IV.-Квантовая-электродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 7

При независимых 1 и в такое вычисление осуществляется простым подсчетом числа способов, которыми можно по правилам векторной модели сложить моменты 1 и в так, чтобы получить 1 ) Условимся определять четность состояния по действия> оператора инверсии на полярный вектор, каковым является А (или соответствующий электрический вектор Е = и ~А). Оно отличается по знаку от действия на аксию~ьный вектор Н = 1(1сА), поскольку инверсия нс меняет направление такого вектора: РН((г) = Н( — 1с).

2 Л. Д. Ландау я В.М, Лифшиц, том 1У 34 Фо'гон гл. ! нужное значение уб Для частицы со спипом а = 1 мы нашли бы таким образом (при заданном отличном от нуля значении Я три состояния со следующими значениями 1 и четности: 1 = у, Р = ( — 1)' ' = ( — 1) ":, 1 = ~г ~ 1, Р = ( — 1)' е1 = ( — 1)з. Если же у = О, то получается всего одно состояние (с 1 = 1) с четпостью Р = +1.

В этом подсчете. однако, не учтено условие поперечности вектора А; все три его компоненты рассматривались как независимые. Поэтому из полученного числа состояний надо еще вычесть число состояний, соответствующих продольному вектору. Такой вектор можно написать в виде 1ср(1с), откуда ясно, что по своим трансформационным (по отношению к вращениям) свойствам его три компоненты эквивалентны всего одному скаляру еэ ') .

Следовательно, можно сказать, что лишнее состояние, не совместимое с условием поперечности, соответствовало бы состоянию частицы со ока,пярной волновой функцией (спипор ранга 0), т. е. со венином Оа ') . Момент у этого состояния совпадает поэтому с порядком входящих в у сферических функций. Четяость же этого состояния как состояния фотона определяется действием оператора инверсии на векторную функцию Ыр: Р(1ср) = — ( — 1с)~р( — 1с) = ( — 1)У1ор(1с), т.

е. равна ( — 1)э. Таким образом, из полученного вылив числа, состояний с четностью ( — 1)э (двух при у' ф 0 и одного при у = 0) надо вычесть одно. Окончательно мы приходим к результату, что при отличном от нуля моменте фотона у существуют одно четное и одно нечетное состояния.

При у = 0 мы не получим вовсе никаких состояний. Это означает, что фотон вообще не может иметь равного нулю момента, так что у' пробегает лишь значения 1, 2, 3,... Невозможность значения у = О, впрочем, очевидна: волновая функция состояния с равным нулю моментом должна быть сферическисимметрична, что заведомо невозможно для поперечной волны. Принята определенная терминслогия для различных состояний фотона. Фотон в состоянии с моментом у' и четностью ( — 1)э пазвявают электрическим 2э-паленым (или Еу-фотоном), а при Действительно, когда говорят о характере преобразования величины при вращении, речь идет о преобразовании в данной точке,т.

е.при заданном 1г. При таком преобразовании йу(й) вообще не меняется, т. е. ведет себя как скаляр. е ) Подчеркнем лищний раз, что здесь не имеется в виду состояние какой- либо реальной частицы. Прогщводимый подсчет имеет формальный характер и сводится, с математической точки зрения, к классификации всей совокупности преобразующихся друг через друга величин по неприводимым представлениям группы вращения.

35 СФКРИЧЕСКИЕ' ВОЛНЫ ФОТОНОВ четности ( — 1)зт' — магггипгным 21-иольным (или Му'-фотоном). Так, электрическому дипольному фотону отвечает нечетное состояние с у = 1, электрическому квадрупшгьному.- четное состояггис с у = 2, магнитному дипольному . четное состояние с 7=1 ). й 7. Сферические волны фотонов Определив возможные значения момента фотона, мы должны теперь найти соответствующие им волновые функции в) . Рассмотрим сначала формальную задачу: определить такие векторные функции, которые являлись бы собственными функциями операторов ) и ~,, при этом мы не предрешаем заранее, какие именно из этих функций входят в интсресующис нас волновые функции фотона, и не учитываем условия попсрсчности. Будем искать функции в импульсном представлении. Оператор координат в этом представлении г = гд,1д)с (скг. П1, (15.12)).

Оператор же орбитального момента 1 = ]г1с] = — 1]1с — 1, т. е. отличается от оператора момента в координатном представлении лишь заменой буквы г на )с. Поэтому решение поставленной задачи в обоих представлениях формально одинаково. Обозначим искомые собственные функции посредством Ъ'уш и будем называть их шаровыми векторами. Они должны удовлетворять уравнениям 3 3 = згО + 1)зт'угп; 3п угзгп = татг)т (7.1) (ось з заданное направление в пространстве).

Покажем, что этим свойством обладает любаЯ фУнкциЯ вида аУ" ш, где а какой-либо вектор, образованный с помощью единичного вектора п = )с/сс, а 1 ш обычные (скалярные) шаровые функции. Последние будем везде определять согласно П1, 9 28: у ( ) — ( 1) з"'' 121+1Н1 ] ]))О ~( 0) ' т (72) 4я(1-~- ]т])! ) Эти названия соответствуют терминологии классической теории излучеиия: мы увидим в дальиейшем Я 46, 47), что излучение фотонов электрического и магиитпого типов определяется соответствуюшими электрическими и магнитными моментами системы зарядов.

') Этот вопрос был впервые рассмотрен !айгплером ( Иг. НВН1еа 1936). Излагаемая форма решеиия принадлежит Б. Б. Бгресшеикомр (1947). 36 10, !р --сферические углы, определяя!щис направление и) ') . Для этого вспомним правило коммутации 1П, 129.4)! 11„ав) = ге!в!а,1. Правую сторону этого равенства можно написать в виде ( —,згаь) ! где в -- оператор спина 1 (воздействие этого оператора на вектор- НУЮ ФУНКЦИЮ КаК Раб ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ РаВЕНСтВОМ В!аь = — бс,ма!1 см. П1, 2 57, задача 2). Поэтому имеем 1!аь — ай1;, = — В,аы Воспользовавшись этим равенством, найдем »г!аь = 111 + В!)аь = ай1!ь Следовательно, '2 2 «1а1'бьч) = а1 1«, «к1аУ;и,) = а)гУ»ии Но шаровая функция 1»п! есть собственная функция операторов 12 и 1х, соответствующая собственным значениям этих величин «1» + 1) и гг!ч так что мы пРиходим к Равенствам 17.1).

Мы получим три сучцественно различных типа шаровых векторов, выбирая в качестве вектора а один из следующих векторов '): чу !птг ) (7.3) «1« - 1)' ,«1« - 1)' Таким образом, определяем шаровые векторы следующил! образом: 'Ъ'~~'~ = тььг„! Р = ( — 1)1; тг«1« -ь 1) 17.4) Ъ"~",~ = пУ~, Р = ( — 1)1. ') Отметим для будущих ссылок значение фуакций при В = О 1п — вдоль оси х)! 1! 1п,)=!)1 б е.

21Ф1 17.2а) )! 4л ~) Оператор ч: — !Ц~к и действует на функции, зависящие только от направления и, Он имеет 1в сфорических координатах) всего две составляющие: (дВ' сйпВ ду!» ' Оператор, обозначенный ниже посредством Ь, — угловая часть оператора Лапласа: 1 д д 1 !а„= —, — сйп В— ,ьчВВВ дВ е1 'Вдте' СФВРИЧЕСКИЬ' ВОЛНЫ ФОТОНОВ Р ядом с каждым вектором у.казана его чстпость Р. Шаровые векторы трех типов взаигяно ортогональны, причем Ъ', про(и) долон, а У.„, и У „, поперечны по отношению к вь (э) (м) Шаровые векторы могут быть выражены через скалярные шаровые функции.

При ятом Ъ .,„выражаются через шаровые (м) фу~кции лишь одного порядка 1 = у, а Ъ" и Ъ' через шаро(э) (п) вые функции порядков 1 = у ~ 1. Это обстоятельство очсвидпо: достаточно сравнить указанные в (7.4) четности шаровых векторов с четностью ( — 1)'Р' векторного поля, выраженной через порядок содержащихся в нем шаровых функций. Шаровые векторы каждого из типов взаимно ортогопальпы и нормированы согласно Ъ ЗпэК',„Г)о = 6ТУ дэпэ„.

(7.5) Для векторов Ъ' э„зто очевидно в силу условия нормировки ша(п) ровых функций 1 . Для векторов У „, нормировочный интеграл Г ~п1тут~п1~~ ~<1о = — Уупэ~ЬВЪ)тдо~ зО+1) ' ' уьэ+1) ./ и, посколькУ ЬВУ„, = — )(У + 1)Туп„то мы пРиходим к (7.5). К такому же интегралу сводится Нормировка векторов Ъ'. (и) Заметим, что к шаровым векторам (7.4) можно было бы прийти и без произведенной выше прямой проверки уравнений (7.1)- уже на основании общих соображений о трансформациояных свойствах функций. Такие соображения привели нас в предыдущем параграфе к выводу о том, что векторная функция вида п~р отвечает значению ) момента, совпадающему с порядком шаровых функций, входящих в Вэ; если положить просто ~р = У~~, то функция п~р будет соответствовать также и определенному значению т проекции момента.

Таким образом, мы сразу приходим к шаровым векторам У „„,. Но изложенные в З 6 рассуждения о трансформационных свойствах не изменятся, если заменить множитель п в произведении пр вектором '~7„или [пэуп]; таким образом, мы получим шаровые векторы двух других типов. Вернемся к волновым фупкциям фотона. Для фотона электрического типа (Е~) вектор А()с) должея обладать четкостью ( — 1) .