IV.-Квантовая-электродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 9

В таком состоянии (его называют состоянием "сасьчичной поляризации существует «координатнаяии волновая функция. Поляризационная матрица плотности фотона представляет собой тензор второго ранга р д в плоскости, перпендикулярной вектору п (плоскость («1; индексы о, Р пробегают всего два значения). Этот тензор эрмитов: р-Ф = Р,з. (8.3) и нормирован условием Роси =Р1~+Р22 = 1 (8.4) В силу (8.3) диагональные компоненты ры и р22 вещественны, причем определяются одна по другой условием (8.4) . Компонента же ргз комплексна, а р2« = р12. Всего, следовательно, матрица плотности характеризуется тремя вещественными параметрами. Если известна поляризационпая матрица плотности, то можно найти вероятность того, что фотон имеет любую определенную поляризацию е. Эта вероятность определяется «проекцией» тензора р д на направление вектора е, т.

е, величиной роде„ед. (8.5) Так, компоненты ры и р22 представляют собой вероятности .линейных поляризаций вдоль осей ~ и «ь Проецирование на векторы (8.'2) дает вероятности двух круговых поляризаций: -11~«(Р12 — р )). (8.6) 2 Свойства тензора р с«по форме и по существу совпадают со свойствами тензора 7 «, описывающего частично поляризованный свет в классической теории (см. П, 2 50). Напомним здесь некоторые из этих свойств.

В случае чистого состояния с определенной поляризацией е тЕНЗОР Роз СВОДИТСЯ К ПРОИЗВЕДРНИЯМ КОМПОПЕНт ВЕКтОРа Е: р с« = еоед. (8.7) При этом определитель ~род = 0~. В обратном случае неполяризованного фотона все направления поляризации равновероятр., = б.4 72, (8.8) при этом ~ро~«~ = 1сс4. гл. ! Фо'гон В общем случае частичную поляризацию удобно описывать с помощью трех вещественных параметров Стокса (ы ~з, сз '), через которые матрица плотности выражается в виде ч ~~1+4(я 1 — ~з /' 4 1+~з 6 46~ 8.9 Все три параметра пробегают значения между — 1 и +1.

В неполяризованном состоянии (1 = ~з = (з = 0; для полностью поляРизованного фотона (~~ + (зз + ~зз = 1. Параметр ~з характеризует линейную поляризацию вдоль осей ~ или г); вероятность линейной поляризации фотона вдоль этих осей равна соответственно (1+ (з)/2 или (1 — (з)/2. Значения ~з = +1 или — 1 отвечают поэтому полной поляризации в этих направлениях. Параметр (1 характеризует линейную поляризацию вдоль направлений, составляющих угол ~р = я/4 или ~р = — я/4 с осью б.

Вероятность линейной поляризации фотона в этих направлениях равна соответственно (1+ ~1)/2 или (1 — ~1)/2; в этом легко убедиться, спроецировав тензор р,з на направления е = (1, ~1)/ьГ2. Наконец, параметр (з есть степень круговой поляризации; согласно (8.6) вероятность того,.

что фотон имеет правую или левую круговую поляризацию, равна (1+ ~з)/2 илн (1 — ~з)/2. Поскольку две поляризации отвечают спиральпостям Л = ~1, то ясно, что в общем случае ~я есть среднее значение спиральности фотона. Отметим также, что в случае чистого состояния с поляризациегй е (з = 4~ее*)п.

(8.10) Напомним (скг. П, 8 50), что по отношению к преобразованиям Лоренца инвариаптными величинами являются (я и Д~ + ~з. Мы встретимся также в дальнейшем с вопросом о поведении параметров Стокса по отношению к операции обращения времени. Легко видеть, что они инвариантны по отношению к этому преобразованию. Это свойство не зависит, очевидно, от природы поляризационного состояния, и потому достаточно убедиться в нем хотя бы в случае чистого состояния.

Обращению времени отвечает в кваптовогй механике замена волновой функции ее комплсксно-сопряженной (см. Ш, 8 18). Для плоскополяризованной волны это означает замену э) 1с -+ — 1с, е -+ — е*. (8.11) ') Не смешивать обозначение параметров с обозначением оси 8! ) Дополнительное изменение знака е связано с тем, что обращение времени меняет Знак векторного потенциала электромагнитного поля.

Скалярный же потенциал не меняет знака; поэтому геш 4-вектора е обращение времени есть преобразование (ее, е) э (еа, -е*). (8.11а) полягиЗАция Фотонл При таком преобразовании симметричная часть матрицы плотности (1/2)(еоер + еде'), а тем самым н параметры (~ и ~з не меняются. Неизменность же параметра ~з при том же преобразовании видна из (8.10); она очевидна также уже из смысла ~з как среднего значения спиральности. Действительно, спиральность есть проекция момента 3 на направление п, т. е.

произведение 3п: обращение же времени меняет знак обоих этих векторов. В дальнейших вычислениях нам понадобится матрица плотности фотона, записанная в четырехмерной форме, т. е. в виде некоторого 4-тензора р„„. Для поляризованного фотона, описываемого 4-вектором ер, этот тензор естественно определить как р„, = ере,'. (8.12) При трехмерно поперечной калибровке е = (О,е), если одна из пространственных осей координат выбрана вдоль и, отличные от нуля компоненты этого 4-тензора совпадают с (8.7).

Для неполяризованного фотона трехмерно поперечной калибровке отвечает тензор р„„с компонентами 1 Р1ь = -(о1ь — и М Ро = Ро = Роо = О (813) (если одна из осей совпадает с направлением п, мы возвращаемся к (8.8)). Непосредственно использовать тензор рр, в таком трехмерном виде, однако, неудобно. Но мы можем воспользоваться калибровочным преобразованием; для матрицы плотности это есть преобразование вида Рри 1 Рри + Хрйы + Хийр,, (8.14) где Х„произвольные функции. Положив Хо = — 1П4ы), Х, = й;/(4М ) получим вместо (8.13) простое четырехмерное выражение Рр„— — — 8р /2. (8.15) Четырехмерное представление матрицы плотности частично поляризованного фотона легко получить, переписав предварительно двумерный тензор (8.9) в трехмерном виде: Р,ь = (1/2)(е( ) е(, ) + е( ) еь( ) ) + ф/2) (е( ) еь( ) + е( ) е~~ ))— — (Щз/2)(е~ )е~~ ) — е~ )е~ )) + (са/2)(е( )е~~ ) — е~ )е~~ )), где е(1), е(з) - единичные векторы, орты осей б и гй Требуемое обобп1ение достигается заменой этих 3-векторов пространственно-подобными единичными вещественными 4-векторами е(1), е1з), ортогональными друг друту и 4-импульсу фотона й: еО)з = с~в)~ = — 1, ер)е1в) = О, еО)й = е1в)й = О.

(8.16) 46 ФО'ГОН В трехмерно поперечной калибровке: е1Ц=10, еВ)), е1~)=10, е)2)). Таким образом, четырехмерная матрица плотности фотона рки = (1 12)(е)ЦеН) + е);)е)2)) + ф))2)1е~~)е)') + е)2)е)Ц)— — 11~2,)2)(е~~) е)') — е~~) е)') ) + (~з,)2) (е)~) е)~) — е~~) е)') ). (8.17) Удобство того или иного фактического выбора 4-векторов е! ), !Ц е) ) зависит от конкретных условий рассматриваемой задачи. Надо иметь в виду, что условия (8.16) не фиксируют выбора ей) и е)2) однозначным образом.

Если какой-либо 4-вектор ер удовлетворяет этим ус;ювиям, то им же будет удовлетворять н любой 4-вектор вида ер + уйр (в силу того, что к2 = 0). Эта неоднозначность связана с калибровочной неоднозначностью матрицы плотности. Первый член в (8.17) отвечает неполяризованному состоянию. Поэтому его можно было бы заменить, согласно (8.15), на -8р,))2. Такая замена снова эквивалентна некоторому калибровочному преобразованию.

При оперировании с 4-тензорами вида (8.17), разложенными по двум независимым 4-векторам, удобно применять следующий формальный прием. Записав (8.17) в виде з 1аЬ) 1а) 1Ь) рр,— к, р е„е а,Ь=1 представим коэффициенты р)~ь) двухрядной матрнцей /' )1Ц (12)з) Р ) )2Ц (22)) Р Р Как всякую эрмитову двухрядную матрицу, ее можно разложить по четырем независимым двухрядным матрицам матриЦам ПаУли !тк, Гтз, )т, и еДиничной матРиЦе 1: р = (1))2) (1 + ~о ), ~ = ф, ~2, (з), (8.18) в чем легко убедиться прямым сравнением с (8.17) ! использовав известные выражения матриц Паули (18.5) (объединение трех величин Г)! (2, ~з в «вектор» г.

имеет, конечно, чисто формальный смысл, преследующий лишь цель удобства записи). Задача Написать матрицу плотности фотона в представлении, в котором «осями» координат являются циркулярные орты )8.2). Р е ш е н и е. Компоненты тензора р' «в новых осях (а, й = хЦ получаются проецированием тензора (8.9) на орты (8.2)! Н-!)* ГНФ!) ! 2«!) 1 — !) р)! = р ве *е„, р,, = р„зе„е„ 1 ( 1+бз -8»+)8)1 2 1 — 8з — 18! 1 — 8з,) ' системА дВух Фо'гонов й 9. Система двух фотонов Рассуждения, аналогичные проведенным в 3 6, позволяют произвести подсчет числа возможных состояяий и в более сложном случае системы двух фотонов (Л.

Ландау, 1948). Будем рассматривать фотоны в системе их центра инерции; импульсы фотонов 1с1 = — 1сз = 1с ') . Волновую функцию системы двух фотонов (в импульсном представлении) можно представить в виде трехмерного тензора второго ранга А,;ь(п) составленного билипейно из компонент векторных волновых функций обоих фотонов; каждый из индексов этого тензора соответствует одному из фотонов (и единичный вектор в направлении 1с). Поперечность же каждого из фотонов выражается ортогональностью тензора А;й вектору п; Апгй = О, Апп~ = О. (9.1) Взаимная перестановка фотонов означает перестановку индексов тензора А,ь вместе с одновременным изменением знака п. Поскольку фотоны подчиняются статистике Бозе, то Ал„.( — и) = Аы(п).

(9.2) Тензор А,,ы вообще говоря, нс симметричен по своим индексам. Разделим его на симметричную (в,,ь) и антисимметричную (а;ь) части: А;ь = в,ь + а,й. Соотношению (9.2) (а также условиям ортогональности (9.1)) должна, очевидно, удовлетворять каждая из этих частей в отдельности. Отсюда получаем в,ь( — и) = в,ь(п), а.;~( — п) = -а;ь(п).