинаковы и могут зависеть только от времени), Второе слагаемое связано с деформированием среды.

Третье слагаемое соответствует, как известно, вращению тела как абсолютно твердого с угловой скоростью й. На основе соотношения (11.11) можно сформулироватьтеорему Коши— Гельмгольца: движение малой частицы сплошной среды можно представить как сумму: !) поступательного движения со скоростью в(М), 2) вращения как твердого тела с угловой скоростью й, 3) движения, связанного с деформированием, которое описывается скоростью е; к!хгэг. 12.1. Вектор вихря. Его механический смысл. Вихревое и безвихревое движение 12.2.

Потенциал скорости 12.3. Циркуляция скорости 12.4. формула Стокса 12.5. Пример вихревого течения с прямолинейными траекториями 12.6. Пример безвихревого течения с круговыми траекториями 12.1. Вектор вихря. Его механический смысл. Вихревое и безвихревое движение Вектором вихря ьз называется, как известно, аксиальный вектор, компоненты которого определяются формулами ю = — ьз,з = — ('Озез — з7;6;) гд " 2з/д (з, у', 1г) — круговая перестановка из (1, 2, 3). Покажем, что для вектора вихря верна формула 1 й = — гог д. 2 (!2П) зг зз 17~ з7з 17з в| ез вз 1 гоге=†Видно, что, например, для первой компоненты вектора вихря, действительно, верно равенство -(гоге) = — Яез — 17зез) =ы . 1, 1 1 2 2/д В самом деле, по определению, ротором вектора 6 называется вектор, крторы й можно записать в виде следующего символического определителя 84 Лекция 12 Механический смысл вектора вихря выясняется с помощью формулы Коши — Гельмгольца о распределении скоростей в малой окрестности любой точки; б(М) = б(М) + еггдх з'+й х г(г.

Механический смысл вектора вихря заключается в следующем. 1. Если частицы движутся как твердое тело, т. е. е, = О, то гб— угловая скорость этого тела. Говорят еще и так: й — та угловая скорость, с которой завращалась бы частица, если бы она мгновенно затвердела, то есть если бы из скорости всех точек малой частицы вычесть скорость поступательную и скорость, связанную с деформацией, то частица вращалась бы со скоростью гр. 2.

Есть ли в частице что-то, что на самом деле вращается со скоростью ь2? Да, есть. Это триэдр главных осей тензора скоростей деформаций. Действительно, в главных осях е;; = О при 1 ф г', то есть углы между материальными отрезками, лежащими вдоль главных осей, за малое время остаются прямыми, Поэтому триэдр главных осей ведет себя в течение малого времени как твердое тело и вращается со скоростью й. Докажем еше следующую замечательную формулу: (12.2) к?„ыгг = T;е„,г — 1?ге м 1 гле айг = — (1?гаг — к?гв;).

Формула проверяется непосредственным вычис- 2 пением: 2т?ккыгг = т?кк !?гвг ~тг?гв~Р~ъ Окквг' + т"(т?гет Г?г0пхвк т?гт?гвкх = = 2('71е — к?ге г). При проведении этой выкладки мы добавили и вычли слагаемое и воспользовались возможностью менять порядок дифференцирования при вычислении вторых производных по координатам. Таким образом, формула (!2.2) верна.

Следовательно, если е; = О во всей области, то ч„ыгг .— — О. Отсюда следует, что й не зависит от координат. В этом особенно легко убедиться, если воспользоваться декартовой системой координат. В этой системе гц = ы;, 1, 1', й — циклическая перестановка из (1, 2, 3), х ди, дьг~ 'г ьгб = дх дхт ' Если ды~/дх = О, то ы~ не зависят от координат, значит, и й не зависит от координат. Следовательно, если тело движется как абсолютно твердое, то вектор вихря одинаков во всех точках тела и представляет собой угловую скорость тела.

12.2. Потенциал скорости Выведем из формулы Коши — Гельмгольца формулу Эйлера для распределения скоростей в твердом теле. Имеем для близких точек в абсолютно твердом теле е(М') — е(М) = й7= й х дг, причем й не зависит от координат (так как е; = О во всем теле). Интегрируем равенство, начиная от точки М. Получим у=ем+й хе, где г — радиус-вектор относительно точки М Это формула Эйлера. Движение называется вихревым, если й ~ О. Движение называетсв безвихревым, если й = О.

12.2. Потенциал скорости Потенциалом скорости называется такая функция р, что для вектора скорости е выполнена формула др е =угаду, тоесть е; = е;р = —.. дж' В декартовых координатах др др др ех — ег — ех— де* " ду' ' д»' Движение называют потенциальным, если существует потенциал скорости.

Утверждение. Если е"=угабут, той = О; верно и обратное: если й = О, то б = угад ~о. Танин образом, всякое безеихревое двинсение яеляется потенциальным, а всякое потенциальное — безеихреемм. Доказательство. Пусть е = угад р. Покажем, что й = О. Проведем вычисления, пользуясь декартовой системой координат: Аналогично показывается, что ые хх О,ы, = О. Пусть теперь ы, = О, ыг хх О, ы, = О. Покажем, что в этом случае существует потенциал скорости. Рассмотрим дифференциальную форму е,бе+ е„бу+ ехбк. Из математического анализа известно, что эта форма локально представляет собой полный дифференциал некоторой функции р, если и только если де, деу дех де, доя де, ду дк дк дв дв ду ' Но эти условия выполнены, если й = О.

Таким образом, при й = О е,бх+е„ду+е,бя = бах 'Юфан".В".' ве Отсюда то есть э = Кпгб ув 12.3. Циркуляция скорости 11иркуляцией скорости ГАв по линии АВ называется следующий интеграл по линии АВ: в ГАВ = ев вва А где е, — проекция скорости на касательную к линии АВ, а — расстояние вдоль линии АВ. Можно, очевидно, записать выражение для циркуляции в виде в в в г„=/~в в.В=~(в вв- в' ввв' А А А Циркуляция скорости формально аналогична работе силы при перемещении по пути АВ: работа силы 2г есть Особенно часто используется циркуляция по замкнутому контуру 12.4. Формула Стокса Формула Стокса связывает интеграл по замкнутому контуру С с интегралом по поверхности Е, натянутой на этот контур.

Формула Стокса на языке механики записывается в виде Г= авда=2 ьв„Авг (12.3) то есть она связывает циркуляцию и вихрь, В формуле (12.3) Г, — поверхность, надетая на контур С, ь3 — вектор вихря, й — нормаль к поверхности Г, направленная так, чтобы с ее конца обход контура при вычислении др е дя' др дьв вв= — в ев= —, др' да' А = Р,ц'а А Г = и,сЬ. с 12.4. Формула Стокса циркуляции был виден происходящим против часовой стрелки (еслн используется правая система координат). В раскрытом виде формула Стокса в декартовых координатах записывается так: е, йх + ит йр + в, йх = с = 2 ~(го соа(п, х) +ыт сох(п,у) +ык с»ж(п,а)) йсг, где Конечно, так же, как в формуле Гаусса — Остроградскою, в этой формуле в качестве ее вт, е, могут быть любые дифференцируемые функции Р, »й, В.

Формулу Стокса можно вывести с помощью формулы Коши — Гельмюльца следующим образом. Разобьем поверхность Е на сумму малых площадок»зск с границами Ск. Пусть Мь — произвольная точка на плошалке ~нт».. Вычислим циркуляцию скорости по контуру С», используя формулу Коши — Гельмгольца для скоростей точек из окрестности точки Мк.