М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 6

Рассмотрим всевозможные произведения компонент одного тензора на компоненты другого, причем хотя бы один индекс у компонент одного тензора — верхний, а у компонент другого тензора — нижний. Выделим пару индексов, верхний у компоненты одного сомножителя и нижний — у другого сомножителя; затем выберем те произведения, в которых выделенные верхний и нижний индексы олинаковы; затем рассмотрим суммы таких произвелений при фиксированных наборах остальных инлексов.

Полученные суммы предсташшют собой компоненты тензора, ранг которого на 2 меньше суммы рангов сомножителей. Например, если Т'3 — компоненты тензора 2-го ранга и Н2 „— компоненты тензора 3-го ранга, то ТоНЛ„„— компоненты тензора 3-го ранга. 4.3. Скалярные инварианты тензоров С помощью сверток можно получать скалярные инварианты тензоров, то есть функции компонент тензоров, сохраняющие свои значения при преобразованиях координат. В частности, из компонент тензора второго ранга можно построить следующие инварианты; 11 = Тч, У2 = ТЗТ,, Уз = ТЗТеТ., И 12д.

С помощью формул преобразования компонент тензора доказывается, что приведенные выражения действительно сохраняют свои значения при 3 преобразованиях координат. Заметим, что, например, сумма ~~~ Ти не яв3=1 ляется ннвариантом. Из компонент тензора четвертого ранга можно построить, например, следующие инварианты; 4.4.

теореме деления., или ооретиый теизоримялризиак 3$ 4.4. «Теорема деления», или обратный тензорный признак «Теорема деления», или обратный тензорный признак формулируется следующим образом. Если какие-то числа в свертке с тензором, компоненты которого могут принимать произвольные значения, лают компоненты тензора, причем это справедливо в любой системе координат, то эти числа сами являются компонентами тензора. Например, пусть в любой системе координат выполняется соотношение р'тп = Т', у (4.2) причем о природе рт заранее ничего не известно, но известно, что и.

и Т' — компоненты векторов и пт могут принимать произвольные значе- ния (конечно, при разных значениях п получаются разные Т~ ). Покажем, что рп — компоненты тензора. В системе координат х 1 имеем р~адп! Т ~а Ф (4.3) Используем в соотношениях (4.2) формулы преобразования для пу и Т': ;,, да'", дхг рцпь —.

— — Т Л вЂ”. дхй дхи дха Домножим обе части последнего равенства на —. и проведем суммиродхт ванне по т: и и ~а т га , дХ 'дХ,т дХ дХ И а ~ад ~ таа =Тд — —. =Тра =Т'=р яд =1 дху дх' дхи дхт ;. дх'" дх'а дт д' Это тензорный закон преобразования для р'т. Замечание. другой формулировкой теоремы деления может служить следующее утвержление. Пусть компоненты одного тензора А суть линейные функции компонент другого тензора В и эти зависимости инвариантны относительно преобразований координат. Тогда коэффициенты этих линейных функций сами являются компонентами тензора, ранг которого равен сумме рангов тензоров А и В. Здесь в последнем равенстве мы заменили индекс суммирования )З на й, учитывая, что всегда обозначение индекса суммирования несущественно. Далее, так как пь могут принимать произвольные значения, то коэффициенты при и'„, должны быть равны, то есть Лекция 5 5П.

Дифференцирование скалярной функции по координатам. Вектор градиент 5.2, Дифференцирование вектора по координатам 5.3. Дифференцирование тензора любого ранга 5.4. Правила ковариантного дифференцирования ' 5.5. Ковариантные производные компонент метрического тензора В механике сплошных сред„как правило, имеют дело с тензорными полями: в каждой точке области, занятой средой, вводятся некоторые тензорные величины. Таким образом, тензоры являются функциями координат и, возможно, времени.

Дальше эти функции предполагаются дифференцируемыми. 5.1. Дифференцирование скалярной функции по координатам. Вектор градиент др Рассмотрим скалярную функцию р(х~, 1). Частные произаодные —. дхг представляют собой ковариантные компоненты вектора, который называется градиентом х и обозначается ягайло. Действительно, при переходе к другой системе координат х", согласно формуле дифференцирования сложной функции, имеем др др дев дхл дхь дхл Это закон преобразования ковариантных компонент вектора. Таким образом, др др— у+ — й, ду дл где г', у', к — векторы базиса.

В декартовой системе координат х, у, дуя ягаб р = — 1+ дх Ф; — э, д*' ' 3 5.2. Дифференцирование векторе ло коордиватвм Свойства вектора якай !о. !) ут называется потенциалом вектора — градиента р. Пример: потенциальная энергия точки с массой тп, взятая со знаком «минус», является потенциалом силы тяжести Ф. Если ось х направлена вертикально вверх, а величина ускорения силы тяжести есть д, то на массу тп действует сила, компоненты которой равны Р = соо51 о„=О, Г,= — пц, Рис. 5.1. агаси перпендикулярен поверхнОсти !т = сол51 то есть дф .

/~р — = !пп —, дв - з,в' ГДŠĻ — Расстояние между близкими точками вдоль направления в. Если выбрать ось в в качестве оси х декартовой системы координат, то дут/дв = дф/дх, а эта частная производная есть проекция дгай ут на ось х, то есть на ось в. В частности дф/дп, где и — расстояние вдоль нормали й к поверхности ф = соп51, есть проекция вектора утай у на самого себя; поэтому др дф ар йгай ~р = — й, — = (якай ~р), = — (й в) = — соз а, д ' д ' д д где а — уюл между й и в. Таким образом, направление угай !о указывает направление наибольшею роста функции ут.

5.2. Дифференцирование вектора гго координатам Запишем вектор а виле 3» а =- а эь Тогда да даг; дэ, — = — э, + а —. дхв дх" ' дхв' Р=дгайП, П= — таю 2) ягай ф направлен по нормали к поверхности ут = сопл!. Действительно, если мы движемся вдоль поверхности !о = сопн, то ду5 ду5 дуо йф = О, то есть — йх+ — йу+ — йа = О, иными словами, (дгай уз йт) = О, дх ду дз а это означает, что рай х перпендикулярен йт, если йт направлен по касательной к поверхности ф = соп51. 3) Производная !о по любому направлению равна проекции дгай ут на это направление. Доказательство можно провести, например, следуюшим образом.

Производная р по направлению в по определению есть 38 Лекция 8 В декартовой системе координат векторы базиса э; одинаковы во всех дэ, точках, — = О, и компоненты производной от вектора равны просто д.й производным от компонент вектора. Однако лля криволинейной системы координат производные от векторов базиса э; по координатам в обшем случае не равны нулю, за счет этого получается более сложная формула для компонент производной от вектора. дэ, Обозначим коэффициенты разложения вектора — по векторам бадхй зиса э через Г',й: дэ; — = Г;.эь дхй Функции Г;й называются коэффициентами связности или символами Хри! стоффеля.

Имеем да да'; ~ /даг дхй дхй ' и ( дхй Комбинацию да' — + а Г)й дхй называют ковариантиой производной по х от контравариантной компой ненты а'. Для ковариантной производной разные авторы используют различные обозначения, например: я к е а г ! а — +а Ги = 57йа =а й =ай дхй В этих лекциях мы будем использовать для ковариантной производной по х обозначение 57й (символ к7 читается «набла»), Итак, формула для А. произ~юдной вектора по коорлинате имеет вид да — = 57йа'э,. дхй Пример.

Формула, выражающая вектор ускорения через производные скорости, при эйлеровом описании имеет вид (см.,текцию 1) де „дд а= — +в —. д1 дхй ' Тогда для компонент ускорения в криволинейной системе координат имеем в = — +6 57йв. 1' де А. в' д1 (5.1) 5.2. Дифференцирование вектора ло координатам Некоторые свойсп»в ковариаитиой производной. П В декартовых координатах все символы Кристоффеля равны нулю и ковариаитиая производная есть просто частиая произведиая по коордипв»в да' н»а - =—. дх» ' да' 2. 17»а' — компоненты тензора 2-го ранга (в то время как — не явдх» лаются компонентамн тензора). Чтобы в этом убедиться, покажем, что линейная комбинация днадных произведений векторов базиса тт»а'э,э есть инвариантный обьект; и да ц да дх' дхи да ~т~а Зэ э = — э = — — э — = — э = »7»а'э|э .

дхл дх» дхи дх'" дх» Введем теперь ковариантную производную от ковариавтиых компонент вектора. Имеем да да;; дэ дх» дх» ' дх» ' д т Обозначим коэффициенты разложения вектора — по векторам базиса дх» э через С~». дэ' — = Стт»э, дх» Покажем, что С,'» = — Г,'.. Для этого проднфференцируем по х соотношение (э' э ) = б'. Получим — „° э + э — „=О, тоесть - тйво См(э ' эу) + Гу»(э ' ~~) = Ст» + Г~» = О. Итак, дэ' — = -Г'»э '.

дх» Поэтому да дак и дэ' /да; = — э + а; — = ~ — — а~Гг»)э' = ~7»а;э', дх» дх» ' дх» ~ дх» ковариантная производная от ковариантной компоненты вектора определяется формулой да; т ~7»а; = — — а|Гц. дх» 40 Лекция б 5.3. Дифференцирование тензора любого ранга Рассмотрим, например, тензор гу-- -а Т = Т «э;э~э . Продифференцируем тензор Т по координате х дТ дТ'~~:,. ц. дэ, ь Е дээ а сь „дэ — э;ээ +Т .— э.э +Т э~ — э +Т э;э — = дхкк дх ' У 'а дх З "" дх~ "ь Ьдх ( дТгг' -а а5 га з и а --а б --й + Т ь Г„„, + Та Гя,я — Т, Гь„эгэ,э = тУгяТ „э;эуэ . (, дх'" Следовательно, формула для ковариантной производной компонент тен- зора третьего ранга имеет вид ц дТь еу ~ га Е а тутТа — + Та Гящ + Ха Гещ Т еГькя. дхи3 Аналогично получаются формулы для ковариантных производных компонент тензора любого ранга.