IV.-Квантовая-электродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 11

52 возоны гл. и Спин есть момент частицы в системе отсчета, в которой она покоится. Если спин частицы есть з, то ее волновая функция в системе покоя является трехмерным спинороги ранга 2з. Для описаяия же частицы в произвольной системе отсчета ее волновая функция должна быть выражена в виде четырехмерных величин. Частица со спином 0 описывается в системе покоя трехмерным скаляром. Такой скаляр, однако, может иметь различное четырехмерное «происхождениеь: зто может быть четырехмерный скаляр у), но может быть и четвертая компонента 4-вектора ч)л (времениподобного), у которого в системе покоя отлична от нуля лишь составляющая ууе ') .

Для свободной частицы единственный оператор, который может войти в волновое уравнение,-. зто оператор 4-импульса р. Его компонентами являются операторы дифференцирования по координатам и времени: р" = гди = (г —, — г зу) . (10.3) ~ д1 Волновое уравнение должно представлять собой дифференциальную связь между величинами уу и уую осуществляемую с помощью оператора р. Эта связь должна, разумеется, выражаться релятивистски инвариантными соотношениями. Таковыми являются тт)т,„= риз)з, риз)тл = пир., (10.4) где гп размерная постоянная, характеризующая частицу ') . Подставив 1лл из первого уравнения во второе, получим (р — гп~)0 = 0 (10.5) (О. К1егп, В.

А. Фон, 1926; И'. Согт)оп, 1927). В раскрытом виде зто уравнение записывается как -д,„д Р= (- — '+~) ~ =т'~. (10.6) Подставив в него у) в виде плоской волны (10.2), получим рв = = из~, откуда видно, что т, --. масса частицы. Отметим, что вид уравнения (10.5), конечно, заранее ясен из того, что р ---единственный скалярный оператор, который можно составить с помощью р (по втой причине такому же уравнешлю удовлетворяет ') Либо, аналогичным образом, временная компонента 4-тепзора болео высокого ранга; этот случай, однако, привел бы к уравнениям более высокого порядка. е) Постоянные пз введены в (10.4) так, что ф„и ф имеют одинаковую размернОсть. Вводить в этих двух уравнениях различные поетоянные ги1 и тз было бы бессмысленно, так как их всегда можно было бы сделать одинаковыми путем переопределения 0~ или й„.

53 14а ВОлнОВОе уеавнениь для частиц сО спинОм О каждая из компояент волновой функции частицы с любым спином это мы неоднократно увидим в дальнейшем). Таким образом, частица со спином 0 описывается по суще- СтВУ ВСЕГО ОДНИМ (ЧстЫРЕХМЕРНЫК4) СКаЛЯРОМ гб ПОДЧИНЯКПЦИМСЯ уравнению второго порядка (10.5). В уравнениях же первого порядка (10.4) роль волновой функции играет совокупность величин ф и фю причем 4-вектор фв сводится к 4-градиенту скаляра гр.

В системе покоя волновая функция частицы не зависит от координат (пространственных) и поэтому пространственные компоненты 4-вектора г)р обращаются, как и должно быть, в нуль. Для проведения вторичного квантования полезно выразить энергию и импульс частицы в виде интегралов по пространству от некоторых билинейных (по гр и гр*) комбинаций, представляющих собой как бы пространственную плотность этих величин. Другими словами, надо найти тензор энергии-импульса Т „, соответствующий уравнению (10.5). С помощью этого тензора закон сохранения энергии и импульса выражается уравнением алТН = 0. (10.7) Согласно общим правилам теории поля (см. 11, 3 32), напишем вариационный принцип, следствием которого являлось бы уравнение (10.5).

Такой принцип должен заклгочаться в требовании минимальности «интеграла действияя ~4, (10.8) от некоторого вещественного 4-скаляра Т плотности лагранжевой функции поля ') . С ггомогцью скаляра »Д (и оператора д") можно составить вещественное билинейное скалярное выражение вида Т, = дД~'" диф — т гр'"гр, (10.9) где т размерная постоянная.

Рассматривая гр и гр* как независимые переменные, описывающие поле («обобще|гные координаты» поля д), легко видеть, что уравнения Лагранжа д дЬ дь (10.10) дх~ до,е дэ (д,» эз др9) действительно совпадают с УРавнениЯми (10.5) длЯ гр и ф', причем гп .- масса частицы. Отметим также, что выражение (10.9) написано с таким обгцим знаком, чтобы квадрат ) Соответствующий вторично квантованвый ОпЕратор Х называют лагранлсианом поля. Для упрОщения тсрмипологии будем пользоватьСя этим термином как для «квантованной»,так и для «неквантованной» плотности лагранжевой функции. возоны гл. и (10.14) д у" = О, (10.17) где 1„= тЯ*ф„+ ф„*ф) = Яф*д„ф — (д„ф*)юД, (10 18) производной по времени, ~дф/д1~Г, входил в Л со знаком плюс; в противном случае действие пе могло бы иметь минимума (ср.

И, 3 27). Выбор же общего числового коэффициента в 1 условен (и отражается лишь на нормировочном коэффициенте в ф). Тензор энергии-импульса вычисляется теперь по формуле Т'='у, 0' — Т,б" (10.11) дЯ,а (суммирование по всем д). Подставив (10.9), получим Т„,, = д,4' д 4+ д,~* д ф — Т.я„, (10.12) (эти величины, как и следовало, вещественны, что обеспечивает- ся вещественностью Ь). В частности, Тоо — 2 ~ — ~ — А — ~ ~'+~71* т'гФ+гп 4 Ф (10.13) д~ д~ д~ д~ Т З~О— — дй дх 'дя дй 4-импульс поля дается интегралом Рр: Т в д~т (10 ° 15) т.

е. Тсо и Тш играют роль плотности энергии и импульса. Отме- тим, что величина Теа существенно положительна. Формулой (10.13) можно воспользоваться для нормировки волновой функции. Плоская волна, нормированная на одну ча- стицу. в объеме Ъ' = 1, запишется в виде — грх (10.16) ~/2г Действительно, для этой функции Тсв = с,.

так что полная энер- гия в объеме Г = 1 совпадает с энергией одной частицы. Момент импульса, .сохранение которого связано с изотропи- ей пространства, тоже может быть выражен в виде простран- ственного интеграла; однако такое представление момента нам в дальнейшем не понадобится. Наконец, помимо законов сохранения, связанных непосред- ственно с пространственно-временной симметрией, уравнения (10.4) допускают еще один закон сохранения. Действительно, лег- ко убедиться., что в силу (10.4) (и таких жс уравнений для 4*) имеет место уравнение об ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ Отсюда виднор что уи играет роль 4-вектора плотности тока.

При этом (10.17) есть уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения величины (10. 19) Эо11' Ш, где (10.20) Обратим внимание на то, что уо не положительно определенная величина. Уже это обстоятельство показывает, что в общем случае ее заведомо нельзя интерпретировать как плотность вероятности пространственной локализации частицы. Смысл выражаемого уравнением (10.17) закона сохранения выяснится в следу ющем параграфе. й 11. Т4астицы и античастицы Следуя общим правилам проведения вторичного квантования, мы должны рассмотреть разложение произвольной волновой функции по собственным функциям полного набора возможных состояний свободной частицы, например по плоским волнам ррр..

4 = ~~ ар4р, ф* = ~ирФ'. После этого коэффициенты ар, ар надо было бы понимать как операторы ар, а р уничтожения и рождения частиц в соответствующих состояниях ') . При этом, однако, мы сразу сталкиваемся со следующим новым (по сравнению с нерелятивистской теорией) принципиальным обстоятельством. В плоской волне, являющейся решением уравнения (10.5), энергия е должна удовлетворять (при заданном импульсе р) лишь условию е = р + т, т. е, может иметь :ь„р « .ец: ...., ° ° .

р. бодной частицы могут, однако, обладать лишь положительные значения е. Между тем просто опустить отрицательные значения недопустимо: общее решение волнового уравнения образует лишь суперпозиция всех его независимых частных решений. Это обстоятельство указывает на необходимость некоторого из- ') Снабжаем й-функции индексом 4-импульса р, в дальнейшем функции с «отрицательррой частотой> будем обозначать через 11 р. Операторы же а, ат снабжаел«индексом трехмерного импульса р, полностью определяющего состояние реальной частицы. 56 возоны гл. и менения истолкования коэффициентов разложения р)р и р)р* при вторичном квантовании. Напишем это разложение в виде ) Ж р(рг — «й + ~ ~ ) ( — ) г1ргф«8) ъ'2« ~-' »Р2« где в первой сумме стоят нормированные согласно (10.16) плоские волны с положительными, а во второй".с отрицательными «частотами»; е везде обозначает положительную величину; =р,р'р '.пр р .

«ффр ар в первой сумме заменяем обычным образом операторами (ф) ар уничтожения частиц. Во второй же сумме замечаем, что при дальнейшем образовании матричных элементов временная зависимость ее слагаемых буде.г соответствовать не уничтожению, а рождению частиц; множитель е"' = (е '"')* отвечает одной лишней частице с энергией е в конечном состоянии (ср. конец 2 2). Соответственно этомУ коэффициенты ар замснаем опеРаторами Ь~ рождения некоторых друтих частиц.

Заменив также во второй сумме в (11.1) обозначение переменной суммирования р на — р (чтобы экспоненциальный множитель приобрел вид е цр" «~) получим «)р-операторы в виде «)р = ~~р (аре '" + Ьре" ), «)р = » 1аре'" + Ьре ""). р р (11.2) Таким образом, все операторы ар, Ьр оказываются умноженными на функции с «правильной» зависимостью от времени ( е "'), а операторы а~ф, Ь~ф на комплексно-сопряженные им функции. Это и дает возможность истолковать, в соответствии с общими правилами, операторы ар, Ьр как операторы уничтожения, а аь, Ь~~ -- как операторы рождения частиц с импульсами р и эне)зГЙямй е. Мы приходим к представлению о частицах двух родов, высгупающих совместно и равноправно.

О пих говорят как о частицах и античастицах (смысл такого названия выяснится ниже). Одним из них отвечают в аппарате вторичного квантования операторы ар, а',~, а другим Ьр, Ь«. Оба вида частиц, операторы которых входят в один и тот же «)у-оператор, тем самым имеют одинаковые массы. К этим результатам можно прийти и исходя из прямых требований релятивистской инвариантности. 57 члстицы и лнтичлстицы Преобразования Лоренца представляют собой в математическом смысле повороты четырехмерной системы координат, меняющие направление оси времени (вместе с чисто пространственными поворотами, не затрагивающими оси времени, они составляют группу преобразований, .которую называют группой Лоренца ') ).