III.-Квантовая-механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 7

В квантовой механике электрон описывается волновой функцией, определяющей различные значения его координаты; об этой функции нам известно пока лишь то, что она является решениетн некоторого линейного дифференциального уравнения в частных производных. В классической же механике электрон рассматривается как материальная частица, движущаяся по траектории, вполне определяющейся уравнениями движения. Взаимоотношение, в некотором смысле аналогичное взаимоотношению между квантовой и классической механикой, имеет место в электродинамике между волновой и геометрической оптикой.

В волновой оптике электромагнитные волны описываются векторами электрического и магнитного полей, удовлетворяющими определенной системе линейных дифференциальных уравнений (уравнений Максвелла). В геометрической же оптике 1 ) В дальнейшем мы условимся для простоты обозначений писать везде операторы, сводящиеся к умножению на некоторую величину, просто в виде самой этой величины. ) Коэффициенты разложения произвольной функции Ф по этил1 собственным функциям равны ае —— ) Ф(Ч)б(Ч вЂ” ее) дй = Ф(йо). Вероятность значоний координаты в данном интервале Лда равна ~аее~ Нйе = ~Ф(до)~ Нде, как и должно было быть.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ ! рассматривается распространение света по определенным траекториям лучам. Подобная аналогия приводит к заключению, что предельный переход от квантовой механики к классической происходит аналогично переходу от волновой оптики к геометрической. Напомним, каким образом математически осуществляется этот последний переход (см. П, 253).

Пусть и — какая-нибудь из компонент поля в электромагнитной волне. Ее можно представить в виде и = Неся с вещественными амплитудой а и фазой !р (последнюю называют в геометрической оптике эйконалом). Предельный случай геометрической оптики соответствует малым длинам волн, что математически выражается болыпой величиной изменения !Р на малых расстояниях; это означает, в частности, что фазу можно считать большой по своей абсолютной величине. Соответственно этому, исходим из предположения, что предельному случаю классической механики соответствуют в квантОВОй МЕХаНИКЕ ВОЛНОВЫЕ фуНКцИИ ВИда !р = авет, Гдв а Мсдленво меняющаяся функция, а !Р принимает болыпие значения.

Как известно, в механике траектория частиц может быть определена из вариационного принципа, согласно которому так называемое действие о механической системы должно быть ьгинимальным (принцип наименьшего действия). В геометрической же оптике ход лучей определяется так называемым принципом Ферма, согласно которому должна быть минимальной «оптическая длина пути» луча, т. е. разность его фаз в конце и в начале пути. Исходя из этой аналогии, мы можем утверждать, что фаза !Р волновой функции в классическом предельном случае должна быть пропорциональна механическому действию о рассматриваемой физической системы, т.

е. должно быть О = сонно !Р. Коэффициент пропорциональности называется посшолнной Планка и обозначается буквой 6 !) . Она имеет размерность действия (поскольку !р безразмерно) и равна 6 = 1,055 10 ~бэрг с. Таким образом, волновая функция «почти классической» (или, как говорят, квазиклассической) физической системы имеет вид гб/6 !р = ае' (0.1) ') Она была введена в физику Планком (М.

Р1онс15 1900). Постоянная 6, которой мы пользуемся везде в этой книге, есть, собственно говоря, постоянная Планка 6, деленная на 2к (обозначение Дирака). ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ Постоянная Планка играет фундаментальную роль во всех квантовых явлениях. Ее относительная величина (по сравнению с другими величинами той же размерности) определяет «степень квантовости» той или иной физической системы. Переход от квантовой к классической механике соответствует большой фазе и может быть формально описан как переход к пределу 6 — » 0 (подобно тому как переход от волновой к геометрической оптике соответствует переходу к пределу равной нулю длины волны, Л вЂ” » 0).

Мы выяснили предельный вид волновой функции, но еще остается вопрос о том, каким образом она связана с классическим движением по траектории. В общем случае движение, описываемое волновой функцией, отнюдь не переходит в движение по определенной траектории. Ее связь с классическим движением заключается в том, что если в некоторый начальный момент волновая функция, а с нею и распределение вероятностей координат заданы, то в дальнейшем это распределение будет Фперемещаться» так, как это полагается по законам классической механики (подробнее об этом см. конец ~ 17).

Для того чтобы получить движение по определенной траектории, надо исходить нз волновой функции особого вида, заметно отличной от нуля лишь в очень малом участке пространства (так называемый волновой пакет); размеры этого участка можно устремить к нулю вместе с 6. Тогда можно утверждать, что в квазиклассическом случае волновой пакет будет перемещаться в пространстве по классической траектории частицы. Наконец, квантовомеханические операторы в пределе должны сводиться просто к умножению на соответствующую физическую величину. й 7. Волновая функция и измерения Вернемся снова к процессу измерения, свойства которого были качественно рассмотрены в з1, и покажем, каким образом эти свойства связаны с математическим аппаратом квантовой механики. Рассмотрим систему, состоящую из двух частей--классического прибора и электрона (рассматриваемого как квантовый объект).

Процесс измерения заключается в том, что эти две части приходят во взаимодействие друг с другом, в результате чего прибор переходит из начального в некоторое другое состояние, и по этому изменению состояния мы судим о состоянии электрона. Состояния прибора различаются значениями некоторой характеризующей его физической величины (или 40 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МВХАНИКИ ГЛ ! величин) — «показаниями прибораГВ Обозна ПГМ условно эту величину через д, а ее собствснныс значения через я„; последние пробегают, соответственно классичности прибора, вообще говоря, непрерывный ряд значений, но мы будем исключительно в целях упрощения написания нижеследующих формул — считать спектр дискретным.

Описание состояний прибора осуществляется квазиклассическими волновыми функциями, которые будем обозначать через Ф„(~), где индекс п отвечает «показанию» я„ прибора, а ~ обозначает условно совокупность его координат. Классичность прибора проявляется в том, что в каждый данный момент времени можно с достоверностью утверждать, что он находится в одном из известных состояний Ф„с каким-либо определенным значением величины я, для квантовой системы такое утверждение было бы, разумеется, несправедливым. Пусть Фо(~) есть волновая функция начального (до измерения) состояния прибора, а Ф(д) некоторая произвольная нормированная начальная волновая функция электрона (д обозначает его координаты).

Эти функции описывают состояние прибора и электрона независимым образом,и потому начальная волновая функция всей системы есть произведение Ф(Ч)Фо(6 (7А) Далее, прибор и электрон приходят во взаимодействие друг с другом. Применяя уравнения квантовой механики, можно, принципиально, проследить за изменением волновой функции системы со временем. После процесса измерения она,. разумеется, уже не будет произведением функций от ~ и и. Разлагая ее по собственным функциям Ф„прибора (образующим полную систему функций), мы получим сумму вида А„(д)Ф„®, В (7.2) А„(д) Ф„(~). (7.З) где А„(ц) -- некоторые функции от и.

Теперь выступает на сцену «классичностьВ прибора и двойственная роль классической механики как предельного случая и в то же время основания квантовой механики. Как уже указывалось, благодаря классичности прибора в каждый момент времени величина д («показание прибораэ) имеет некоторое определенное значение. Это позволяет утверждать, что состояние системы прибор + электрон после измерения будет в действительности описываться не всей суммой (7.2), а лишь одним членом, соответствующим «показанию» д„прибора: 41 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ Отсюда следует, что А„(О) пропорциональна волновой функции электрона после измерения. Это не есть еще сама волновая функция, что видно уже из того, что функция А„(д) не нормирована. Она включает в себя как сведения о свойствах возникшего состояния электрона, так и определяемую начальным состоянием системы вероятность появления и-го «показания» прибора.

В силу линейности уравнений квантовой механики связь между А„(д) и начальной волновой функцией электрона 1Р(д) выражается, вообще говоря, некоторым линейным интегральным оператором А„(а) = К„(ц, д')Ф(д') й~' (7.4) с ядром К„(ц, ц'), которое характеризует данный процесс измерения. Мы предполагаем, что рассматриваемое измерение таково, что в результате него возникает полное описание состояния электрона. Другими словами (см.

~ 1), в возникшем состоянии вероятности для всех величин должны быть независимыми от предыдущего (до измерения) состояния электрона. Математически это означает, что вид функций А„(д) должен определяться самим процессом измерения и не должен зависеть от начальной волновой функции Ф(д) электрона. Таким образом, А„должны иметь вид (7 б) А„(О) = а„~р„(ф, где ~р„определенные функции, которые будем предполагать нормированными, а от начального состояния Ф(ц) зависят только постоянные а„. В интегральной связи (7.4) этому соответствует ядро К„(а, д'), разбивающееся на произведение функций только От я и я: К (7, 7') = р (ч) р*.й').

(7.6) Тогда линейная связь постоянных а„с функцией Ф(д) дается формулами вида (7. 7) а„= Ф(д)Ф„(д) дд, где Ф„®- некоторые определенные функции, зависящие от процесса измерения. Функции ~р„(д) нормированные волновые функции электрона после измерения. Таким образом., мы видим, как математический формализм теории отражает возможность получить путем измерения состояние электрона, описанное определенной волновой функцией. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МВХАНИКИ ГЛ ! Если измерение производится над электроном с заданной волновой функцией Ф(д), то постоянные а„имеют простой физический смысл в соответствиги с обЩими пРавилами ~аи~ есть 2 вероятность того, что измерение даст и-йг результат.