IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

(9.3) (9.4) ) Такая система отсчета существует всегда., за исключением случая двух фотонов, движущихся параллельно друг другу в одну и ту же сторону. Суммарный импульс к1+не и суммарная энергия оп +юг таких фотонов связаны друг с другом таким же соотношением, как и для одного фотона, и потому не существует системы отсчета, в которой было бы 1с1 + ке = О. Инверсия системы координат сама по себе не меняет знака компонент тензора второго ранга, но меняет знак и.

Поэтому из (9.3) видно, что волновая функция в,ь симметрична по отношению к инверсии, т. е. соответствует четным состояниям системы фотонов; волновая же функция а,ь отвечает нечетным состояниям. Антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен (дуален) некоторому аксиальному вектору а, компоненты которого выражаются через компоненты тензора согласно а, = ~~~с;цаы, где е,ы антисимметричный единичный тензор (см.

П, 3 6). Ортогональность тензора аы вектору и означает, что векторы а и и параллельны ') . Поэтому можно написать а = пу(п), где ср- сквляр, согласно (9.4) должно быть а( — п) = — а(п), а потому Это равенство означает, что с»каляр;р может быть линейно построен из шаровых функций только четного порядка т (включая порядок нуль). Мы видим, что антисимметричный тензор а»ь по своим транс- формационным (по отношению к вращениям) свойствам эквивалентен одному скаляру (ср.

примеч, на с. 34). Сопоставив последнему «спин» О, найдем, что момент состояния,1 = А. Таким образом, тепзор а,» соответствует нечетным состояниям системы фотонов с четным моментом 7. Обратимся к симметричному тензору в,ьо Поскольку он чется по отношению к изменению знака п, ему отвечают четные состояния системы фотонов. Отсюда же следует, что все компоненты в,» выражаются через шаровые функции четного порядка Л (включая Л = 0). Произвольный симметричный тензор второго ранга в«» сводится, как известно, к скаляру (а„) и к симметричному тензору (в',. ) с равным нулю следом (е',з = 0). Скаляру вн приводится в соответствие «спин» О, а потому момент отвечающих ему состояний 7 = А, т. е.

четен. Тензору же и',ь соответствует «спин» 2 (см. П1, ~ 57). Складывая по правилу сложения моментов этот «спин» с четным «орбитальным моментом» Л, находим, что при заданном четном У ф 0 возможны три состояния (с 1 =,7~2,,1), а при нечетном,7 у'= 1 два состояния (с А =,7 х 1). 14сключение составляет,7 = 0 с одним состоянием (А = 2) и 7 = 1 с одним состоянием (А = 2). В этих подсчетах, однако, еще не учтено условие ортогональности тензора в,» вектору и.

Поэтому из полученного числа состояний надо вычесть число состояний, которым соответствует симметричный тензор второго ранга, «параллельный» вектору п. Такой тензор (обозначим его а,"~ можно представить в виде где Ь некоторый вектор. Согласно (9.3) этот вектор должен удовлетворять условию Ь( — и) = — Ь(п). Таким образом, ответственный за «лишние» состояния тензор а,"~ эквивалентен нечетному вектору. Этот вектор должен, следовательно, выражаться через шаровые функции только нечетных порядков Л. Залсетив ) Имеем: а,» = е,маь и условие ортогоивльиости дает а сп» = е,»са~пс = )па), = О. система дВух Фо'Гонов также, что вектору соответствует «спин» 1, найдем, что для каждого четного момента з ~= 0 возможны два состояния (с .ь = 1 ~ 1), а для каждого нечетного,7 одно состояние (с ь = =,1); особый случай представляет,У = 0 с одним состоянием (ь = 1).

Сведя вместе полученные результаты, получим следуюшую таблицу, указывающую число возможных четных и нечетных состояний системы из двух фотонов (с равной нулю суммой импульсов) для различных значений полного момента,7; (9 б) (а . целое положительное число, отличное от нуля). Мы видим, что при нечетных,У отсутствуют нечетные состояния, а значение ,7 = 1 вообще невозможно ') . Волновая функция с:истемы двух фотонов Аьь определяет корреляцию их поляризаций. Вероятность того, что два фотона одновременно имеют определенные поляризации е1 и ез, пропорциональна Агве1пезь ° Другими словами, если задана поляризация е1 одного фотона, то поляризация второго ег пропорциональна езь сс Асьеп.

(9.6) В нечетных состояниях системы А,ь совпадает с антисимметричным тензором анг При этом езе,* сс пгвепе1ь — — О, т. е. поляризации обоих фотонов взаимно ортогональны. В случае линейной поляризации это означает псрпендикулярность их направлений, а в случае круговых поляризаций противоположность направлений вращения. Четное состояние с,1 = 0 описывается симметричным тензором, сводящимся к скаляру в,ь = сопв1 (д,ь — п,цв). Поэтому из (9.6) получим е~ = е~. В случае линейной поляризации это означает параллельность их направлений, а в случае крутовых поляризаций снова противоположность направлений вращения. Последнее обстоятельство очевидно: при 1 = 0 во всяком случае должна быть равна нулю сумма проекций моментов фотонов на одно и то же направление 1с (проекции же на противоположные направления 1с1 и 1сьь т.

е. спиральности, при этом одинаковы). ) Друтой способ вывода этих результатов — см, задачу 1 к 1 69. ГЛАВА И в озоны й 10. Волновое уравнение для частиц со спином О В гл. 1 было показано, каким образом можно построить квантовое описание свободного электромагнитного поля, отправляясь при этом от известных свойств поля в классическом пределе и опираясь на представления обычной квантовой механики. Полученная таким образом схема описания поля как системы фотонов несет в себе многие черты, которые переносятся и на релятивистское описание частиц в квантовой теории. Электромагнитное поле представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Для нее не существует закона сохранения числа частиц (фотонов), и в ряду его возможных состояний имеются состояния с произвольным числом частиц ') .

Но таким же свойством должны, вообще говоря, обладать в релятивистской теории также и системы любых частиц. Сохранение числа частиц в нерелятивистской теории связано с законом сохранения массы: сумма масс (масс покоя) частиц не меняется при их взаимодействии; сохранение жс суммы масс, скажем, в системе электронов означает неизменность также и их числа.

В релятивистской же механике закона сохранения массы не существует; должна сохраняться лишь полная энергия системы (включающая в себя также и энергии покоя частиц). Поэтому число частиц уже не должно сохраняться и тем самым всякая релятивистская теория частиц должна быть теорией систем с бесконечным числом степеней свободы. Другими словами, такая теория частиц приобретает характер теории поля. Адекватным математическим ашзаратом для описания систем с переменным числом частиц является аппарат вторичного квантования (см. П1, з 64, 65).

В квантовом описании электромагнитного поля в роли оператора вторичного квантования выступает 4-потенциал А. Он выражается через (координатные) волновые функции отдельных частиц (фотонов) и операторы их рождения и уничтожения. Аналогичную роль в описании системы частиц играет оператор квантованной волновой функции. Для его построения надо прежде всего знать вид волновой функции ) Фактически, разумеется, число фотонов меняется виспа в результате различных процессов взаимодействия, 51 1 го ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ О одной свободной частицы и уравнения, которому эта функция подчиняется.

Следует подчеркнуть вспомогательный характер понятия поля свободных частиц. Реальные частицы взаимодействуют, и задача теории состоит в изучении этих взаимодействий. Но всякое взаимодействие сводится к столкновению, до и посте которого систему можно рассматривать как совокупность свободных частиц. В ~ 1 отмечалось, что это единственно измеримые обьекты.

Поэтому мы пользуемся полями свободных частиц как средством описания начальных и конечных состояний. В4ы начнем релятивистское описание свободных частиц со случая частиц со спином О. Математическая простота этого случая позволит наиболее ясно выявить основные идеи и характерные черты такого описаггия. Состояние свободной частицы (без спина) может быть полностью определено заданием одного лишь ее импульса р.

При этом энергия е частицы ') е = р + ш (где т " - масса частицы), или в четырехмерном виде; (10.1) р =т. Как известно, законы сохранения иьшульса и энергии связаны с однородностью пространства и времени,т. е. с симметрией по отношению к любому параллельному смещению 4-системы координат.

В квантовом описании требование этой симметрии означает, что волновая функция частицы с определенным 4-импульсом при указанном преобразовании 4-координат может только умножаться на фазовый множитель (с равным единице модулем). Этому требованию удовлетворяет лишь экспоненциальная функция с линейным по 4-координатам показателеаь Другими словами, волновая функция состояния свободной частицы с определенным 4-импульсом р" = (а, р) должна быть плоской волной: сопэ$ е "", ри = е1 — рг (10.2) (выбор знака в показателе в релятивистской теории сам по себе условен: он сделан в соответствии с нерелятивистским случаем). Волновое уравнение должно иметь функции (10.2) в качестве частных решений при произвольном 4-векторе р, удовлетворяющем условию (10.1).

Оно должно быть линейным как выражение принципа суперпозиции:любая линейная комбинация функций (10.2) тоже описывает возможное состояние частицы и потому тоже должна быть решением. Наконец, оно должно быть по возможности более низкого порядка; более высокий порядок внес бы лишние решения. ') Обозначим энергию отдельной частицы е н отличие от энергии Е систе- мы частиц.

Характеристики

Список файлов книги