IV.-Квантовая-электродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 6

В математическом аспекте это обстоятельство проявляется в невозможности составить с помощью волновой функции величину, которая уже хотя бы по своим формальным свойствам могла играть роль плотности вероятности. Такая величина должна была бы выражаться существенно положительной билинейной комбинацией из волновой функции Ал и ее комплексно-сопряженной. Кроме того, она должна была бы удовлетворять определенным требованиям релятивистской ковариантности представлять собой временную компоненту 4-вектора (дело в том, что уравнение непрерывности, выражающее сохранение числа частиц, записывается в четырехмерном виде как равенство нулю дивергенции 4-вектора тока; временнбй компонентой последнего и является в данном случае плотность вероятности локализации частицы, .см. 11, з 29).

С друтой стороны, в силу требования калибровочной инвариантности 4-вектор Ал мог бы входить в ток лишь в виде антисиыметричного тензора Е„, = длА, — д,Ал —— = — г(й„А„— й,Ал). Таким образом, 4-вектор тока должен был бы составляться билинейно из Р„, и Р*, (и компонент 4-вектора йи). Но такой 4-вектор вообще невозможно составить: всякое выражение, удовлетворяющее поставленным условиям (например, й" Е*„Г~~), обращается в нуль в силу условия поперсчности (к Е„л = 0), не говоря уже о том, что оно не было бы существен.л но положительным (так как содержит нечетные степени компонент Йр).

й 5. Электромагнитное поле в квантовой теории Описание поля как совокупности фотонов есть единственное описание, вполне адекватное физическому смыслу электромагнитного поля в квантовой теории. Оно заменяет классическое описание с помощью напряженностей поля. Последние выступают в математическом аппарате фотонной картины как операторы вторичного квантования. Как известно, свойства квантовой системы приближаются к классическим в тех случаях, когда велики квантовые числа, определяющие стационарные состояния системы. Для свободного электромагнитного поля (в заданном объеме) это означает, что должны быть велики квантовые числа осцилляторов, т. е.

числа фотонов Лк . В этом смысле глубокое значение имеет то обстоятельство, что фотоны подчиняются статистике Бозе. В математическом формализме теории связь статистики Бозе со свойствами классического поля проявляется в правилах коммутации операторов ск„, с„.

При больших ХкФ, когда велики матричные элементы этих операторов, можно пренебречь единицей в правой стороне перестановочного соотношения (2.16), в результате чего полз чится т. е, эти операторы перейдут в коммутирующие друг с друтом классические величины ск,„с~о, определяющие классические напряженности пОля. Условие квазиклассичности поля требует, однако, еще уточнения. Дело в том, что если велики все числа дГК, то при суммировании по всем состояниям 1го энергия поля во всяком случае окажется бесконечной, так что условие становится беспредметным. Физически осмысленная постановка вопроса об условиях квазиклассичности основана на рассмотрении значений поля, усредненных по некоторому неболыпому промежутку времени Ы.

Если представить классическое электрическое поле Е (или магнитное поле Н) в виде разложения в интеграл Фурье по времени, то при усреднении его по промежу.тку времени Ь1 заметный вклад в среднее значение Е дадут только те из компонент Фурье, частоты которых удовлетворяют условию ьпЫ, ~ 1; в противном случае осциллирующий множитель е пм при усреднении почти обратится в нуль. Поэтому при выяснении условия квазиклассичности усредненного поля надо рассматривать лишь те из квантовых осцилляторов, частоты которых Гн ~ 1/Ь1. Достаточно потребовать, чтобы были велики квантовые числа этих осцилляторов. ЭЛВКТРОМАГНИТ НОВ ПОЛЕ В КВАНТОВОЙ ТВОРИН Число осцилляторов с частотами между нулем и оэ 1/гдб (отиесеипое к объему Ъ' = 1) по порядку величины равно ') ( с ) (сгзг)з (5.1) ') В этом параграфе пользуемся обычными единицами.

Полная энергия поля в единичном объеме Ез. Разделив эту величину иа чишю осцилляторов и иа некоторую среднюю энергию отдельного фотопа ( йоз), найдем порядок величииы чисел фотонов Ез з ХК бьзэ Потребовав, чтобы это число было велико, получим неравенство (Е!» (5.2) Это и есть искомое условие, допускающее классическое рассмотрение усредиеииого (по промежуткам времеви Ы) поля. Мы видим, что поле должно быть достаточно сильным тем большим, чем меньше интервал усреднения Ы.

Для перемеипых полей этот интервал ие должен, разумеется, превышать периодов времени, в течение которых поле заметно меняется. Поэтому достаточио слабые переменные поля во всяком случае ие могут быть квазиклассичиы. Лишь в случае статических (постояииых во времени) полей можно положить Ы вЂ” э ж, так что правая сторона неравенства (5.2) обращается в нуль. Это значит, что статическое поле всегда классично.

Уже было указано, что классические выражения для электромагиитиого поля в виде суперпозиции плоских волн должны рассматриваться в квантовой теории как операторные. гризический смысл этих операторов, однако, весьма ограничен. Действительно, физически осмысленный оператор поля должен был бы приводить к равным нулю значениям поля в состоянии фотонного вакуу.ма.

Между тем среднее зпачеиие оператора квадрата поля Йэ в нормальном состояиии, совпадающее с точностью до множителя с нулевой энергией поля, оказывается бесконечным (под «средиим:эпачепиема мы понимаем кваитовомехаиическое среднее значение, т. е. соответствующий диагональный матричный элемент оператора). Избежать этого нельзя даже с помощью какой-либо формальиой операции вычеркивания (как это можно сделать для эиергии поля), так как в данном случае мы должны были бы сделать это путем некоторого разумного видоизменения самих операторов Е, Й (а не их квадратов), что оказывается невозможным. 32 ФО'ГОН 3 6. Момент и четность фотона Как и всякая частица, фотон может обладать определенным моментом импульса. Для выяснения свойств этой величины у фотона предварительно напомним, каким образом связаны в математическом аппарате квантовой механики свойства волновой функции частицы с ее моментом.

Момент частицы 3 складывается из ее орбитального момента 1 и собственного момента — спина в. Волновая функция частицы со свином а есть симметричный спинор ранга 2в, т. е. представляет собой совокупность 2в + 1 компонент, которые при поворотах системы координат преобразуются друг через друга по определенному закону. Орбитальный же момент связан с координатной зависимостью волновых функций: состояниям с орбитальным моментом 1 соответствуют волновые функции, компоненты которых выражакзтся («!инейно) через шаровые функции порядка й Возможность последовательным образом различать спин и орбитальный момент требует, следовательно, независимости «спиновых» и «координатных» свойств волновых функций: координатная зависимость компонент спинора (в заданный момент времени) не должна ограничиваться никакими дополнительными условиями.

В иьшульсном представлении волновых функций координатной зависимости отвечает зависимость от импульса 1«. Волновой функцией фотона (в трехмерно поперечной калибровке) является вектор А(1«). Вектор эквивалентен спинору второго ранга, и в этом смысле можно было бы приписать фотону спин 1. Но эта векторная волновая функция подчинена условно поперечпости, 1«А(1«) = О, представляющему собой дополнительное условие, налагаемое на импульсную зависимость вектора А(1«). В результате эта зависимость уже не может быть задана для всех компонент вектора одновременно произвольным образом, что и приводит к невозможности разделения орбитального момента и спина.

Отметим, что к фотону неприменимо также определение спина как момента покоящейся частицы, поскольку для фотона, движущегося со скоростью света, вообще пе существует системы покоя. Таким образом, для фотона можно говорить лишь о его полном моменте. При этом заранее ясно, что полный момент может пробегать лишь целочисленные знш!ения, Это видно уже из того, что среди величин, характеризующих фотон, нет никаких спиноров нечетного ранга. Как и для всякой частицы, состояние фотона характеризуется также своей четностью, связанной с поведением волновой функции при инверсии системы координат (сы.

Ш, 3 30). В им- МОМВНТ И ЧВТНОСТЬ ФОТОНА пульсном представлении изменению знака координат отвечает изменение знака всех компонент 1с. Воздейсгвие оператора инверсии Р на скалярную функцию (э((г) заключается только в этом изменении: Рр((г) = (о( — (с). При воздействии же на векторную функцию А(1с)) надо еще учесть, что изменение направления осей на обратное меняет также знак всех компонент вектора, поэтому ') РА(1с) = — А( — 1с). (б 1) Хотя разделение момента фотона на орбитальный момент и спин лишено физического смысла, тем не менее удобно ввести еспин» в и еорбитальный момент» 1 формальным образом как вспомогательные понятия, выражающие свойства преобразования волновой функции по отношению к вращениям; значение в = 1 отвечает векторности волновой функции, а значение 1 есть порядок входящих в нее шаровых функций. Мы имеем при этом в виду волновые функции состояний с определенными значениями момента фотона, представляющие собой для свободной частицы сферические волны.

Число 1 определяет. в частности, четность состояния фотона, равную Р ( 1 )1-1-1 (6.2) В таком же смышгс можно представить оператор момента 1 как сумму в+1. Оператор момента связан, как известно, с оператором бесконечно малого поворота системы координат; в данном случае — с действием этого оператора на векторное поле. В сумме в+.) оператор в действует на векторный индекс, преобразуя друг через друга различные компоненты вектора. Оператор же 1 действует па эти компоненты как на функции импульса (или координат). Подсчитаем число состояний (с заданной энергией).,которые возможны при заданном значении у момента фотона (отвлекаясь при этом от тривиального (2у + 1)-кратного вырождения по направлениям момента).