М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 4

Векторы э, направлены по касательным к координатным линиям, но длины их не равны единице, если координаты не являются длинами дуг вдоль координатных линий. Для вектора г!т, соединяющего точки с координатами х' и х! + т!х~, имеем ег = ох э~ + Их ээ + к!х эз = г!х'эь Здесь мы снова используем «соглашение о суммированиити в последнем члене подразумевается суммирование по ! от ! до 3. Получим формулу для квадрата расстояния между точками с координатами х и х + ох .

По определению, к!в = )ет1 = (Й' Иг) = = ((к!х э| + пх ээ + к!х эз) ° (тгх'э~ + цх ээ + пх эз)) = = (э; эу)т!х'охт. Здесь точка между векторами означает скалярное произведение и в последнем члене, как обычно, подразумевается суммирование по ! и по у. 2.2. Метрическая матрица. Кентравариантные векторы базиса Для скалярных произведений векторов базиса вводятся обозначения (э; ° э.) =де, тогла формула для квадрата длины дуги принимает вид т!в~ = д; к!х'охз.

матрица с компонентами д; называется метрической. Дая декартовой системы координат дб =А~ где д, — символы Кронекера (они равны ! при ! = з' и равны 0 при ! Ф з' Опрелелитель метрической матрицы, который будем обозначать буквой д, Равен, как известно, квадрату обьема параллелепипеда Х>, построенного гг Лекция 2 на векторах базиса э;. Формула для элемента объема, то есть для объема малого параллелепипеда со сторонами к!х'э1 (здесь суммирования по т нет!), имеет внд Лг = тгд г!х'Их г!х . Обозначим компоненты матрицы, обратной метрической, через до, и вве- дем контравариантные векторы базиса э"! по формулам (2.!) Вычислим скалярные произведения конт- равариантного вектора базиса на ковари- антный: (э! эв) = (э ))эв) сов ам = = до(эу эв) = двдув = бк.

Здесь а,в — угол между векторами э! и эв, а д, — символы Кронекера. Следовательно, контравариантные векторы базиса направлены по нормалям к координатным поверхностям. Действительно, из формулы 2.! имеем, например, что (эз э1) =О, (э ээ) = О, то есть э .1 эм н э 2 эы Для ортогональной декартовой системы ксюрдннат ковариантные и контравариантные векторы базиса совпадают.

х' Рнс.2.2. Расположение базисных векторов э1 н э в случае, когда система координат не ор- тогональна Покажем еще, что дб = (э' эт). Действительно, (э э~) =(д эв ° д~э",) =дыдг~(эв.э,) =д'~ддд, — дмбэ — дв Разложим вектор к!г" по контравариантному базису. Обозначая его компоненты в этом базисе через к!х;, будем иметь й = Их,э', к!в~ = Ю~ = до к2х;т2х,. дх =д к(х,, г(х; =дик!х . в ь в (2.2) Например, первые из этих формул получаются приравниванием коэффи- циентов при эь в следующем выражении: Иг" = г(хьэь = г(хвэ' = к(х;д 'эв. Связи между компонентами вектора к!тгт в ковариантном и контравариант- ном базисах таковы: 2З 2.3, гг!армулы преобразования векторов базиса 2.3.

Формулы преобразования векторов базиса и компонент метрической матрицы при переходе к другой системе координат Теперь рассмотрим формулы преобразования векторов базиса и компонент метрической матрицы при переходе к другой системе координат. Пусть наряду с системой х мы вводим новую систему координат х . Новые координаты связаны со старыми формулами х! = хи(х~, х', х'), причем зти связи предполагаются непрерывными и дифференцируемыми, с отличным от нуля якобианом, так что можно написать и обратные формулы: Далее нам понадобятся матрицы дхц дхо дхн д*' дх' д*' дх' дхг дх' дхп дхзг дх'3 дха дха дхгг дхг дхг дх' дх д дхз дхг! дх г дхгз дхгз дхз дх" дхз дхз дхз дхп дхг дхз дх! дхг дхз Матрицы А и В взаимно обратны: ВА = Л. Действительно, произведе- ние з'-ой строки матрицы В на и-ый столбец матрицы А имеет вид дх!' дх'3' дх! = дк. дх'з дхк дхк В старой системе координат мы ввели набор величин эн э', д;;, д", бхг, !ах!.

Замечание. Величины бх„компоненты вектора бг в кантравариантнам базисе, не являются дифференциалами некоторых новых координат х,. Координаты х; в абшем случае ваабше ввести нельзя: из вгарай группы формул (2,2) видна, что х; можно ввести толька тогда, когда лифференциальные формы д к бх представляют собой полные дифференциалы. Чтобы эта была так, коэффициенты ди дазжпы удовлетворять известным условиям, которые, как правило, не удовлетвоРяются.

! Нетрудно проверить, что, например, в случае цилиндрических координат (х = Л, х = ф, х = х) компоненты метрической матрицы д,к не удовлетворяют уславиз Ям полного дифференциала лла фаРмы дцбх, следовательно величин х, ввести к нельзя. 24 Как связаны с цнми величины соответствующие новой системе координат? Проще всего (непосредственно из формул дифференцирования) получаются формулы преобразования для ковариантных векторов базиса и компонент вектора Йг в атом базисе: дг" дг дху дхз г дх' дхз дх» у дз Ф двл Йва = — Йв', двз дж' Йг = Йв;э = Йх э ~ = Йхг —.э ', дяц отсюда двя двз дя' з = —.зг~, дамб Наконец .д I~' Обратим внимание на то, что переход от старых величин к новым для всех величин с нижними индексами проводится с помощью матрицы В, то есть величины с нижними индексами при переходе к новой системе координат меняются по тому же закону (умножаются на ту же матрицу В), что и векторы базиса с нижними индексами, откуда и происходит название закона преобразования — «ковариантный» (от позднелат.

со — вместе, с, одинаково и тапаге — видоизменять), а также и название самих векторов базиса с нижними индексами. Для величин с верхними индексами переход от старых величин к новым происходит с помощью обратной матрицы А, контравариантно по отношению к основным (ковариантным) векторам базиса. / дж" дх' 1 дх~ дх' дя" дзз двб дав,,дю~ дях Йз;=Т.Йх = — 9и — — — Йх =9ы — бмйх =9ыйв — =Йже —. дял дхб дв ' дел дж" дел' Для того, чтобы получить обратные формулы — перехода от координат со штрихами к координатам без штрихов — надо, очевидно, в написанных выше формулах просто стереть штрихи там, где они были, и поставить там, где их не было, то есть заменить штрихованные величины на нештриховацные и наоборот.

Получим формулы преобразования контравариантных векторов базиса, пользуясь инвариантностью вектора Йг и формулами преобразования вели шн Йх~: Лекция 3 3д, Векторы как объекты. Коеариантные и контравариантиые компоненты вектора. физические компоненты вектора 3.2. Операции над векторами 3.3. Тензоры как объекты 3.4. Формулы преобразования компонент тензоров при переходе к другой системе координат 3.1. Векторы как объекты.

Ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Физические компоненты вектора Мы будем рассматривать векторы и векторные поля, то есть векторы, заданные как функции координат точек в некоторой области. Например, мы будем далее рассматривать векторы скорости всех точек сплошных среды. Пусть в некоторой точке задан вектор е. Рассмотрим разложения е по локальным ковариантному и контравариантному базисам: Ф е=еэ<=еээ .

Получим формулы преобразования компонент е и е, пользуясь тем, что вектор есть инвариантный, (то есть не зависящий от системы координат) объект, Будем, как и раньше, отмечать штрихом компоненты и векторы базиса в новой системе координат. Из свойства инвариантности вектора следует: дхо б=е з =еэ;=е —.з. б I 1 $ | дх' ~ Отсюда, Приравнивая коэффициенты при векторах базиса э,', получаем ,дхб е' = е' —.. дх' Это контравариантный закон преобразования, поэтому компоненты е вектоРа е в ковариантном базисе называется контравариантными компонентами. Аналогично ,Ф е = е'эо = е;э' = е, — э — 3 3дхб откуда дхг 6' = гй —.. ' дхб Это ковариантный закон (аналогичен закону преобразования основного базиса); поэтому в, называются ковариаитиыми компонентами вектора д, В дальнейшем всегда расположение индекса вверху будет соответствовать контраварнантному закону преобразования.

Расположение индекса внизу соответствует ковариантному закону. Выведем соотношения, связывающие ко- и контраварнантные компоненты вектора; г г 1 У В е =- е э, = вгэ г а д, э = егд эь Следовательно в' = пуд' Ц Видим, что умножение на метрическую матрицу нли обратную к ней «опускаеть или «поднимает» индексы. Замечание 1. В декартовой системе координат дц — — дч = ач, поэтому е, = е', то есть ко- н контравариантные компоненты векторов совпалают. В механике и физике используются также компоненты векторов в других базисах.

Например, при описании процесса в ортогональных криволинейных системах координат часто вводятся единичные векторы базиса, направленные по касательным к координатным линиям (заметим, что векторы э, в общем случае не единичные). Компоненты векторов в таком единичном ортогональном базисе называются физическими. Продемонстрируем различие между ковариантными, контравариантными и физическими компонентами вектора на следующем примере. Пусть точка движется по окружности радиуса 5 м со скоростью 1 м/с. Введем полярную систему координат х=В, х=уг с началом в центре окружности. Координатные линии — радиусы (ф = = сопы) и окружности (В = сопз1).

Квадрат длины дуги в полярных координатах представляется в виде ва =йВ +Вйгг. Соответственно, компоненты метрической матрицы до и обратной к ней — дг следующие: Рис. 3.1. Движение по охружности г 1г 22 дп =1, уи =уг~ =О, угг=В, д = П у Вг ' Будем использовать наряду с ковариантными и контравариантными векторами базиса э„эг также физические векторы базиса е;. 27 3.2. Операции над векторами Векторы эм э, е~ направлены в каждой точке вдоль радиуса, а векторы эг, э, ег — по касательной к окружности. Для модулей этих векторов имеем 1ег~ = 1. (э~! = х/дп ив — 1, )э (=х/дп =1, ~эг! =,дгг = Н, 1 1э ) = Х/дм = —, В Слеловательно, — — г 1 э~ = э = еп эг = ггег э = — ег.

Н В рассматриваемом движении вектор скорости точки представляется в виде г г о = о эг = игэ = игф„,ег, 3.2. Операции над векторами 1. Умножение иа число. При умножении вектора на число Л все его ком- поненты умножаются на это число: Ло = Ло'э, = Ле эм.