III.-Квантовая-механика (1109680), страница 5
Текст из файла (страница 5)
и (3.7) Запишем 7 в виде выражения, которое содержало бы не козффициенты разложения функции Ф, а самую эту функцию. Поскольку в (3.7) входят произведения а„а„*, то ясно, что искомое выражение должно быть билинейным по Ф и Ф*. Введем некоторый математический оператор, который мы обозначим как ут'), и определим следуюгцим образом. Пусть (у'Ф) обозначает результат воздействия оператора у на функцию Ф.
Мгя определим у' так, чтобы интеграл от произведения (7'Ф) на комплексно сопряженную функцию Ф* был равен среднему значению у; 7 = Ф*(УФ) дд. (3.8) Легко видеть, что в общем случае оператор у представляет собой некоторый линейный') интегральный оператор. Действительно, воспользовавшись выражением (3.5) для а„, мы можем переписать определение (3.7) среднего значения в виде г=т ь.„'„=~с (Е г„е„)з,. и п Сравнивая с (3.8), мы видим, что результат воздействия оператора 7' на функцию Ф имеет вид (7Ф) = ~~~ а„у'„Ф„.
(3.9) Если подставить сюда выражение (3.5) для а„, то мы найдем, что у есть интегральный оператор вида (Й) = Кй, Ч') ФЮ М, (3.10) где функция К(9, д ) (так называемое ядро оператора) К(о, д') = ~ ~„Ф„'(9')Ф„(9). есть (3 11) ') Мы условимся обозначать везде операторы буквами со шляпкой.
2 ) Линейным называется оператор, обладающий свойствами: т(Ф1.Т Фз) = — У'Р1 -~- УФю Да'е') = а11Р, где е'ы Фз — произвольные функции, а а— произвольная постоянная. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МВХАНИКИ ГЛ ! Таким образом, каждой физической величине в квантовой механике приводится в соответствие определенный линейный оператор.
Из (3.9) видно, что если функцией Ф является одна из собственных функций Ф„(так что все а„, кроме одного, равны нулю), то в результате воздействия на нее оператора Г эта функция просто умножается на собственное значение 1„'): УФ„= )'„Ф„. (3.12) Таким образом, собственные функции данной физической величины 1 являются решениями уравнения где )'-" постоянная, а собственные значения -- это те значения постоянной у, при которых написанное уравнение имеет решения, удовлетворяющие требуемым условиям. Как мы увидим ниже, вид операторов для различных физических величин может быть определен из прямых физических соображений, и тогда указанное свойство операторов дает возможность находить собственные функции и собственные значения посредством решения уравнений )ТФ = 1Ф. Как собственные значения вещсственной физической величины, так и сс средние значения во всяком состоянии вещественны.
Это обстоятельство накладывает определенное ограничение на свойства соответствующих операторов. Приравняв выражение (3.8) комплексно ему сопряженному, получим соотношение Ф*()ТФ) дд = Ф(~*Ф*) дд, где ~* обозначаст оператор, комплексно сопряженный с )') . Для произвольного линейного оператора такое соотношение, вообще говоря, не имеет места, так что оно представляет собой некоторое ограничение, накладываемое на возможный вид операторов у. Для произвольного оператора у' можно указать, как говорят, транспонироеанный с ним оператор ~, определяемый ') Ниже мы будем везде, где зто не может привести к недоразумению, опускать скобки в выражении для фР), причем оператор предполагается действующим на написанное вслед за ним выражение.
3 ) По определению, если для оператора у' имеем Я =- Зг, то комплексно сопряженным оператором ~" будет оператор, для которого имеет место у* д =~д" 27 ОПЕРАТОРЫ так, чтобы Ф(7Ф) дд = Ф(7Ф) г1д, (3.14) где Ф, Ф --две различные функции. Если выбрать в качестве функции Ф сопряженную с Ф функцию Ф', то сравнение с (3.13) показывает, что должно быть (3.15) С другой стороны, имеем (У)* = Ф*РЪ с)д = Ф,ГФ* с)д = Ф*~*Ф дц. Приравняв оба выражения, найдем, что (3.16) откуда ясно,что ~+, вообще говоря,не совпадает с ~*.
Условие (3.15) можно написать теперь в виде (3.17) ') Для линейного интегрального оператора вида (3.10) условие эрмитовости означает, что ядро оператора должно быть таким, чтобы 7С(Ч, й') =- = к*(д', д). Операторы, удовлетворяющие этому условию, называют эрмипгоевьмп') . Таким образом, операторы, соответствующие в математическом аппарате квантовой механики вещественным физическим величинам, должны быть эрмитовыми. Формально можно рассматривать также и комплексные физические величины, т.е, величины, собственные значения которых комплексны. Пусть 1 есть такая величина.
Тогда можно ввести комплексно сопряженную с ней величину 7"*, собственные значения которой комплексно сопряжены с собственными значениями 7". Оператор, соответствующий величине 7'*, обозначим через 1 . Его называют сопряженным оператору )т и его необходимо, вообще говоря, отличать от комплексно сопряженного оператора 1*.
Действительно, по определению оператора Г'~, среднее значение величины 7* в некотором состоянии Ф есть 28 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МВХАНИКИ ГЛ ! т.е. оператор вещественной физической величины совпадает со своим сопряженным (эрмитовы операторы называют также са- МОСОПРЛжЕННЫМВ).
Покажем., каким образом можно непосредственно доказать взаимную ортогональность собственных функций эрмитова опе- ратора, соответствующих различным собственным значениям. Пусть ~„, ~ — два различных собственных значения веществен- ной величины г", а Ф„, Ф соответствующие им собственные функции: ~Ф„= г"„Ф„, ~Ф = ~ Ф Умножив обе части первого из этих равенств на Ф*, а равенство, комплексно сопряженное второму, на Ф„н, вычтя эти произ- ведения почленно друг из друга, получим Ф* 7Ԅ— Ф„~*Ф* = (~„— г' )Ф„Ф* . Проинтегрируем обе части этого равенства по Щ Поскольку ~* = ~, то в силу (3.14) интеграл от левой части равенства обра- щается в нуль, так что получим ӄ— У„) Ф„Ф„* Ц= О, откуда, ввиду ~„ у= ~ , следует искомое свойство ортогонально- сти функций Ф„и Ф Мы все время говорим здесь только об одной физической величине г", между тем как следовало бы говорить, как было отмечено в начале параграфа, о полной системе одновременно измеримых физических величин.
Тогда мы нашли бы, что каж- дой из этих величин Г, я, ...соответствует свой оператор ... Собственные функции Ф„соответствуют состояниям, в которых все рассматриваемые величины имеют определенные значения, т.е. соответствуют определенным наборам собствен- ных значений у„, В„, ... и являются совместными решениями системы уравненллй ~Ф = ~Ф, ИФ = ИФ,...
я 4. Сложение и умножение операторов Если ~ и я- операторы, отвечающие двум физическим величинам ~ и я, то сумме г + д отвечает оператор г' + я. Смысл сложения различных физических величин в квантовой механике, однако, существенно различен в зависимости от того, измеримы ли эти величины одновременно или нет. Если величины ~ и я СЛОЖЕНИЕ И УМНО'КЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ одновременно измеримы, то операторы (т и я имеют совместные собственные функции, которые являются в то же время и собственными функциями оператора ГО+ д, а собственные значения последнего оператора равны суммам ~„+ я„. Если же величины Г' и я не могут иметь одновременно определенных значений, то смысл их суммы ('+ я более ограничен.
Можно лип|ь утверждать, что среднее значение этой величины в произвольном состоянии равно сумме средних значений каждого из слагаемых в отдельности; У+а=У+К (4.1) Что же касается собственных значений и функций оператора г" + д, то здесь они, вообще говоря, не будут иметь никакого отношения к собственным значениям и функциям величин 1 и я. Очевидно, что если операторы г и д — эрмитовы, то эрмитовым будет и оператор 1" + я, так что его собственные значения.
- вещественны и представляют собой собственные значения определенной таким образом новой величины г" + д. Отметим следующую теорему. Пусть (о, яо — наименыпис собственные значения величин (', я, а (г" + я)о тоже для величины 1 + я. Тогда можно утверждать, что (У+ К)о > Уо+ йь (4.2) Знак равенства имеет место, если величины Г и д одновременно измеримы. Доказательство следует из очевидного факта, что среднее значение величины во всяком случае болыпе или равно ее наименьшему собственному значению.
В состоянии, в котором величина ((+д) имеет значение (1+д)о, имеем (( + д) = ((+д)о и поскольку, с другой стороны, (1 + я) = ~+ф > Д+д>, мы приходим к неравенству (4.2). Пусть теперь снова 1 и я одновременно измеримые величины. Наряду с их суммой можно ввести понятие и об их произведении как о величине, собственные значения которой равны произведениям собственных значений величин г' и я. Легко видеть, что такой величине соответствует оператор, действие которого состоит в последовательном действии на функцию сначала одного, а затем другого оператора. Такой оператор изображается математически как произведение операторов 1 и я. Действительно, если Ф„-.- общие собственные функции операторов (т и д, то имеем ЯФ =ТЯФ)=УаФ =ПУФ =а1Ф ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МВХАНИКИ ГЛ ! (символ Я обозначает оператор, действие которого на функцию Ф заключается в последовательном действии сначала оператора д на функцию Ф, а затем оператора 1 на функцию дФ).
С тем же успехом мы могли бы взять вместо оператора Я оператор д~, отличающийся от первого порядком множителей. Очевидно,что результат воздействия обоих этих операторов на функции Ф„ будет одинаковым. Но поскольку всякая волновая функция Ф может быть представлена в виде линейной комбинации функций ФГО то отсюда следует, что одинаковым будет результат воздействия операторов Я и д ~ и на произвольную функцию. Этот факт может быть записан в виде символического равенства Я = й ~ или Я вЂ” й'~ = О. (4.3) О таких двух операторах 1 и В говорят, как о комльутативных друг с другом.
Таким образом, мы приходим к важному результату: если две величины 1 и д могут иметь одновременно определенные значения, то их операторы коммутативны друг с другом. Может быть доказана и обратная теорема (см. ~ 11): если операторы 1 и д коммутативны, то у них все собственные функции можно выбрать общими, что физически означает одновременную измерГимость соответствующих физических величин. Таким образом, коммутативность операторов является необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физических ВЕЛИЧИН. Частным случаем произведения операторов является оператор, возведенный в некоторую степень.
На основании сказанного можно сделать вывод, что собственные значения оператора ~" 1р целое число) равны собственным значениям оператора возведенным в ту же р-ю степень. Вообще, можно определить любую функцик> оператора у® как оператор, собственные значения которого равны такой же функции у(~) собственных значений оператора ~. Если функция у(1) разложима в ряд Тэйлора, то таким разложением действие оператора ~р(~) сводится к действию различных степеней ~". В частности, оператор 1 ~ называется обратным оператору ) . Очевидно, что в результате последовательного воздействия операторов 1 и 1 на произвольную функцию последняя остается неизменной, т.е. О = 1 1" = 1. сложение и умножение ОпеРАРОРОВ Если же величины у и д не измеримы одновременно, то понятие их произведения не имеет указанного вып|е прямого смысла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
