IV.-Квантовая-электродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 13

Физически оно При квантовании же по Ферми мы получили бы бессмьпленный результат не зависящее от Х, значение Е. «Заряд» Я рассматриваемого поля равен нулю. Это ясно уже из того, что заряд ь ' должен меяять знак при замене частиц античастицами, а в данном случае те и другие совпадают. В связи с этим не существует и 4-вектора плотности тока. Действительно, выражение 62 гл. и возоны выражает отсутствие соответствующих запретов для изменения числа частиц.

С формальной же точки зрения существует прямая связь между отсутствием сохраняющегося тока и вещественностью поля эрмитовостью оператора лг. Лагранжиап комплексного поля Ь = диФ Двф — лп л)л+л)л (12.9) инвариантен по отношению к умножению лд-оллератора на произвольный фазовый множитель, т. е.

по отношению к преобразованиям лд — ~ ел 4, л~л+ -+ е ' лил (12.10) (их называют калибровочными). В частности, лагранжиан не меняется при бесконечно малом калибровочном преобразовании 4 — л 4+ лба ~, л)л' — л ф — лллсл. ф+. (12.11) При бесконечно малом изменении «обобщенных координатл д лаграпжиан испытывает изменение бай=1 ( — лл-'; )= ~(ес о ел)л ~ а (ыл) (суммирование по всем д). Первый член обращается в нуль в силу «уравнений движения» (уравнений Лагранжа). Понимая под «координатами» д операторы ф и л) + и положллв Щ = лбо.

ф, бф+ = — лбо. лд+, получим д л'- дХ вЂ , дХ 'л бТ = Ылт — ~ф= — ~л ) див ~ длт длтл- в) Отсюда видно, что условие неизменности лагранжиапа (бХ = О) эквивалентно уравнению непрерывности (длу"=О) для 4-вектора У вЂ” л ~ д4-, д4 Легко убедиться, что для лагранжиана (12.9) эта формула приводит к току (12.8). Таким образом, в математическом формализме теории существование сохраняющегося тока оказывается связанным с инвариантпостью лагранжиана по отношению к калибровочным преобразованиям (И'.

Раи1л', 1941). Лагранжиан же истинно нейтрального поля (12.2) этой симметрией не обладает. 63 багз пгеовРАЗОВАния с, Р, т 3 13. Преобразования С, Р, Т В противоположность 4-инверсии трехмерная (пространственная) инверсия не сводима к каким-либо поворотам 4-системы координат: определитель этого преобразования равен не + +1, а — 1. Свойства симметрии частиц по отношению к инверсии (Р-преобразование) не предопределяются поэтому. соображениями релятивистской инвариантности ') . В применении к скалярной волновой функции операция инверсии заключается в преобразовании (13.1) Рф(1,г) = ~ф(1, — г), где знак «+» или « — » в правой стороне отвечает соответственно истинному скаляру или псевдоскаляру.

Отсюда видно, что надо различать два аспекта поведения волновой функции при инверсии. Один из них связан с зависимостью волновой функции от координат. В нерелятивистской квантовой механике рассматривался только этот вопрос, он приводит к понятию четности состояния (которую мы будем называть теперь орбпгпальной четностйю), характеризующей свойства симметрии движения частицы. Если состояние обладает определенной орбитальной четностью (+1 или — 1), то это значит, что ~(1, — г) = ~ф(1,г).

Другой аспект поведение (при инверсии координатных осей) волновой функции в данной точке (которуго удобно представлять себе как начало координат). Оно приводит к понятию внутренней четноста чосгггпцы. Внутренней четности +1 или— — 1 отвечают (для частицы со спином О) два знака в определении (13.Ц. Полная четность системы частиц дается произведением их внутренних четностей и орбитальной четности относительного движения.

«Внутренние» свойства симметрии различных частиц проявляются, разумеется, лишь в процессах их взаимных превращений. Аналогом внутренней четности в перелятивистской квантовой механике является четность связанного состояния сложной системы (например, ядра). С точки зрения релятивистской теории, не делающей принципиального различия между составными и элементарными частицами, такая внутренняя четность пе отличается от внутренней четности частиц, фигурирующих в ) Группу Лоренца, доно.гненную пространственной инверсией, называют расширенное" группой Лоренца (в отличие от исходной группы, пе содержащей Р, которую в этой связи называют собственной). Рассширенпая группа содержит все преобразования, не выводящие ось» из соответствующих полостей светового конуса.

гл. и возоны нерелятивистской теории в качестве элементарных. В перелятивистской области, где последние ведут себя как неизменяемые, их внутренние свойства симметрии не наблюдаемы, и поэтому их рассмотрение было бы лишеяо физического смысла. В аппарате вторичного квантования внутренняя четность выражается поведением ~-операторов при инверсии. Скалярному и псевдоскалярному полям отвечают законы преобржювания (13.2) Р: ф(1, г) — > ~ф(1, — г). Самый же смысл воздействия инверсии на гР-оператор должен быть сформулирован в виде определенного преобразования операторов уничтожения и рождения частиц--такого, чтобы в его результате возникало изменение (13.2).

Легко видеть, что таковым является Р: йр -э лй „бр — э ~б р (13.3) (и то же самое для сопряженных операторов). Действительно, произведя эту замену в операторе: ,) (1 ) з ~ 1 ) — гыг-георг + бз- гл — грг) (13.4) х-' ог2г ре и переобозначив затем переменную суммирования (р э — р), мы приведем его к виду 3:ф(го — г). Таким образом, если обозначить через ф (г,г) оператор, в котором произведено преобразование Р (13.3), то можно написать равенство 'Ф (г-,г) = ~ФИ,— г).

(13.5) Отметим, что преобразование (13.3) имеет вполне естественный вид: инверсия меняет знак полярного вектора р, так что частицы с импульсом р заменяются частицами с импульсом — р. В (13.3) операторы ар и бр преобразуются либо оба с верхними, либо оба с нижними знаками. В аппарате вторичного квантования это является выражением одинаковости внутренних четностей частицы и античастицы (со спином О). Сама же по себе эта одинаковость очевидна уже из того, что частицы и античастицы (со спинам О) описываются одними и теми же (скалярными или псевдоскалярпыми) волновыми функциями.

В релятивистской теории возникает также симметрия по отношению к преобразованию, не имеющему аналога в нерелятивистской теории; сто называют аарядооым сопряоюепием (С-преобразование). Если взаимно переставить все операторы ар и бр. С;арэбр, бр — ~ар (13.6) 65 11з НРеовРАзовлния с, Р, т (т. е.

взаимно замеяить частицы античастицами), то уу перейдет в «зарядово-сопряженный» оператор где с, причем гр (г,г) = гд~(г,г) (13.7) Это равенство выражает симметрию, с которой входят в теорию понятия частиц и античастиц. Отметим,что в определении преобразования зарядового сопряжения содержится некоторый несущественный формальный произвол. Смысл преобразования не изменится, если ввести в определение (13.6) произвольный фазовый множитель: ар — )е' ор, бр — >е ' ар.

Тогда было бы ф-+е-~", 4~-~->е--ф, а двукратное повторение этого преобразования по-прежнему приводило бы к тождеству (г1л — Э гд). Все такие определения, однако, эквивалентны друг другу. Поскольку свойства гд-операторов не меняются при умножении на фазовый множитель (ср. конец предыдущего параграфа), можно просто переобозначить 6 на фе1о7, после чего вернуться к определению зарядового сопряжения в виде (13.6),(13.7). Поскольку зарядовое сопряжение заменяет частицу нетождественной ей античастицей, оно не приводит в общем случае к возникновению какой-либо новой характеристики частицы или системы частиц как таковых.

Исключение в этом смысле составляют системы, состоящие из равного числа частиц и античастиц. Оператор С переводит такую систему саму в себя, и потому в этом ш1учае у нее существуют собственные состояния, отвечающие собственным значениям С = +1 (последние следуют из того, что Сй = 1). Для описания зарядовой симметрии можно при этом рассматривать частицу и античастицу как два различных «зарядовых состояниялл одной и той же частицы, отличающихся значением зарядового квантового числа б,1 = ш1. Волновая функция системы представится как произведение орбитальной и «зарядовой» функции и должна быть симметричной по отношению к одновременной перестановке всех переменных (координатных и зарядовых) любой пары частиц. Симметрия же «зарядовойа функции определит зарядовую четность системы (см.

задачу) ') . Понятие зарядовой четности, естественным образом возникающее для «истинно нейтральныха систем, должно относиться и ') В Этих рассуждениях мы имеЕм в виду чаетицы Со олином О. Описанный способ рассмотрения непосредственно обобщается и на другие случаи — см., например, задачу к Э 27. а Л. Д. Ландау н В.М. Лифшиц, том 1У 66 Гл. и возоны к истинно яейтральным «элементаряым»» частицам. В аппарате вторичного квантования это понятие описывается равенством у,.С (13.8) знаки «+» и « — » отвечают зарядово-четным и зарядово-нечетным частицам.

В 9 11 было указано, что релятивистская инвариантность должна означать также и инвариантность по отношению к 4-инверсии. По отношению к оператору скалярного (в смысле 4-поворотов) поля это значит, что при таком преобразовании должно быть: ф(1,г) = ф( — 1, — г) всегда с одинаковым знаком «+» в правой стороне.

В терминах преобразования операторов ар, бр превращение у>(4, г) н 4»( — 5, — г) достигается перестановкой н (13.4) коэффициентов при е '"* и е'р", т. е. заменой ар — » б+, бр — » а+ (13.9) Заменяя а-операторы б-операторами, это преобразование включает в себя взаимную замену частиц античастицами. Мы видим, что в релятивистской теории естественным образом возникает требование инвариантности по отношению к преобразованию, в котором одновременно с пространственной инверсией (Р) и обращением времени (Т) производится также зарядовое сопряжение (С); это утверждение называют СРТ-теоремой ') .