IV.-Квантовая-электродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 8

Такую четность имеют шаровые векторы Ъ' и У ~; из Т (э) них, однако, лишь первый удовлетворяет условию поперечности. Для фотона магнитпого типа (ЛХ)) вектор А()с) должен иметь Гл. 1 38 ФО'ГОН четность ( — 1)лт', такую четность имеет только шаровой вектор Ъ ( ). Поэтому волновые функции фотона с определенным мо)т' клентом 1 и его проекций гп (и энергией ш) А„,б„л(1с) = — б()1с~ — ш)'Уб~(п), (7.6) при.!ем В качестВе У)т надО писать У или У соотВетствснио )э) )и) в случае фотона электрического или магнитного типа; заданное значение энергии учитывается множителем Б()1с~ — ш). Функции (7.6) иорлчированы условием (2я)4 шш1А* Я)А„11в()с)с)з)с = шб(ш' — ш)5 5„„, (7.7) с З м'Л' пк Для волновых функций координатного представления условие (7.7) эквивалентно условию ') — 1 )е"э, ) )е, ) )+н';«) )н; ) ))э *= = шб(ш' — ш) Цз б,пп, .

(7.8) Действительно, интеграл в левой стороне равенства, выражен- ный через потенциалы, имеет вид — А'... (г)Ам (г)ш'шо)~т,. 2я 9 и Сюда надо подставить А (г) = А, . (11)ееи" (7.9) А, 9,,(г) = б( А 9,,(1с )е (2к)э После этого интегрирование по )1зт дает д-функцию (2я)зо(1с'— — )с), которая устраняется интегрированием по 4 )с, и интеграл з ) приводится к виду (7.7). До сих пор мы подразумевали поперечную калибровку потенциалов, при которой скалярный потенциал Ф = О. В различных применениях, однако, могу.т оказаться более удобными другие способы калибровки сферической волны.

') Это условие того же типа, что и (2.22). Появление множителя б(ш' — ш) в правой стороне равенства связано с тем, что здесь рассматривается пале (сферическая волна) во всем бесконечном пространстве вместо поля в конечном объеме 1' = 1. СФВРИЧЕОКИЬ' ВОЛНЫ ФОТОНОВ Допустимое преобразование потенциалов в импульсном представлении состоит в замене А — > А+ п7(1с). Ф вЂ” Р Ф+ 1(1с), где ~(1с) -- произвольная функция. Выберем ее в данном случае таким образом, чтобы новые потенциалы выражались через те же шаровые функции и чтобы они по-прежнему имели определенную четность.

Для фотона электрического типа эти условия ограничивают выбор потенциалов следующими функциями: А~'~ (1с) =,б(~1с~ — Вэ)('У~'„~, + СпУ ), ФФ1ээ(1с) = э,эб~~1с~ — Вэ)СУлп (7.10) где С -произвольная постоянная. Для фотона же магнитного типа такая добавка к А™(1с) лишала бы его определенной четности, и поэтому при тех же условиях выбор (7.6) оказывается ОДНОзна 1е1ым. Вероятность того, что фотон с определенными моментом и четностью будет зарегистрирован движущимся в направлении и, лежащем в элементе телесного угла 11О, согласно (3.5) и (7.6) равна э ш(п) по — Ъ'1 ~ 11О.

(7.11) Мы написали выражение для фотона Е-типа. Но поскольку Ъ" = Ъ"у~, РаспРеДелениЯ веРоЯтностей та(п) ДлЯ фо(м) (э) тонов обоих типов одинаковы. Квадрат модуля Ъ' „, не зависит от азимутального угла 1р (Э) ' (множители е ч"'ээ в шаровых функциях сокращаются). Поэтому распределение вероятностей ю(п) симметрично относительно оси ж Далее, поскольку каждый из шаровых векторов обладает определенной четностью, квадраты их модулей четны по отношению к инверсии, т. е. по отношению к замене полярного угла 0 -э я — 0; это значит, что функция ю(0), будучи разложена по полиномам Лежандра, содержит полиномы лишь четного порядка.

Определение коэффициентов такого разложения сводится к вычислению интегралов от произведений трех шаровых функций и дальнейшему суммированию по компонентам. То и другое производится по формулам, полученным в П1, З 107-108, и приводит 40 к следующему результату: (л) ( 1),„э! (2»+ Ц! ~(4 + 1) (»» 2« ! )(»» 2«!) п=е х (~ » й, ) Р2„(сов О).

(7.12) Приведем, наконец, выражения компонент !паровых векторов в виде разложений по шаровым функциям. При этом мы пользуемся «сферическими компонентами» вектора, определенными согласно 1П, 2 107; компоненты 7л вектора 1': »е = г»„ ~ ! = — †(УФ + 1Д~), » ! = — (» — г 1л). (7.13) Если ввести «циркулярные орты»: ещ!= !е!»!, е!' 0= — — (е!Ф!+ гейй), е~ 0= — (е!'! — Гейй) (7.14) лГ2 ~/2 (е~к э ) — орты осей т, у! в), то ~( 1)Г-лг е(л! ~ ( 1)!-л1е(-лй 1е~л) (71б) л Сферические компоненты шаровых векторов выражаются с помощью 3»-символов через шаровые функции следующими формулами: (-')" "" (~»ж)л =-Ъ'» (Гл+Л -Л -'т)'»Ф!,-Фл+ +у + (,Л Л ),—,--л ;.у» — 1 1 + !»» Ч,ГЛ+ Л вЂ” Л вЂ” т) 1» — Г;Гл-~Л.

Эти формулы выводятся следующим образом. Каждый из трех шаровых векторов имеет вид Ъ'» = ау~, где а один из трех векторов (7.3). Поэтому лг» = ~! (1т~~а~»т)1'ы!, ни' и задача сводится к нахождению матричных элементов векторов а относительно собственных функций орбитального момента. Согласно (107.0) (см. П1) имеем (1т'~ал~»т) = »( — 1)л""" '" ! Л» (1~~а2»), полягиЗАцич Фотонл где 1ш, . - болыпее из чисел 1 и 11 Поэтому достаточно знать от- личные от нуля приведенные матричные элементы (1((а)(Я. Для них имеются формулы: (7.17) 8 8.

Поляризация фотона Вектор поляризации е играет для фотона роль «спиновой части» волновой функции (с теми оговорками, которые были высказаны в 2 6 по поводу понятия спина фотона). Различные случаи, которые могут иметь место для поляризации фотона, ничем не отличаются от возможных типов поляризации классической электромагнитной волны (см.

П, 2 48). Произвольную поляризацию е можно представить в виде наложения двух выбранных каким-либо определенным образом взаимно ортогональных поляризаций ер~ и е~в) (е(Пе(2)' = О). В разложении е=е1е( ~+еяе( ~ (8.1) квадраты модулей коэффициентов е1 и е2 определяк>т вероятность того, что фотон имеет поляризацию е~ ~ или е~ ~. В качестве поспедпих можно выбрать две взаимно перпендикулярныс линейные поляризации.

Можно также разлагать п1юизвольную поляризацию на две круговые с противоположными направлениями вращения. Векторы правой и левой круговой поляризации обозна |им соответственно е~~ ~ и е~ П; в системе координат Щ с осью ~ вдоль направления фотона и = 1с/о~ е~т ~ = — — (е® + ге('о), у/2 е( 1) = — (е® вЂ” ге(ч)).

(8.2) у/2 Возможность двух различных поляризаций фотона (при заданном импульсе) означает, другими словами, что каждое собственное значение импульса двукратно вырождено. Это обстоятельство тесно связано с равенством массы фотона нулю. Для свободно движущейся частицы с ненулевой массой всегда сугцествует система покоя. Очевидно, что именно в этой системе отсчета выявляются собственные свойства симметрии частицы как таковой.

При этом должна рассматриваться симметрия по отношению ко всем возможным поворотам вокруг центра 42 ФО'ГО!Л (т. е. по отношению ко всей группе сферической симметрии). Характеристикой свойств симметрии частицы по отношению к этой группе является ее спин в, определяющий кратность вырождения (число 2в+ 1 преобразующихся друг через друга различных волновых функций).

В частности, частице с векторной 1три компоненты) волновой функцией отвечает спин 1. Для частицы же с равной нулю массой пе существует системы покоя в любой системе отсчета она движется со скоростью света. По отношению к такой частице всегда имеется выделенное направление в пространстве . — направление вектора импульса 1« (ось 1,). Ясно, что в таком случае отсутствует симметрия по отношению ко всей группе трехмерных вращений, и можно говорить лишь об аксиатьной симметрии относительно выделенной оси.

При аксиальной симметрии сохраняется лишь спиралылость частицы проекция момента на ось !„обозначим ее Л '). Если потребовать также симметрии по отношению к отражениям в плоскогугях! проходящих через ось 7„то состояния, различающиеся знаком Л, будут взаимно вырождены, при Л ф О мы будем иметь, следовательно, двукратное вырождение ') . Состояние фотона с определенным импульсом и соответствует одному из типов таких двукратно вырожденных состояний.

Оно описывается «спиновой» волновой функцией, представляющей собой вектор е в плоскости бт); две компоненты этого вектора преобразуются друг через друга при всех поворотах вокруг оси 7, и при отражениях в плоскостях, проходящих через эту ось. Различные случаи поляризации фотона находятся в определенном соответствии с возможными значениями его спиральности. Это соответствие можно установить по формулам П1, (57,9), связывающим компоненты векторной волновой функции с компонентами эквивалентного ей спинора второго ранга ') . Проекциям Л = +1 или — 1 соответствуют векторы е с отличной от нУлЯ лишь компонентой ее — лел или ее+1еш т.

е. соответственно е=е!т ) или е=ел ). Другими словами, значения Л=+ 1 и — 1 соответствуют правой и левой круговой поляризапии фотона (в 8 1б этот же резуль лат будет получен путем прямого вычисления собственных функций оператора проекции спина). Таким образом, проекция момента фотона на направление его движения может иметь лишь два значения (~1); значение О не возможно. ) В отличие от проекции Гв момента на заданное направление 1ось г) в прострапстве, о которой юла речь в предыдупЛеы параграфе.

!) Отметим, что таким же образом классифицируются электронные термы двухатомиой молекулы (см. 111, 8 78). а) Напомним, что компонентам волновой функции как амплитудам вероятиости различных значений проекции момеита частицы 1о которых здесь и идет рЕчь) отвечалот кептравариаптпые компоненты спинора. поляРНЗАции! Фотон« Состояние фотона с определенными импульсом и поляризацией есть чистое состояние (в смысле, раз ьясненном в П1, 2 14); опо описывается волновой функцией и соответствует полному квантовомеханическому описанию состояния частицы (фотона). Возможны также и «смешанные» состояния фотона, соответствующие менее полному описапиюи осуществляемому не волновой функцией, а лишь матрицей плотности. Рассмотрим состояние фотона, смешанное по его поляризациии но соответствующее определенному значению импульса 1«.