IV.-Квантовая-электродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 5

Е. К тОМу, ЧтО6Ы ПОд Аь„ПОНИ- мать зависящие от времени функции ( ! А(, = ъ'455 — е Ц ' ~'~. (2.26) 5((2Ы В этом легко убедиться, заметив, что матричный элемент гейзенберговского оператора для перехода 5, -5 1 должен содержать множитель ехр1 — 5(Е! — Е7)1), где Е, и Е7 энергии начального и конечного состояний (см.

П1, 3 13). Для перехода с умсныпением или увеличением А!ь на 1 этот множитель сводится соответственно к е '"'' или е'"!. Это требование будет соблюдено в результате указанной замены. В дальнейшем 1при рассмотрении как электромагнитного поля! так и полей частиц) мы всегда будем подразумевать гейзенберговское представление операторов. я 3. Фотоны Обратимся к обсуждению полученных формул квантования по'!5!, Прежде всего, формула (2.12) для энергии поля обнаруживает следующую трудность. Наиболее низкому уровню энергии 25 оотоны поля соответствует равенство нулю квантовых чисел Хк всех осцилляторов (это состояние называют состоянием вакуума электромагнитного полл). Но даже, в этом состоянии каждый осциллятор обладает отличной от нуля енулевой энергией» оз/2.

При суммировании же по всему бесконечному числу осцилляторов мы получим бесконечный резулыат. Таким образом, мы сталкиваемся с одной из «расходимостей», к которым приводит отсутствие полной логической замкнутости существующей теории. Пока речь идет лишь о собственных значениях энергии поля, можно устранить эту трудность простым вычеркиванием энергии нулевых колебаний, т. е. написав для энергии и импульса поля ') Эти формулы позволяют ввести основное для всей квантовой электродинамики понятие о световьт кванпиьш, или фотонигг ') . Именно, мы можем рассматривать свободное электромагнитное поле как совокупность частиц, каждая из которых имеет энергию оз(= йпз) и импульс 1с(= пгюз/с). Соотношение между энергией и импульсом фотона — такое., каким оно должно быть в релятивистской механике для частиц с равной нулю массой покоя, движущихся со скоростью света.

Числа заполнения Юк„ приобретают смысл чисел фотонов с данными импульсами 1с и поляризациями е1о). Свойство |юляризации фотона аналогично понятию спина у других частиц (специфические особенности фотона в этом отношении будут рассмотрены ниже, в 9 6). Легко видеть, что развитый в предыдущем параграфе лиатематический формализм находится в полном соответствии с представлением об электромагнитном поле как о совокупности фотонов; это есть не что иное,как аппарат так называемого вторичного квантования в применении к системе фотонов »).

В этом методе (см. 1П, 9 64) роль независимых переменных играют числа заполнения состояний, а операторы действуют на функции этих чисел. При этом основнуго роль играют операторы «уни- ) Это вычеркивание можно произвести формально не противоречивым образом, условившись понимать произведения операторов в (2.10) как чнормальные», т. е, такие, в которых операторы с располагаются всегда левее операторов с. Формула (2.23) примет тогда вид Й=~~ (шсь сь ).

ь ') Представление о фотонах было впервые введено Эйншгиейном (А. Ешзгегп, 1905). з ) Метод вторичного квантования в применении к теории излучения был развит Дираком (Р. А. М. Рьгас, 1927). 26 гл. ! ФО'гон чтожепия» и «рождения» частиц, соответственно уменьшающие или увеличивающие иа единицу чишга заполнения. Именно такими операторами и являются с»о, с„: оператор с»о уни !тожает фотон в состоянии 1«гт, а с„- рождает фотон в этом состоянии. Правило коммутации (2.16) соответствует случаю частиц, подчиняющихся статистике Бозе.

Таким образом, фотоны являются бозонами, как этого и следовало ожидать заранее: допустимое число фотонов в любом состоянии может быть произвольным (мы вернемся еще в 8 5 к роли этого обстоятельства). Плоские волны А~,„(2.26), фигурирующие в операторе А (2.17) в качестве коэффициентов перед операторами уничтожения фотонов, можно трактовать как волновые функции фотонов, обладающих определенными импульсами )с и поляризациями е!о).

Такая трактовка соответствует разложению г)!-оператора в виде ряда по волновым функциям стационарных состояний частицы в нерелятивистском аппарате вторичного квантования (в отличие от последнего, однако, в разложение (2.17) входят как операторы уничтожения, так и операторы рождения частиц; смысл этого различия выяснится в дальнейшем, см. 8 12). Волновая функция (2.26) нормирована условием з 1 (!ш !2 + !Н !2) уз (3.2) Это есть нормировка на один фотон в объеме 1' = 1. Действительно, интеграл в левой стороне равенства представляет собой квантовомеханическое среднее значение энергии фотона в состоянии с данной волновой функцией ') .

В правой же стороне равенства (3.2) стоит энергия одного фотона. Роль «уравнения Шредингера» для фотона играют уравнения Максвелла. В данном случае (для потенциала А(г,б), удовлетворяющего условию (2.1)) это -- волновое уравнение дА АА 0 дб! «Волновые функции» фотона в общем случае произвольных стационарных состояний представ.ляют собой комплексные решения этого уравнения, зависящие от времени посредством множителя е — кл Говоря о волновой функции фотона, подчеркнем лишний раз, что ее отнюдь нельзя рассматривать как амплитуду вероятности ') Обратим внимшгие на то, что коэффициент 1Д4к) в интеграле (3.2) в два раза больше обычного коэффициента 1Д8к) в (2.10).

Эта разница связана, в конечном счете, с комплексностью векторов Ек ., На, в отличие от зрмитовых операторов поля Е, Й. 27 кллиБРОВОчнАя инвлгилн Гность пространственной локализации фотона .- в противоположность основному смыслу волновой функции в нерелятивистской квантовой механике. Это связано с тем, что (как было указано в З 1) понятие координат фотона вообще не имеет физического смысла.

К математическому аспекту этой ситуации мы вернемся еще в конце следующего параграфа. Компоненты разложения Фурье функции А(г,1) по координатам образуют волновую функцию фотона в импульсном представлении; обозначим ее А(1с,1) = А(1с)е '~'. Так, для состояния с определенным импульсом 1с и поляризацией е1 ) волновая функция импульсного представления дается просто коэффициентом при экспоненциальном множителе в (2.26): е~ ~ Ай (1с',ок) = ъ'4я бь ~,б~,„. (3.3) ~72ы В соответствии с измеримостью импульса свободной частицы волновая функция импульсного представления имеет более глубокий физический смысл, чем функция координатного представления: она дает возможность вычислить вероятности ьэь„, различных значений импульса и поляризации фотона, находящегося в заданном состоянии. Согласно общим правилам квантовой механики ьэк„дается квадратом модулей коэффициентов разложения функции А(1с') по волновым функциям состояний с определенными к и есч: 2 сс ~~ А1, (1с', о')А(1с') 1с'а' (коэффициент пропорциональности зависит от способа нормировки функций).

Подставив сюда (3.3), получим ю~, сс ~е( 1А(1с)~~. (3 4) После суммирования по двум поляризациям найдем вероятность того, что фотон имеет импульс 1с юй сс ~А(1с)~~. (3.5) я 4.Калибровочная инвариантность Как известно, выбор потенциалов поля в классической электродинамике неоднозначен: компоненты 4-потенциала Ал можно подвергнуть произвольному калибровочному (или градиюипкому) преобразованию вида Ал -э Ал+ д,д, (4.1) где 7~ -- произвольная функция координат и времени (см.

П, З 18). 28 ФО'Гон Для плоской волны, если ограничиться преобразованиями, не меняющими вида потенциала (его пропорциональности множителю ехР( — »алхн)), неоднозначность сводитсЯ к возможности прибавления к амплитуде волны любого 4-вектора! пропорционального 4-вектору И. Неоднозначность потенциала сохраняется, конечно, и в квантовой теории — применительно к операторам поля или к волновым функциям фотонов. Не предрешая способа выбора потенциалов, надо писать вместо (2.17) аналогичное разложение для операторного 4-потенциала А" = Е (Е -А" + ' А'"") (4.2) »со где волновые функции А»,' — 4-векторы вида или в краткой записи, опуская четырехмерные векторные индекС1.1: А1, = Х»4Л вЂ” ес '~', ЕЕ* = — 1.

(4.8) т» 2ы Здесь 4-импульс йд — — (о», 1с) (так что йх = о»1 — 1сг), а е единичный 4-вектор поляризации ') . Если ограничиться калибровочными преобразованиями, не меняющими зависимости функции (4.3) от координат и времени, то они будут состоять в замене ер — у е„ +;фю (4.4) гДе )с =,'б()с") пРоизвольнаЯ фУнкЦиЯ. ПопеРечность полЯРизации означает, что всегда возможна такая калибровка, при которой 4-вектор е имеет вид е" = (О, е), е1с = О (4.5) (такую калибровку мы будем называть трехмерно г!оперенной).

В инвариантном четырехмерном виде это требование записывается в виде условия четырехмерной пот»еречност!» ей = О. (4 б) Обратим внимание на то, что это условие (как и нормировочное условие ее* = — 1) не нарушается преобразованием (4.4) ) Выражение (4.3) не имеет вполне релятивистски-ковариантного (4-векторного) вида, что связано с неинвариантным характером принятой нами нормировки на конечный объем М = 1. Это, однако, не имеет принципиального значения и вполне компенсируется удобствами такого способа нормировки. Мы увидим в дальнейшем, что им обеспечивается простое и автоматическое получение реальных физических величин в должной инвариантной форме.

кхлиБРОВОчнля инвлеиАН Гность в силу того, что й = О. С другой стороны, равенство нулю ква- 2 дратв 4-импульса частицы означает равенство нулю ее массы. Тем самым выявляется связь между калибровочной инвариантностью и равенством нулю массы фотона (другис аспекты этой связи будут указаны в з 14). Никакие измеримые физические величины не должны меняться при калибровочном преобразовании волновых функций фотонов, участвующих в процессе.

Это требование калибровочной инвариантпостп играет в квантовой электродипамике даже болыпую роль, чем в классической теории. Мы увидим на многочисленных примерах, что оно является здесь, наряду с требованием релятивистской инвариантности, мощным эвристическим принципом. В свою очередь калибровочная инвариантность теории тесно связана с законом сохранения электрического заряда; мы остановимся на этим ее аспекте в З 43. Мы упоминали уже в предыдущем параграфе, что координатная волновая функция фотона не может быть истолкована как амплитуда вероятности его пространственной локализации.