М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 8

Формулы преобразования компонент аксиального вектора при переходе к системе х имеют вид „дв'7 ы'" = — ы дл" ' Р.2) Очевидно, все диагональные элементы антисимметричного тензора равны нулю. В трехмерном пространстае антисимметричные тензоры второго ранга имеют в общем случае только три независимые компоненты— столько же, сколько компонент имеет вектор (заметим, что это имеет место только в трехмерном пространстве), Оказывается, если ввести ы, ы, ы по формулам 3 70 есть ,, дх'7 „ах'7 аг'7 = вгь —, сслгг Ь > О, вг'7 = — и» вЂ”, если Ь ( О.

ахв ' ахя ' Здесь ах' ах' ах' ахп ах'2 аХгЗ ах' ах2 ах2 а.г2 а. О ь = 1в! = ахз ахз а з аХН ааг2 аХ!З ах О,З 'ах' ах'д Э го соотношение в матричных обозначениях имеет вид (а') = В'(С)В, Здесь (6"), (С) — метрические матрицы в системах координат х", х' со- от ветс г вен но. Далее д' = г1ег(6') =-г1егВ бег(0) дегВ, бе1В = деГВ = 22,. Поэтому д' = дЬ', то есть тггдг = (Зз~ гд, Теперь убедимся, что верны формулы (7.2). Вычислим, например, шп: ах ах" у 22 ~д~ гдПгггча г а О ах' ах' ах2 ах' ах2 ахз Й~2 ах» ахгз ахг2 ахгз П22 Щ~2 ахгз ахз ах' ах" ах" + ахз ах' ах' ах' Йм ахг2 ахгЗ ахг2 аХ!З 2 Ь / 2аХ ! ах 2аХ +— ) = — ~ш — +ю — +ы — ).

,/У ) ~2~~ ~ ах а. а. ) Для вывода формул (7.2) надо использовать 1) определение величин ы', ь2', ь2', то есть формулы (?.1), 2) свойство антисиммметрии 12;2, 3) формулы преобразования компоне~гт П,з и 4) формулу преобразования определителяя метрической матрицы д при переходе к новой системе координат. Выведем формулу преобразования определителя метрической матрицы д. Илгеем 49 7.1. Янтисимметринные гонгоры второго ранга При проведении этой выкладки мы умножили и разделили исходное выражение на гз и учли, что коэффициенты при Йд/~/у и т.д.

представляют собой элементы матрицы А, обратной матрице В. Итак, формулы (7.2) показывают, что если в какой-нибудь системе координат задан вектор о7 = ы зв, то при переходе к другой системе, хотя компоненты меняются, но сам вектор либо остается прежним, если г1, > О, либо меняет направление на обратное, если гз < О. С этим связано название «аксиальный вектор»: этим вектором определяется ось„ а направление вдоль оси зависит еще и от системы координат.

При каких преобразованиях координат гз<О? Пусть, 'например, все оси правой декартовой системы (с конца вектора з, переход от зг к зз виден происходящим против часовой стрелки) меняют направление на обратное (тогда получаем левую систему координат): х =-х, х = — х. гг г а з х = — х, и 1 н ьдхн;,,дхн =6 — = — ю, ы = — м — =ш. дх" дх" Направление о осталось, как и полагается, прежним, а направление зе изменилось на противоположное. Примеры аксиальных векторов. 1) Векторное произведение векторов а и Ь. В правой системе координат оно определяется формулой з~ зг зз 1ахЬ)= — а~ аг аз Ь Ь Ь 2) Ротор вектора о. В правой системе в виде: з~ зг го1 б = — 17~ Зуг Л, координат он записывается зз оз В частности момент силы г1г = т" х Р является аксиальным вектором. Замечание.

Для ковариантных компонент акснального вектора й верны формулы 1 ыь = ы да = — й, и ьт% ! гае р~ — = бег 1у'т), т, у, Ь образуют круговую перестановку из 1, 2, 3. У 'Тогда гз — — 1. При этом, если о — обычный, полярный вектор, а й— аксиальный, то 50 Лекция 7 7.2.

Преобразоаание малой частицы при произвольном перемещении среды Возвратимся к сплошной среде. Наша ближайшая задача — ввести количественные характеристики деформации. Деформация — это изменение длин всевозможных материальных отрезков и углов между ними. Следовательно, говоря о деформациях, мы сравниваем длины материальных отрезков в двух состояниях — начальном и конечном, деформированном. В разных частях тела деформации могут быль разными. Поэтому при введении количественных характеристик деформации мы рассматриваем малую окрестность некоторой точки ЛХ сплошной среды, Сначала займемся обшей геометрической картиной того, что происходит с деформируемой средой в результате перемещения ее точек.

Рассмотрим два состояния некоторого обьема среды (рис. 7.1а, б). Первое из них назовем начальным, а второе — конечным, или актуальным, или деформированным. Названия зти — условные, просто мы интересуемся деформациями во втором состоянии относительно первого. Можно было бы, наоборот, второе состояние считать начальным, а первое — деформированным, разогнутый брусок на рис.

7.1а получается из согнутого (рис. 7.1б) в результате некоторого деформирования, а) рис. 7.1. а) Начальное состояние тела, б) деформированное состояние Пусть х' — некоторая пространственная система координат, будем ее для простоты считать декартовой. Координаты индивидуальных точек в начальном состоянии обозначим хв, координаты тех же точек в конечном состоянии — в'. Связи между старыми (начальными) и новыми (после деформации) координатами ж г ж(жо яо ло) а г ~ з з (7.3) считаем непрерывными и взаимно однозначными, что соответствует естественным предположениям, что !) близкие точки переходят в близкие (разрывы вообще возможны, например разбрызгивание, но такие явления в дальнейшем можно рассмотреть отдельно) и 2) две разные точки среды 7.2.

Преобразоеаиие мелей часпчцы при перемещеиии среды 51 дх' В ь (7.4) Итак, преобразование малой частицы есть!) перенос вместе с центром и 2) преобразование всех малых векторов дга в векторы дг". Все преобразование частицы, кроме поступательного переноса вместе е центром, иазываетея уа' листорсней. Матрица ~ — ) называется матрицей днеторснн. Она зависит ~~,~) от точки М, но не зависит от Нхе. Следовательно, преобразование малой ь частицы (7.4) — линейное, то есть аффинное. Перечислим некоторые свойства аффинных преобразований, которые делают ясной геометрическую картину того, что происходит с малой частицей сплошной среды. 1.

При аффинных преобразованиях прямые переходят в прямые, параллельные прямые — в параллельные прямые, параллелограмм переходит в параллелограмм. Это значит, что все параллельные отрезки растягиваются в одинаковое число раз. Достаточно вычислить, например, относительное растяжение (или сжатие) отрезка, проходящего через точку М, а относительное растяжение (или сжатие) всех других отрезков из данной окрестности, имеющих то же направление, будет таким же.

2. Поверхности второго порядка переходят в поверхности второго порядка; в частности, сфера переходит в эллипсоид, причем сопряженные диаметры сферы переходят в сопряженные диаметры эллипсоида. у эллипсоида общего вида имеется одна тройка взаимно перпендикулярных сопряженных диаметров и она возникла из сопряженных диаметров не оказываются одновременно в одной и той же точке пространства, и одна и та же точка среды не оказывается сразу в двух местах. Будем считать связи (7.3) дифференцируемыми, В остальном соотношения (7.3) могут быть произвольными, поэтому можно сказать только, что при непрерывном преобразовании среды линии переходят в линии, поверхности — в поверхности, объемы — в объемы, замкнутые линии и поверхности — в замкнутые линии и поверхности.

Но если рассматривать только малую частицу среды, то о ее преобразовании можно сказать существенно больше. Итак, рассмотрим малую частицу среды — малую окрестность некоторой произвольной точки М (рис, 7.1). Начальные координаты точки М обозначим х',. Точку М далее условно будем называть центром частицы.

Точки из малой окрестности точки М имеют в начальном состоянии кооРдинаты ха~ + г1х~е, так что если бы мы этУ точкУ пРинЯли за начало координат, то координаты всех точек из ее малой окрестности были бы дха. В конечном состоянии точка М имеет координаты х~, а точки из ее окрестности — х' + Их .

Векторы ггге с компонентами г1хе есть радиус- векторы точек относительно точки М в начальном состоянии, г1т с компонентами 4х — в конечном состоянии. ! Так как х = х (хе), то 52 Лекция 7 сферы. У сферы все сопряженные диаметры взаимно перпендикулярны. Из всего сказан~ юго можно сделать вывод, что при любом аффинном преобразовании существует по крайней мере одна тройка взаимно перпендикулярных осей, таких, что взаимно перпендикулярные прямые, бывшие до де<)гормации параллельными этим осям, являются взаимно перпендикулярными н после деформации. Эти оси называются главнымв осями деформации. Главные оси можно отметить в положении до деформации и в положении после деформации. В этих двух положениях они, вообще говоря, повернуты друг опюсительно друга. 3.

При аффинной деформации относительное изменение обаема не зависит от формы объема. Поэтому для вычисления величины относительщ>го изменения обьема можно выбирать частицу любой удобной формы, например в виде сферы или в виде параллелепипеда. Итог. При произвольном гладком преобразовании среды преобразование малой частицы комбинируется из !) поступательного перемещения, 2) поворота, определяемого поворотом главных осей деформации, 3) растяжения или сжатия вдоль главных осей деформации. 7.3. Тензоры деформаций Грина и Альманси ляг ,таг гд ~,.),!~',~~г Введем обозначение ! е;, = -(д! — ф,). 2 (7.5) Чтобы ввести те|~зори деформаций, удобно поначалу воспользоваться лагранжевой системой координат С .

Лагранжевы координаты — это параметры, которые для каждой индивидуальной точки фиксированы, це меняются, что бы с ней ни происходило. Поэтому у точки М координаты ( и в начальном, и в деформированном состояниях — одни и те же, и относительные координаты индивидуальных точек окрестности, то есть г!с', — одни и те же. Конечно, это значит, что сама система координат деформируется вместе со средой.

Обозначим векторы базиса лагранжевой системы в точке М в начальном и конечном состояниях соответственно через з;, з„компоненты метрической матрицы — через д,, д; (см. Таблицу 7. !). Квадраты длин материальных отрезков, выходящих из точки М, в началыюм и конечном состояниях соответственно равны вас — — дел г)~г и с!а' .= д; г!('Н(г, причем величины пг,', Щг в обеих последних формулах — одни и те же по определению лагранжевых координат. Рассмотрим разность квадратов длин малых отрезков после и до де- формации 7,3.