М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 7

В частности, ковариантная производная Пт скаляра есть, конечно, просто частная производная по координате: дх '7ь'Р = д,. Ковариантные производные тензора Т представляют собой компоненты следуюшего тензора дТ \я е - - -ь-е дх" — э = '~ущТ „э,эуэ э = ЧТ. Иногда для этого тензора используется название «градиент тензора Т». 5.4. П равила ковариантного дифференцирования 1. Правило ковариантного дифференцирования суммы: Чк(а'+ Ь') = 7ьа'+ Чьбг проверяется непосредственным вычислением.

2. Правило ковариантного дифференцирования произведения: 'хгь(а'Ь ) = ('Гьа')Ь + а'~ьЬ проверяется непосредственным вычислением. 3. Независимость производных высшего порядка от порядка дифференцирования: 'кгьТг„,а' = к7„, т'ьа', (5.2) 5.5. Ковериентные производные компонент метрического тензорв 41 5.5. Ковариантные производные компонент метрического тензора Ковариантные производные компонент метрического тензора равны нулю; ~ь г вшу;к = О, '7ту = О, ~Губе = О.

Эти равенства проверяются непосредственными вычислениями. Например, используя определения дэ; ды = (э; ° эз), — = Г, эп дх'" имеем д(э; эк) д„гг -длг„= -даг,„-д,г'„= дх эк) + Гкм(э! ' эг) УгвГив длГк = О. дУы Уг» = д дл = Гг (э~ ° Это свойство выполняется не всегда! Если пространство евклидово, то есть можно ввести единую для всего пространства декартову систему координат, то проверим равенство (5.2) в декартовой системе. В этой системе ковариантные производные равны просто частным производным по координатам. Частные производные второго порядка не зависят от порядка дифференцирования. Поэтому в декартовой системе координат компоненты тензоров, стоящие слева и справа в соотношении (5.2), равны друг другу. Тогда они равны и в любой системе координат, то есть свойство (5.2) выполняется.

Однако если пространство таково, что ввести декартову систему координат, единую для всего пространства, нельзя (пространство с кривизной), то свойство (5.2) не выполняется. Лекция 6 6.1. Свойства символов Кристоффеля 6.2. Тензор кривизны 6.3. Тензоры второго ранга. Разложение на сумму симметричного и антисимметрнчного тензоров 6.4. Тензорная поверхность, Главные оси и главные компоненты симметричного тензора второго ранга 6.5. Инварианты симметричного тензора второго ранга 6.6. Разложение симметричного тензора на шаровой тензор н девиатор 6.1.

Свойства символов Кристоффеля Символы Кристоффеля определяются формулами дэ; — =Г .эь дь=м Они входят в выражение для ковариантных производных от компонент тензоров. Например, если Т = Т,'.э1эт, то дт,': тахт.'. = — „+т à — т."Г' . дТ вЂ” = т7ьТ. 'э;э', дзь ! г;„= г, Доказательство. В евклидовом пространстве можно ввести радиус-вектор г" и векторы базиса суть частные производные от г по координатам, Тогда имеют место равенства дэ, дэь двь дв' ' Свойства символов Кристоффеля. К В трехмерном пространстве количество символов Кристоффеля — 27.

Но в евклидовом пространстве (в котором можно ввести единую декартову систему координат) Гц. симметричны по нижним индексам, то есть Е.г. ааааа аривйэим Действительно, дт" дх;' дз дзт дзгт дэь дх" дх" дх! дхгдх" дх' ' Поэтому 1 ь, Г д»м ддзэ ддб'1 2 (, дх! дх' дх') ' (6.1) замечание. для доказательства формул (6.1) достаточно выполнение только двух условий: 1) возможность введения метрики и 2) симметрия Г,ь по нижним индек! сам.

Возможность введения единой для всего просгрансгва декартовой системы координат не обязательна, пространство не обязал ельно должно быть евклиловмм. Пространство, в котором выполнены перечисленные два условия, называется римановым. 6.2. Тензор кривизны Рассмотрим смешанные ковариантные производные второго порядка.

Непосредственным вычислением получается следуюшая формула ь ь ! сь ~7;тра — ч" 'чга = а Дгг ., где (6.2) Тензор четвертого ранга с компонентами Д гзь называется тензором кри-в визны. Если имеют место формулы (6.1), то компоненты тензора кривизны могут быть представлены как функции компонент метрического тензора и их первых и вторых производных по координатам: д.г, .гь / ддя, 0»гг ') "'~»" дх 'дхд~,)' В евклидовом пространстве Дг; . = О.

Для декартовой системы координат -ь это свойство очевидно, так как в этой системе дб —— — сопл!. Но так как ь В!!1, — компоненты тензора, то из их равенства нулю в одной системе координат следует их равенство нулю во всех системах координат. ! ! ! ! Г,ьэ! = Гыэн то есть Гц = Гм. Следовательно„независимых Г;ь может быть не более 18.

! 2. Гг„не являются компонентами тензора! Это видно, в частности, из того, что все они равны нулю в декартовой системе координат, и не все равны нулю — в криволинейной. 3. Если Гаа симметричны по нижним индексам, то они выражаются ! через компоненты метрического тензора и их производные по координатам по формулам: Лекция б 6.3. Тензоры второго ранга. Разложение на сумму симметричного и антисимметричного тензоров Тензор второго ранп1 может быть представлен в любом из следующих четырех видок Тензор называется симметричным, если и антисимметричным, если Для симметричного тензора Т.': = Т'., Т;~ =- Т~, ТС = ТУ~. л Докажем, например, первые из этих соотношений: 1 м ы ч Т,,:=д Тго=д Тгь=т, Для антисимметричного тензора Т' = — Т,, ТУ= -Т~, э' в Тснзор второго ранга можно единственным образом разложить на сумму симметричного и антисимметричного тензоров.

Действительно, пусть Хб=Н;,.+йьн Нб=Нгн й; = — й„тоесть ТЛ=Н; — йчь Складывая и вычитая первые и последние из этих равенств, получаем 1, ! Нб = -Д, + Т,;>, й„= -<Тб - т,,1 2 ' 2 6.4. Тензорнав поверхность. Главные оси и главные компоненты симметричного тензора второго ранга Т„х хз = сопи. На самом деле в уравнение тензорной поверхности входит только симметричная часть тензора, так как если й;.

— антисимметричный тензор, то йбв'я' яв О. Тензорную поверхность для тензора второго ранга Т по определению введем следующим образом. Пусть а' — декартовы координаты с началом в той точке, где задан тензар Т. Тензорной поверхностью тензора Т называется поверхность второго порядка б.б. Инварианты симметричного тензора второго ранга 45 Поэтому тензорную поверхность имеет смысл вводить только для симметричных тензоров. Поверхность Н23х'х' = сопи представляет собой (в случае общего положения) эллипсоид или гиперболоид.

Для такой поверхности можно ввести главные осн. Пгавиой системой координат для симметричного тензора второго ранга называется ортогональная декартова система, оси которой направлены по главным осям тензорной поверхности. В главных осях уравнение тензорной поверхности имеет вид Нн(и ) + Н22(и )'+ Н33(и ) = сопи. Следовательно, в главных осях внедиагональные элементы матрицы Н; равны нулю. Замечание.

На языке алгебры существование главной системы следует из теоремы о том, что всякую симметричную матрицу можно привести к диагональному виду. Для нас важно здесь подчеркнуть, что рассматриваемое преобразование к диагональному виду матрицы компонент тензора связано с переходом к главной системе координат и что главная система координат является по определению ортогональной декартовой, в частности векторы базиса в ней — елиничные. Для элементов, стоящих на главной диагонали, используются обозначения Н33 = Нн Н22 = Н21 Н33 = Нз. Кроме того, так как главная система — декартова, то НЦ = Н.'3 = Н;3.

Компоненты симметричного тензора в главной системе координат назы- ваются главными компонентами. 6.5. Инварианты симметричного тензора второго ранга Из компонент симметричного тензора второго ранга можно составить, например, следующие инварианты, то есть функции, значения которых не меняются при переходе к друюй системе координат: Х! =Н.'; =НЦ9' =И'9Ц=и, +И,+И„ ь ц и ,тз = И',:И';. = Нциб = НЦН;, = (и,)'+(Н,)'+(н,)', 13 = Н.*,:Н",Н." = (Н,)3+ (Н,)'+ (Нз)', 9 = И.':И, Н.",'Н.; = (И ) + (и ) + (и ) и так далее. Часто используются также инварианты 2 а1 32 = -1~ — 12 = НЗН2+Н2нз+Нзи3, 23 = бет(%) = ИЗН2нз.

2 46 Лекция 6 Так как все инварианты симметричного тензора могут быть вычислены в главной системе координат через три главные компоненты, то независимых инвариантов симметричного тензора может быть не более трех. Нетрудно проверить, что в общем случае, когда все главные значения различны, инварианты 1п,7ы 1з являются независимыми, Эти инварианты называют соответственно первым, вторым и третьим инвариантами.

В качестве системы независимых инвариантов используется также набор 1п 1з, 1з. 6.6. Разложение симметричного тензора на шаровой тензор и девиатор Тензор называют шаровым, если его тензорная поверхность есть сФера, то есть все главные значения совпадают; Н~ = Нз = Нз = Л. Компоненты шарового тензора записываются в виде Эти равенства очевидны в главной системе координат (она декартова, в ней 9;. = бс, б, — символы Кронекера), а так как они тензорные, то они верны и в любой системе; таким образом, шаровой тензор имеет вид Н=ЛС.

1 Так как для шарового тензора 1~(Н) = ЗЛ, то есть Л = -1~(Н), то его 3 компоненты записываются также в виде Ну = — 1АН)9И, Н Р = -ЦН)9), Н) = -11(Н)б), 1 Н = -1(Н)а. 3 Девиатором Н тензора Н называется тензор с компонентами, ко- (4) торые обозначаются Н; и определяются Формулами (4) Следовательно, любой тензор можно представить в виде суммы шарового тензора и девиатора: Нб = -1,(Н)9)1+ Н,, (4) Девиатор характеризует отклонение тензора от шарового. Важным свойством девиатора является то, что его первый инвариант тождественно равен нулю: ! 1,(Н"') =1,(Н) — -1,(Н) 3ьзб.

3 Лекция 7 7Д, Антисимметричные тензоры второго ранга в трехмерном пространстве 7.2. Преобразование малой частицы при произвольном перемещении среды 7.3. Тензоры деформаций Грина и Альманси 7.1. Антисимметричные тензоры второго ранга в трехмерном пространстве Рассмотрим аитисимметричиые тензоры второго ранга: й = Рнэз'э3, П,3 — — О3!. ! ~ 2 ~ 3 ч' = О23 ы = ЙЗ! М = ~~!2 =,д '' ,д ' д ! 2 3 где д — определитель метрической матрицы (д! ), то ы, ь2, ы при переходе от системы координат х' к системе в ' преобразуются как контравари3г дв! ~ антные компоненты вектора, если определитель Ь матрицы В = ~ —.) 3, д!в'3 ) положителен; если же этот определитель отрицателен, то при преобразовании все компоненты дополнительно меняют знак. Такие объекты называются аксиальными векторами.