IV.-Квантовая-электродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 4

Представление же поля с помощью потенциалов, задаваемых в каждой точке пространства, есть по существу описание с помогцью непрерывного множества переменных. Пусть А(г, 1) — векторный потенциал свободного электромагнитного поля, удовлетворякпций «условию поперечностиа «11уА = О. (2.1) При этом скалярный потенциал Ф = О, а поля Е и Н: Е= — А, Н=гоФА. (2.2) Уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению для А: (2.3) Как известно (см. П, ~ 52), в классической электродинамике переход к описанию с помощью дискретного ряда переменных осуществляется путем рассмотрения поля в некотором болыпом, но конечном обьеме пространства Г ') . Напомним, как это делается, опустив детали вычислений. Поле в конечном об"ьеме может быть разложено на бегущие плоские волны, так что его потенциал изобразится рядом вида А = ~(аке'~" + а>,е '~"), (2.4) где коэффициенты ак зависят от времени по закону а1, е ™, о> = ~1«~.

(2.5) В силу условия (2.1) комплексные векторы аи ортогональны соответствующим волновым векторам: ак1« = О. ) Во избежании загромождения формул лишними множителями будем полагать р = 1, 20 ФО'ГОН ГЛ. 1 1 д 6К = — (а~, + а~',), (2.6) Р1, = — ™ (а~, — а1,) = Я~, у'4л (они., очевидно, вещественны).

Векторный потенциал выражает- ся через канонические переменные согласно А = х'4я ~ (Я~,сов 1сг — — Ря ейп1сг) . 1 Для нахождения функции Гамильтона Н надо вычислить полную энергию поля — (Е + Н )й~л, 8х Г выразив ег через величины Як, Рь. Представив А в виде разло- жения (2.7), вычислив Е и Н согласно (2.2) и произведя инте- грирование,получим Н = — ~1 (Р~~+и~®. 1с Каждый из векторов Рк и Як перпендикулярен волновому вектору 1с, т. е. имеет по две независимые компоненты.

Направ- ление этих векторов определяет направление поляризации соот- ветствующей волны. Обозначив две компоненты векторов С~к, Рй (в плоскости, перпендикулярной 1с) посредством Я~,, Р~, (ГГ = 1, 2), перепишем функцию Гамильтона в виде Н=У"-М+ Яа',) (2.8) ьа (2.7) Суммирование в (2.4) производится по бесконечному дискретному набору значений волнового вектора (его трех компонент Й,, Йю Й,).

Переход к интегрированию по непрерывному распределению можно произвести с помощью выражения д~й/(2я) для числа возможных значений 1с, приходящихся на элемент обьема и-пространства Г1814 = ЙК ЙК ЙИ,. Заданием векторов аь полностью определяется поле в данном объеме. Таким образом, эти величины можно рассматривать как дискретный набор классических Фпеременных полям Для выяснения способа перехода к квантовой теории, однако, следует произвести еще некоторое преобразование этих переменных, в результате которого уравнения поля приобретают вид, аналогичный каноническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) классической механики. Канонические переменные поля определяются посэе ством КВАНТОВАНИЕ СВОВОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 21 РиЯ~ — Як Рй = — г 12.9) Соператоры же с разными 1сст все коммутативны друг с другом).

Вместе с ними становятся операторами 1эрмитовыми) также потенциал А и, согласно 12.2), напряженности Е и Н. Последовательное определение гами.льтониана поля требует вычисления интеграла Й = — / 1Е~ + Н ) с7'~ л, 8я с 12.10) в котором Е и Й выражены через операторы РЕП, Г1к . ГРактически, однако, нскоммутативность последних прн этом не проявляется, так как произведения О» Рь входят с множителем сов 1сг 81п1сг, .обращающимся в нуль при интегрировании по всему обьему. Поэтому в результате для самильтониана по.сучается выражение 12.11) в точности соответствующее классической функции Гамильтона, что и естественно было ожидать.

Определение собственных значений этого гамильтониана не требует особых вычислений, так как сводится к известной задаче об уровнях энергии линейных осцилляторов Ссеь П1, 8 23). Поэтому мы можем сразу написать для уровней энергии поля Е= ~~ (АГ~, + — )сн, с2.12) где АГИ целые числа. К обсуждению этой формулы мы вернемся в следующем параграфе, а сейчас выпишем матричные элементы величин Як„, Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин Яи, Ри .

Каждый такой член соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поляризацией, причем имеет вид функции Гамильтона одномерного гармонического осциллятора. Поэтому о полученном разложении говорят как о разложении поля на осцилллторье Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнитного поля. Изложенный способ классического описания поля делает очевидным путь перехода к квантовой теории.

Мы должны рассматривать теперь канонические переменные —.обобщенные координаты Як н обобщенные импульсы Ре — как операторы с правилом коммутации 22 ФО'ГОН что можно сделать непосредственно с помощью известных формул для матричных элементов координат осциллятора (см. П1, 2 23). Отличные от нуля матричные элементы равны (А»ь ~Як ~Хк — 1) = (Хк — 1~Як ~Х~, ) = — ". (2.13) Матричные элементы величин Ри„= Як„отличаются от матричных элементов Щ, лишь множителем ~го!. В дальнейших вычислениях, однако, будет удобнее пользоваться вместо величин Як, Рь„их линейными комбинациями ь»ф, ~ »Рь ., которые имеют матричные элементы только для переходов Хь — » А»к„~ 1.

Соответственно этому вводим операторы с», = (ь»ф, + гРк ), си = (ь»©, — »Р», ) (2.14) (классические величины скО, с~ совпадают с точностью до множителя ~„»Г2»Г,»ь» с коэффициентами акь, а~ в разложении (2.4)) Матричные элементы этих операторов равны (Хк — 1~си ~7»7~ ) = (ЛГь ~с!", ~7»7к — 1) = Ь»ГУ~ . (215) Правило коммутации между сип и с„получается с помощью определения (2.14) и правила (2.9): ск с„ — с ск — 1.

(2.16) Для векторного потенциала мы возвращаемся к разложению вида (2.4), в котором,. однако, коэффициенты являются теперь операторами. Напишем его в виде А = ~(ск А», + с„» А!, ), (2.17) ка где е"! »КГ (2.18) ~» 2м Мы ввели обозначение е»ь! для единичных векторов, указывающих направление поляризации осцилляторов; векторы е(О) перпендикулярны волновому вектору 1с, причем для каждого 1с имеются две независимые поляризации. Аналогично для операторов Е и Й напишем Е = ~» (с», Е», +си»„Ек„)! Й =~» (с!, Н», +сиь„Нк„), (2.19) !»О ка причем Е!, = иыАкО» Нкь = (пЕк!») (и = 1с!»ь»).

(2.20) КВАНТОВАНИЕ СВОВОЛНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 23 (2.22) этого оператора Р ='>'й(Л„. +-') . (2.25) Представление операторов, осуществляемое матричными элементами (2.15), есть «представление чисел заполнения», оно отвечает описанию состояния системы (поля) путем задания квантовых чисел Х~, ( 7пш7п заполнения). В этом представлении операторы поля (2.19) (а с ними и гамильтопиан (2.1Ц) действуют на волновую функцию системы, выражеяную в функции Векторы Аь взаимно ортогональны в том смысле, что з Аа А,*, Г1зх = — б бье' (2.21) Действительно, если А»а и А,*...

различаются волновыми векторами, то их произведение содержит множитель е'(7« 7Г ~Г, дающий нуль при интегрировании по объему; если же они различаются О лишь поляризациями, то е7а)е7а ' = О, так как два независимых направления поляризации взаимно ортогональны. Аналогичные соотношения справедливы для векторов Ека, Нь . Их нормировку удобно записать в виде — (ЕИ„Е7,, + Н~,ВН~...)дат = а75»ь да 4Я а а Подставив операторы (2.19) в (2.10) и произведя интегрирование с помощью (2.22), получим гамильтониап поля, выраженный через операторы с, с~'; Й = 㻠— а7(с~, с+„+ са са ).

(2.23) ~-~ 2 Иа Этот оператор в рассматриваемом представлении (матричные элементы операторов с, сь нз (2.15)) диагонален, и его собственные значения совпадают, конечно, с (2.12). В классической теории импульс поля определяется как инте~17 ал. Р— — (ЕН|д л.

4Я,/ При переходе к квантовой теории заменяем Е и Н операторами (2.19) и без труда находим Р = ~ — (Р~~ + а7~®, )п (2.24) йа — в соответствии с известным классическим соотношением между энергией и импульсом плоских волн. Собственные значения чисел АГь„; обозначим ее Ф(Х~,Ф,1). Операторы поля 12.19) не зависят явно от времени. Это соответствует обычному в нсрелятивистской квантовой механике шредингеровскому представлению операторов. Зависящим же от времени является при этом состояние системы Ф(Я~,Ф,1), причем эта зависимость определяется уравнением Шредингера ! — = ЙФ. (!! Такое описание поля по существу релятивистски инвариантно, поскольку оно базируется на инвариантных уравнениях Максвелла.

Но эта инвариантность не выявлена явно. — прежде всего потому, что пространственные координаты и время входят в описание крайне несимметричным образом. В релятивистской теории целесообразно придать описанию внешне более инвариантный вид. Для этой цели надо воспользоваться так называемым гейзенберговским представлением, в котором явная временная зависимость перенесена на сами операторы (сы. 1П, 3 13). Тогда время и координаты будут равноправным образом входить в выражения для операторов поля, а состояние системы Ф будет функцией только от чисел заполнения. Для оператора А переход к гейзенберговскому представлению сводится к замене в каждом члене суммы в (2.17), (2.18) МНОжИтЕЛя Е((5Г На Е(("Г м(1, т.