IV.-Квантовая-электродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 12

Все эти преобразования обладают тем общим свойством, что они не выводят ось Ь за пределы соответствующей полости светового конуса, чем и выражается физический принцип существование предельной скорости распространения сигналов. Но в чисто математическом отношении поворотом является также и одновременное изменение знака всех четырех координат (чегпыреи мериал гтверсил): определитель этого преобразования равен +1, как и определители всякого другого поворотного преобразования. При этом ось времени переводится из одной полости светового конуса в другую.

Хотя это обстоятельство и означает физическую неосуществимость такого преобразования (как преобразования системы отсчета), но в математическом отношении отличие сводится лишь к тому, что (в силу псевдоевклидовости метрики) такой поворот не может быть произведен без того, чтобы не допустить попутно комплексное преобразование координат.

Естественно полагать, что это отличие должно быть несущественно, когда речь идет о четырехмерной инвариантности. Тогда всякое выражение, инварглантное по отношению к преобразованиям Лоренца, должно быть инвариантно и по отношению к 4-инверсии. Точная формулировка этого требования в применении к скалярному гр-оператору будет дана в ч 13. Но сразу же отметим, что оно во всяком случае приводит к необходимости одновременного присутствия в умоператорвх членов с обоими знаками перед е в показателях, поскольку замена 1 -э — 1 как раз меняет этот знак.

Вернемся к выражениям (11.2) и установим перестановочпые соотношения между операторами ар, ар, (и Ьр., Ь~~). В случае фотонов это было сделано (для операторов ср, срг) исходя из аналогии с осцилляторами, т. е. по существу из свойств электромагнитного поля в классическом пределе. Теперь такой аналогии нет. Для установления правил коммутации (Бозе ипи Ферми) между операторами мы можем руководствоваться лишь видом построенного из этих операторов гамильтониана. ) Отметим, что сОвокуппость всех трвхмервых (пространственных) поворотов составляет сама по себе группу, входящую в группу Лоренца в качестве подгруппы.

Совокупность же преобразований Лоренца сама по себе не составляет группы: результат последовательных преобразований Лоренца может сводиться к чисто пространственному повороту. 58 возоны гл. и (11.5) ) В нерелятивистской теории при этом полагается писать сопряженный оператор ~Ут слева от т. Здесь же порядок безразличен, так как перестановка фт и ф привела бы лишь к перестановке равноправных операторов ор и Ьр.

Необходимо, однако, выбрав тот или иной порядок, всегда придерживаться одного правила. Последний получается (см. Ш, 8 64) подстановкой гЬ и от вместо ф и ф* в интеграл ) Тее г1зш ') . Таким образом найдем Й = ~~) е(а+ар + ЬрЬ '). (11.3) и Легко видеть, что разумный результат для собственных значений этого гамильтониана получается, лишь если операторы удовлетворяют правилам коммутации Бозе: (ар., а е) = (Ьр, 5+1 (11.4) (все другие пары операторов коммутативны; в том числе комму~ативны все операторы частиц ар, а ~ со всеми операторами античастиц Ьр, Ь+). Действительно, в таком случае Й ~ е(ар ар + б~> Ьр + 1) ° Р Собственные значения произведений а'" ар и Ь~~Ьр равны положительным целым числам Хр и Агр -- числам частиц и античастиц. Бесконечную же аддитивную постоянную ~, е («энергия вакуумар) можно снова просто опустить: Е = ~~) е(Агр + Агр) и (ср.

формулу (3.1) и примечание к ней). Это выражение существенно положительно и соответствует представлению о двух родах реально существующих частиц. Аналогичным образом для полного импульса системы частиц получим Р = ~ Р(Агр + Хр). (11.6) Если бы мы приняли вместо (11А) перестановочные соотношения Ферми (антикоммутаторы вместо коммутаторов), то получили бы Н = ~~ е(а'ар — Ь~~Ьр+ 1) и вместо формулы (11.5) физически бессмысленное выражение ~,е(Хр — Хр). Это выражение не является положительно члстицы и литичлстицы определенным и поэтому не может представлять собой энергию системы свободных частиц. Таким образом, частицы со спином 0 являются бозонами.

Далее, рассмотрим интеграл Я (10.19). Заменив в ую функций ц' и ф' операторами ф и ф+ и произведя интегрирование, получим Я = Я(а«ар — брб ) = Я(а«ар — Рбр — 1). (11.7) Собственные значения этого оператора (за вычетом несущественной аддитивной постоянной ~;1): ~=~(л,-й,), (11.8) и т. е. равны разностям полных чисел частиц и античастиц. До тех пор, пока мы рассматриваем свободные частицы, отвлекаясь от всякого взаимодействия между ними, смьнл закона сохранения величины Я (как, впрочем, и законов сохранения полных энергии и импульса (11.5, 11.6)) остается, разумеется, в значительной степени условным: сохраняется в действительности не только эта сумма., но и каждое из чисел Хр, Хр в отдельности.

Будет ли сохраняться величина Я в результате взаимодействия, зависит от характера взаимодействия. Если Я сохраняется (т. е. если оператор Я коммутирует с гамильтонианом взаимодействия), то выражение (11.8) показывает, какое этот закон вносит ограничение на возможные изменения числа частиц: могут возникать и исчезать л1ппь пары «частица+античастица». Если частица электрически заряжена, то ее античастица должна иметь заряд противоположного знака: если бы та и другая имели одинаковые заряды, то возникновение или уничтожение их пары противоречило бы строгому закону природы-- сохранению полного электрического заряда.

Мы увидим ниже Я 32), каким образом эта противоположность зарядов (при взаимодействии частиц с электромагнитным полем) возникает в теории автоматически. Величину Я иногда называют зарядом поля данных частиц. Для электрически заряженных частиц 1~ определяет, в частности, полный электрический заряд системы (в единицах элементарного заряда е). Подчеркнем, однако, что частицы и античастицы могут быть электрически нейтральны.

Таким обраюм, мы видим, как характер релятивистской зависимости энергии от импульса (двузначность корня уравнения ез = рв + «пэ) совместно с требованиями релятивистской инвариантности приводит в квантовой теории к появлению нового классификационного принципа для частиц -возможности существования пар различных частиц («частица + античастица»), 60 возоны гл. и находящихся в описанном вьппе соответствии друг с другом. Это замечательное предсказание было впервые сделано (для частиц со спином 1,62) Дираком в 1930 г., еще до фактического открытия первой античастицы позитрона ') .

3 12. Истинно нейтральные частицы При проведении вторичного квантования ф-функции (11.1) коэффициенты ар и ар рассматривались как операторы, от- М ( †) носящиеся к различным частицам. Это, однако, не обязательно; как частный случай входящие в у1 операторы уничтожения и рождения могут относиться к одним и тем же частицам (как это было для фотонов — ср. (2.17)).

Обозначив в этом случае указанные операторы как ср и с+, напишем у-оператор в виде — (с е "''+ с е"' ). ~-' ъ'2е (12.1) (12.3) так что оператор плотности энергии ') Па бозоны понятие античастиц было распространено Вайскопфом и Паули (К Игемэвор~, Иг.

Раи1г', 1934). ~) Подобно лишнему множителю 1/2 в операторе (2.10) плотности энергии электромагнитного поля (выраженного чероз эрмитовы операторы К и Й), по сравнению с плотностью энергии фотона (3.2). выраженной через его комплексную волновую функцию; ср. примеч. иа с. 2б. Описываемое таким оператором поле соответствует системе одинаковых частиц, о которых можно сказать, что они «совпадают со своими античастицамиэ, Оператор (12.1) эрмитов (фт = 1о); в этом смысле такое поле имеет вдвое меныпе «степеней свободы», чом комплексное поле, для которого операторы уз и уэ+ не совпадают. В связи с этим лагранжиан поля, выраженный через эрмитов оператор 41, должен содержать лишний (по сравнению с (10.9)) множитель 1/2 в) Х = (1/2)(дрф ддф — пуф~). (12.2) Соответствующий тензор энергии-импульса 2ии — оиМ ' й Ф ~'Кум; 61 1 ьз ИСТИННО НЕЙТРАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ Подставив 112.1) в интеграл / 7овдзя, получим гамильтониан поля и: х~~ е(~ ср + сп~ ) 112.5) Отсюда снова видна необходимость квантования по Бозе: (ср, сп) = 1, 112.6) и собственные значения энергии (снова за вычетом аддитивной постоянной) Е = ~~~ ерХр.

112.7) 7'И = г~ф д,Я вЂ” (два~ «)ф) (12.8) для оператора сохраняющегося 4-вектора 1 при ф = ~~« обращается в нуль (вектор же фдиф сам по себе не сохраняется). Это в свою очередь означает отсутствие какого-либо особого закона сохранения, который бы ограничивал возможные изменения чисца частиц. Очевидно, что такие частицы, во всяком случае, электрически нейтральны. Частицы такого рода называют исгпинно нейтрильнылги, в отличие от электрически нейтральных частиц, имеющих античастицу.

В то время как последние могут аннигилировать 1превращаясь в фотоны) лишь парами, истинно нейтральные частицы могут аннигилировать поодиночке. Структура»д-оператора (12.1) такая же,. как структура операторов 12.17) — 12.20) электромагнитного поля. В этом смысле можно сказать, что и сами фотоны — истинно нейтральные частицы. В случае электромагнитного поля эрмитовость операторов была связана с вещественностью напряженностей поля как измеримых 1в классическом пределе) физических величин. В случае же»д-операторов частиц такой связи не существует, поскольку им вообще не соответствуют какие-либо непосредственно измеримые величины. Отсутствие сохраняющегося 4-вектора тока есть общее свойство истинно нейтральных частиц и не связано с равным нулю спином (так, опо имеет место и для фотонов).