III.-Квантовая-механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 4

Большую роль в квантовой механике играют наборы физических величин, обладак>щие следующим свойством: эти величины измеримы одновременно, причем если они имен>т одновременно определенные значения, то уже никакая другая физическая величина (не являющаяся их функцией) не может иметь в этом состоянии определенного значения. О таких наборах физических величин мы будем говорить как о полных наборах. Всякое описание состояния электрона возникает в результате некоторого измерения.

Мы сформулируем теперь, что означает полное описание состояния в квантовой механике. Полным образом описанные состояния возникают в результате одновременного измерения полного набора физических величин. По результатам такого взу|ереня можно, в частности, определить вероятность результатов всякого послсдуюгцего измерения независимо от всего, что происходило с электроном до первого измерения. В дальнейшем везде (за исключением только ~ 14) под состояниями квантовой системы мы будем понимать состояния, описанные именно полным образом. й 2.

Принцип суперпозиции Радикальное изменение физических представлений о движении в квантовой механике по сравнению с классической требует, естественно, и столь же радикального изменения математического аппарата теории. В этой связи прежде всего возникает вопрос о способе описания состояния в квантовой механике. Условимся обозначать буквой 11 совокупность координат квантовой системы, а 011 в произведение дифференциалов этих координат (его называют элементом объема конфигурационного пространства системы); для одной частицы дд совпадает с элементом объема 11'у' обычного пространства. Основу математического аппарата квантовой механики составляет утверждение, что состояние системы может быть описано определенной (вообще говоря, комплексной) функцией координат Ф(11), причем квадрат модуля этой функции определяет распределение вероятностей значений координат: ~Ф~ д>1 есть 20 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МВХАНИКИ ГЛ ! вероятность того, что произведенное над системой измерение обнаружит значения координат в элементе с1д конфигурационного пространства.

Функция Ф называется волновой функцией системы ') . Знание волновой функции позволяет в принципе вычислить вероятности различных результатов также и вообще всякого измерения (не обязательно измерения координат). При этом все эти вероятности определяются выражениями, билинейными по Ф и Ф .

Наиболее общий вид такого выражения есть Ф(д) Ф*(с)') рЦ, о') с1д с1с)', (2.1) где функция !р(г), д') зависит от рода и результата измерения, а интегрирования производятся по всему конфигурационному пространству. Сама вероятность ФФ* различных значений координат тоже является выражением такого типа') . С течением времени состояние системы, а с ним и волновая функпия, вообгце говоря, меняются. В этом смысле волновую функцию можно рассматривать как функцию также и от времени. Если волновая функция известна в некоторый начальный момент времени, то по самому смыслу понятия полного описания состояния она тем самым в принципе определена и во все будущие моменты времени.

Фактическая зависимость волновой функции от времени определяется уравнениями, которые будут выведены в дальнейп!ем. Сумма вероятностей всех возможных значений координат системы должна, по определению, быть равной единице. Поэтому нужно, чтобы результат интегрирования ~Ф~2 по всему конфигурационному пространству был равен единице; (2.2) Это равенство представляет собой так называемое условие нормировки волновых функций. Если интеграл от ~Ф~2 сходится, то выбором соответствующего постоянного коэффициента функция Ф всегда может быть, как говорят, нормирована. Мы увидим, однако, в дальнсйгпем, что интеграл от ~Ф~ может расходится и тогда Ф не может быть нормирована условием (2.2).

) Она была впервые введена в квантовую механику Шредпнгерогс (Е. Ес!!год!Вдет, 1926). г) Оно получается из (2,1) при <р(д, д') = 6(д — да)6(!1~ — !1а), где 6 обозначает так называемую 6-функцию, определяемую ниже, в э 5; через !1а обозначено значение координаты, вероятность которого мы ищем. пРин!1ип супеРпозиции В таких случаях ~Ф ~~ не определяет, конечно, абсолютные зна гения вероятности координат,но отношение квадратов ~Ф~ в двух различных точках конфигурационного пространства определяет относительную вероятность значений координат.

Поскольку все вычисляемые с помощью волновой функции величины с непосредственным физическим смыслом имеют вид (2.1), в котором Ф входит умноженной на Ф*, то ясно, что нормированная волновая функция определена лишь с точностью до постоянного фазового множителя вида е'о, где о — любое вещественное число. Эта неоднозначность принципиальная и не может быть устранена; однако она несущественна, так как нс отражается ни на каких физических результатах.

В основе положительного содержания квантовой механики лежит ряд утверждений относительно свойств волновой функции, заключающихся в следующем. Пусть в состоянии с волновой функцией Ф1(11) некоторое измерение приводит с достоверностью к определенному результату-- результату 1, а в состоянии Фг(11) к результату 2. '1огда принимается, что всякая линейная комбинация Ф1 и Фз, т. е, всякая функция вида с1Ф1+ с2Фз (с1, с2 — постоянные), описывает состояние, в котором то же измерение дает либо результат 1, либо результат 2. Кроме того, можно утверждать, что если нам известна зависимость состояний от времени, которая для одного случая дается функцией Ф1(д, 1), а для другого — Фз(д, 1), то любая их линейная комбинация тоже дает возможную зависимость состояния от времени. Эти утверждения составляют содержание так называемого принципа срперпозиции состояний основного положительного принципа квантовой механики.

Из него следует, в частности, что все уравнения, которым удовлетворяют волновые функции, должны быть линейными по Ф. Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, и предположим, что состояние этой системы задано так, что каждая из частей записана полным образом') . Тогда можно утверждать, что вероятности координат д1 первой части независимы от вероятностей координат д2 второй части, и потому распределение вероятностей для систел1ы в целом должно быть равно произведению вероятностей для ее частей. Это значит, что волновая функция Ф1з(щ,дз) системы может быть представлена в виде произведения волновых функций Ф1(д1) н Фз(дз) ес ) Тем самым, конечно, дано и полное описание состояния системы в целом. Подчеркнем, однако, что обратное утверждение отнюдь не справедливо: полное описание состояния системы как целого еще не определяет, вообще говоря, полным образом состояний ее отдельных частей (см. также з 14).

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МВХАНИКИ ГЛ ! Гастей 4 (в,Ы =Ф (а)Ф (а). (2.3) Если обе части не взаимодействуют друг с другом, то такое соотношение межчу волновыми функциями системы и ее частей сохранится и в будущие моменты времени: 'рГ2(й , Ф, ~) = рГ(Ж , г)Грз(ЧВ, ~). (2А) й 3. Операторы Рассмотрим некоторую физическую величину ~, характеризующую состояние квантовой системы. Строго говоря, в нижеследующих рассуждениях следовало бы говорить не об одной величине, а сразу о целом полном их наборе. Однако все рассуждения от этого по существу не меняются, и в целях краткости и простоты мы говорим ниже всего лишь об одной физической величине.

Значения, которые может приник!ать данная физическая величина, называют в квантовой механике ее собственными значениями, а об их совокупности говорят как о спектре собственных значений данной величины. В классической механике величины пробегают, вообще говоря, непрерывный ряд значений. В квантовой механике тоже существуют физические величины (например! координаты), собственные значения которых заполняют непрерывный ряд: в таких случаях говорят о непрерывном спектре собственных значений. Наряду с этими величинами в квантОвОй елЕханГГКЕ СущЕСтвуЮт, ОднакО, и другиЕ, СОбСтвЕнныЕ значения которых образук>т некоторый дискретный набор; в таких случаях говорят о дискретном спектре.

Будем считать сначала для простоты, что рассматриваемая величина г" обладает дискретным спектром: случай непрерывного спектра рассмотрен в ~5. Собственные значения величины г" обозначим как г"„, где индекс и пробегает значения О, 1, 2, 3, ... Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в котором величина ~ имеет значение Г„, через !ВВ. Волновые функции !В„называют собственными фрнкциями данной физической величины ~. Каждая из этих функций предполагается нормиро- ванной,так что (3.1) Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией !В! то произведенное над нею измерение величины г" даст в результате одно из собственных значений ~„. ОПЕРАТОРЫ В соответствии с принципом суперпозиции можно утверждать, что волновая функция Ф должна представлять собой линейную комбинацию тех из собственных функций Ф„, которые соответствуют значениям 1„, могущим быть обнаруженными с отличной от нуля вероятностью при измерении, произведенном над системой, находящейся в рассматриваемом состоянии.

Поэтому в общем случае произвольного состояния функция Ф может быть представлена в виде ряда Ф= ,'> п„Ф„, п (3.2) ~)а„! = 1. и Если бы функция Ф не была нормирована, то не имело бы места также и соотношение (3.3). Сумма 2 ~аи~Г должна была бы при этом определяться некоторым выражением, билинейным по Ф и Ф* и обращающилюя в единицу при нормированном Ф.

где суммирование производится по всем ии а а„-. некоторые постоянные коэффициенты. Таким образом, мы приходим к выводу, что всякая волновая функция может быть, как говорят, разложена по собственным функциям любой физической величины. О системе функций, по которым можно провести такое разложение, говорят как о полной систпеме функций. Разложение (3.2) дает возможность определить вероятности обнаружения (путелл измерений) у системы в состоянии с волновой функцией Ф того или иного значения 1„величины 1. Действительно, согласно сказанному в предыдущем параграфе, эти вероятности должны определяться некоторыми билинейными по Ф и Ф* выражениями и потому должны быть билинейными по аи и а„*. Далее, эти выражения, разумеется, должны быть положительными.

Наконец, вероятность значения у должна обращаться в единицу, если система находится в состоянии с волновой функцией Ф = Ф„, и должна обращаться в нуль, если в разложении (3.2) волновой функции Ф отсутствует член с данной Ф„. Единственной существенно положительной величиной, удовлетворяющей этому условию, является квадрат модуля коэффициента а„. Таким образом, мы приходим к результату, что квадрат модуля ~а„~ каждого из коэффициентов разложе- 2 ния (3.2) определяет вероятность соответствующего значения 1„ величины 1 в состоянии с волновой функцией Ф.

Сумма вероятностей всех возможных значений 1„должна быть равна единице; другими словами, должно иметь место соотношение 24 ООНОВНЫЬ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МВХАНИКИ ГЛ ! Таковым является только интеграл ) ФФ*Щ Таким образом, должно иметь место равенство „" = 1 ФФ' 77. и (3.4) С другой стороны, умножив на Ф разложение Ф* = 2 „а„*Ф„* комплексно сопряженной с Ф функции Ф' и проинтегрировав, получим 1 ФФ" 77 = Е „") Ф'„Ф77. 77 Сравнивая это с (3.4)7 имеем Х „„=Х "„) Ф„'ФФ7, и и откуда находим следующую формулу, определяющук> коэффициенты а„разложения функции Ф по собственным функци- ям Ф„: аи = ФФ„Й1.

(3.5) Если подставить сюда (3.2)7 то получим Ф~Ф*„Й1 = б„ (3.6) ГДЕ би = 1 ПРИ Н = т И би7и = О ПРИ Н ф т. 0 фаКтЕ ОбРан>ЕНИЯ в нуль интегралов от произведений Ф„,Ф„' с т у= п говорят как о взаимной ортогональногти функций Ф„. Таким образом, совокупность собственных функций Ф„образует полную систему нормированных и взаимно ортогональных (или, как говорят для краткости, — ортонормированных) функций. Введем понятие о среднем значении 1" величины ~ в данном состоянии. Соответственно обычному определения> средних значений определим ~ как сумму всех собственных значений ~и данной величины, умноженных каждое на соответствующую откуда видно, что собственныс функции должны удовлетворять условиям 25 ОПЕРАТОРЫ вероятность ~а„~~: У' = ~ 7„)а„) .