III.-Квантовая-механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 8
Описание файла
Файл "III.-Квантовая-механика" внутри архива находится в папке "Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах". DJVU-файл из архива "Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла, 8 - страница
Сумма вероятностей всех результатов есть единица: )а„( = 1. (7.8) п Справедливость формул (7.7) и (7.8) при произвольной (нормированной) функции Ф(д) эквивалентна (ср. ~3) утверждению, что произвольная функция Ф(д) может быть разложена по функциям Ф„(д).
Это значит, что функции Ф„(д) образуют полный набор нормированных и взаимно ортогональных функций. Если начальная волновая функция электрона совпадает с одной из функций Фи(ц), то, очевидно, соответствующая постоянная аи равна единице, а все остальные нулю. Другими словами, произведенное над электроном в состоянии Фи(ф измерение даст с достоверностью определенный (и-й) результат. Все эти свойства функций Фи(д) показывакэт, что они являются собственными функциями некоторой характеризующей электрон физической величины (обозначим сс у), а о рассматриваемом измерении можно говорить, как об измерении этой величины. Очень существенно, что функции Фп(п), вообще говоря, не совпадают с функциями сэ„(ц) (последние, вообще говоря, даже не взаимно ортогональны и не являются системой собственных функций какого-либо оператора).
Это обстоятельство прежде всего выражает невоспроизводимость результатов измерений в квантовой механике. Если электрон находился в состоянии Ф„®, то произведенное над ним измерение величины 7 обнаружит с достоверностью значение у„. Но после измерения электрон окажется в состоянии у„(Г7), отличном от исходного, в котором величина 7" уже вообще не имеет какого-либо определенного значения. Поэтому, произведя над электроном непосредственно вслед за первым повторное измерение, мы получили бы для у значение, не совпадающее с обнаруженным в результате первого измерения'). Для предсказания (в смысле ) Из невоспроизводимости измерений существует, однако, важное исключение- единственной величиной, измерение которой повторимо, является координата. Два измерения координаты электрона, произведенные через достаточно короткий промежуток времени, должны дать близкие значения: противное означало бы, что электрон имеет бесконечную скорость.
Математически это связано с том, что координата коммутативна с оператором энергии взаимодействия электрона и прибора, являющейся (в иерелятивистской теории) функцией только от координат. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ вычисления вероятности) результата повторного измерения при известном результате первого измерения надо от первого измерения взять волновую функцию р„(д) созданного им состояния, а от второго волновую функцию Ф„(д) того состояния, вероятность которого нас интересует. Это означает следующее. Из уравнений квантовой механики определяем волновую функцию ~р„(д, 1), которая в момент времени первого измерения равна ~р (д). Вероятность т-го результата второго измерения, произведенного в момент времени 1, дается квадратом модуля интеграла /~р„(д, ~)Ф* ® «Щ. Мы видим, что процесс измерения в квантовой механике имеет «двуликий» характер -- его роли по отношению к прошлому и будущему не совпадают.
По отношению к прошлому оно «верифицирует» вероятности различных возможных результатов, предсказываемые по состоянию, созданному предыдущим измерением. По отношению жс к будущему оно создает новое состояние (см. также ~44). В самой природе процесса измерения заложена, таким образом, глубокая необратимость. Эта необратимость имеет важное принципиальное значение. Как мы увидим в дальнейшем (суь конец ~ 18), основные уравнения квантовой механики сами по себе обладают симметрией по отношению к измененгпо знака времени; в этом отношении квантовая механика не отличается от классической.
Необратимость же процесса измерения вносит в квантовые явления физическую неэквивалентность обоих направлений времени, т.е, приводит к появлению различия межлу будущим и прошед1пиуь ГЛАВА П ЭНГРГИЯ И ИМП'УЛЬС 8 8. Гамильтониан Волновая функция Ф полностью определяет состояние физической системы в квантовой механикс. Это означает, что задание этой функции в некоторый момент времени не только описывает все свойства системы в этот момент, но определяет ее поведение также и во все будущие моменты времени конечно, лишь с той степенью полноты, которая вообще допускается квантовой механикой.
Математически это обстоятельство выражается тем, что значение производной дФ/дР от волновой функции по времени в каждый данный момент времени должно определяться значением самой функции Ф в тот жс момент., причем зависимость эта должна быть, согласно принципу супсрпозиции, линейной. В наиболсс общем виде можно написать гб — = ЙФ, (8.1) д1 где Й вЂ” некоторый линейный оператор; множитель 16 введен здесь с цельк>, которая выяснится ниже.
Поскольку интеграл ) Ф*Ф де есть постоянная, не зависящая от времени величина, то имеем — ~Ф~~сЩ = Фг1д+ Ф* — Йд = О. Подставив сюда (8.1) и применив в первом интеграле определение транспонированного оператора, получим (опустив общий множитель г/6): Г ФО*Ф* йд — Ф*ОФ йд = Ф" Й*Ф й1 — Ф*ЙФ й1 = Ф*(й* — Й)Ф Ц = б. Поскольку это равенство должно выполняться для произвольной функции Ф, то отсюда следует, что должно быть тождественно Й+ = Й, т.
е. оператор Й эрмитов. диФФБРенциРОВАние ОпеРАРОРОВ пО ВРемени Выясним, какой физической величине он соответствует. Для этого воспользуемся предельным выражением волновой функции (6.1) и запишем дФ лдпя — = — — ле дл а дл (медленно меняющуюся амплитуду а можно не дифференцировать). Сравнив это равенство с определением (8.1), мы видим, что в предельном случае оператор Й сводится к простому умножению на величину — дд/д~. Это значит, что последняя и есть та физическая величина, в которую переходит эрмитов оператор Й.
Но производная — до/д1 есть не что иное, как функция Гамильтона Н механической системы. Таким образом, Й есть оператор, соответствующий в квантовой механике функции Гамильтона. Его называют г мильтоновым оператором или, короче, гамильтонианом системы. Если вид гамильтониана известен, то уравнение (8.1) определяет волновые функции данной физической сллстемы. Это основное уравнение квантовой механики называется волновым уравнением. з 9.
Дифференцирование операторов по времени Понятие о производной физической величины по времени не может быть определено в квантовой механике в том смысле, какой оно имеет в классической механике. Действительно, о~лределение производной в классической механике связано с рассмотрением значений величины в два близких, но различных момента времени. Но в квантовой механике величина, имеющая в некоторый момент времени определенное значение, не имеет в следующие моменты вообще никакого определенного значения; подробнее об этом шла речь в ~ 1. Поэтому понятие производной по времени должно быть определено в квантовой механике иным образом. Естественно определить производную 1 от величины 1 как величину, среднее значение которой равно производной по времени от среднего значения г".
Таким образом, имеем, по определению, (9. Ц Исходя из этого определения, нетрудно получить выражение для квантовомеханического оператора 1, соответствующего гл. и энеРГия и импульс величине у: .ж=~= — „', Ф*уФ ~Ч= Ф* — ~ФГ1у+ уФГ1д+ ( Ф*у — с1о. дс 1 дс / д, Здесь д~/дс есть оператор, получающийся дифференцированием оператора 1' по времени, от которого последний может зависеть, как от параметра. Подставляя для производных дФ/дс, дФ*/дг их выражения согласно (8.1), получим Ф* — '~ Ф Г1д+ — 1(Й*Ф*ДФ Г1д — — / Ф*ЯЙФ) с1у.
/ де ' Й,1 6, Поскольку оператор Й эрмитов, то Г (Й*Ф*) 1~Ф) ~д = Ф*ЙЯ д,.1; таким образом имеем у=) т ( ~„ЙУ ГЙ)Фюзи. Поскольку, с другой стороны, должно быть, по определению средних значений, у = ) Ф*уФсй1, то отсюда видно, что выра- жение стоящее в скобках под интегралом, представляет собой искомый оператор у '): ~ = — + -'1Й~ — ~Й). ) В классической механике имеем для полной производной по времени от величины 1, являющейся функцией обобщенных координат Ф и импуль- дН .
дН Подставляя, согласно уравнениям Гамильтона, ей = - —, р, = — — —, полу- ~Н, Я есть так называемая скобка Пуассона для величин у" и Н ~с Сравнив с выражением (9.2), мы видим, что при переходе к классическому пределу оператор з(Й~ — ~Й) в первом приближении обращается, как и следовало, в нуль, а в следующем (по 6) приближении — в величину ГЧН, у1. стАпиОнАРныв ООстОяния Если оператор 1 не зависит от времени явно, то у сводится, с точностью до множителя, .к коммутатору оператора у' с гамильтонианом. Очень важной категорией физических величин являются те, операторы которых не зависят явно от времени и, кроме того, коммутативны с гамильтонианом, так что у = О. Такие величины называют сохраняющимися. Для них у = у = О, т, е, у = сопв1.
Другими словами, среднее значение величины остается постоянным во времени. Можно также утверждать, что если в данном состоянии величина 1 имеет определенное значение (т. е. волновая функция является собственной функцией оператора 1), то и в дальнейшие моменты времени она будет иметь определенное-- то же самое-- значение. я 10. Стационарные состояния Гамильтониан замкнутой системы (а также систевгы, находящейся в постоянном но не в переменном внешнем поле) не может содержать времени явно. Это следует из того, что по отношению к такой физической системе все моменты времени эквивалентны.
Поскольку, с другой стороны, всякий оператор, конечно, коммутативен сам с собой, то мы приходим к выводу, что у систем, не находящихся в переменном внешнем поле, функция Гамильтона сохраняется. Как известно, сохраняющаяся функция Гамильтона называется энергией. Смысл закона сохранения энергии в квантовой механике состоит в том, что если в данном состоянии энергия имеет определенное значение, то это значение остается постоянным во времени. Состояния, в которых энергия имеет определенные значения, называкзтся стационарными, состояниями системы.
Они описываются волновыми функциями Ф„, являющимися собственными функциями оператора Гамильтона, т.е. удовлетворяющими уравнению ЙФ„= Е„Ф„, где Е„собственные значения энергии. Соответственно этому, волновое уравнение (8.1) для Этот результат справедлив и для любых двух величин у и л: оператор г(Я вЂ” д~Д в пределе переходит в величину 6[У, к], где ~У, к) есть скобка Пуас(бх аУ йх аУ) Это следует из того, что мы всегда можем формально представить себе систему, гамильтониан которой совпадает с й.