III.-Квантовая-механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 10

(1) (11. 7) или (сокРащаЯ с обеих стоРон вРеменной множитель ехР1и ~ит~)) для не зависящих от времени матричных элементов: ®„= Ы„у"„= — (ń— Е )у"„. (11.8) В целях упрощения обозначений в формулах мы выводим ниже все соотношения для не зависящих от времени матричных элементов; в точности такие же соотношения имеют место и для зависящих от времени гнатриц.

Для матричных элементов комплексно сопряженной с 1 величины у* с учетом определения сопряженного оператора получим (У')ит = Фп1 Фт С)Г) = Фп1*4т С~у = Фт)'*Фп Г)Г)~ т, е. (11. 9) У*)пт = (Утп)* В связи с неопределенностью фазового множителя в нормированных волновых функциях (сьь "з 2) матричные элементы 1„(и У„,„ф) тоже опреДелены лигль с точностью До множителей вида ехРГЦо — оп)].

И зДесь эта неопределенность не отражается на физических результатах. 53 мптпипы Ип = ~1тпФт (11. 11) Это есть не что иное, как разложение функции Я„по функциям у1 с коэффициентами, определяемыми согласно общему правилу (3.5). Имея в виду эту формулу, запишем для результата воздействия на функцию 1р„произведения двух операторов: Ь)'и = Й,аФп) = 7~ аЫФЬ = ~ аЬ Ъи = ~ а п1, АФ .

ь ь п,т Поскольку, с другой стороны, должно быть 1ДФп = ~~~„(И)тпФт, т то мы приходим к результату, что матричные элементы произведения Я определяются формулой О~) ° =у 1 ь~ьп (11.12) ь Это правило совпадает с принятым в математике правилом перемножения матриц: строки первой в произведении матрицы перемножаются со столбцами второй.

Задание матрицы эквивалентно заданию самого оператора. В частности, оно позволяет в принципе определить собственные значения данной физической величины и соответствующие им собственные функции. Будем рассматривать значения всех величин в некоторый определенный момент времени и разложим произвольную волновую функцию 1Р (в этот момент времени) по собственным функциям гамильтониана, .т. с. по не зависящим от времени волновым функциям 111 стационарных состояний: Ф=~~ С 1)1 (11 13) 1П Для вещественных физических величин, которые мы обычно только и рассматриваем, .имеем, следовательно, (11.10) (~,*„„стоит вместо (~1„п)'), такие матрицы, как и соответствую1цие им операторы, называют эрмитоеыА1и.

Матричные элементы с п = т называют диагональными. Эти элементы вообще не зависят от времени, а из (11.10) ясно, что они вещественны. Элемент 1„п пРедставлнет собой сРеднее значение величины 1 в состоянии 1)1„. Нетрудно получить правило умножения матриц. Для этого заметим предварительно, что имеет место формула 54 ГЛ. П ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЪС где коэффициенты разложения обозначены через с . Подставим это разложение в уравнение ~'зг = 11е, определяющее собственные значения и собственные функции величины 1.

Имеем Умножим это уравнение с обеих сторон на ф* и проинтегрируем по дд. Каждый из интегралов ) г)1„*Щ~ 16) в левой части равенства есть соответствукущий матричный элемент ~вю. В правой же части все интегралы ) грвфюс1д с т ф и исчезают в силу ортогональности функций гр, а ) у),*,у)„141) = 1 в силу их нормировки '); (11.14) или (1пгп 1бппг)ст = О~ т где /О, пфпг, '11, п=т.

Таким образом, мы получили систему алгебраических однородных уравнений первой степени (с неизвестными с ). Как известно, такая система обладает отличными от нуля решениями липгь при условии обращения в нуль определителя, составленного из коэффициентов в уравнениях, т. е, при условии (11.15) )~пю — 1б„ ! = О. Корни этого уравнения (в котором 1 рассматривается как неизвестное) и представляют собой возможные значения величины 1. Совокупность же величин с, удовлетворяющих уравнениям (11.14) с 1, равным какому-либо из этих значений, определяет соответствующую собственную функцию.

) В соответствии с общим правилом 11 5) совокупность коэффициентов с„ разложения (11.13) можно рассматривать как волновую функцию в «энергетическом представлении» (причеу1переменной является индекс п,нумерующий собственные значения энергии). Матрица же 1"„играет при этом роль оператора 1 в этом представлении, действие которого на волновую функцию определяется выражением в левой части уравнения 111.14). Формула 7 = ~ ~" с' (1'„с,„) соответствует тогда общему выражению среднего значения величины через ее оператор и волновую функцию данного состояния.

МАТРИЦЫ Если в определении (11.5) матричных элементов величины 1 взять в качестве ~„собственные функции этой же величины, то в силУ УРавнениЯ Яп = 1пггп бУДеы иметь опт = Фп1Фт г1Ч = ~~п Фига г1г1 Ввиду ортогональности и нормировки функций ф это дает = О при п ~ т и Зтгп = 1'т.

Таким образом, оказываются отличными от нуля только диагональные матричные элементы, причем каждый из них равен соответствующему собственному значению величины 1; о матрице, у которой отличны от нуля лишь эти элементы, говорят, как о приведенной к диагональному виду. В частности, в обычном представлении, с волновыми функциями стационарных состояний в качестве функций фп диагональна матрица энергии (а также матрицы всех других физических величин, которые имеют в стационарных состояниях определенные значения). Вообще, о матрице величины 1, определенной с помощью собственных функций некоторого оператора д, говорят, как о матрице 1 в представлении, в котором д диагонально.

Везде, где это не оговорено особо, под матрицей физической величины мы будем в дальнейшем понимать матрипу в обычном представлении, в котором диагональна энергия. Все, что сказано выше о зависимости матриц от времени, относится, разумеется, только к этому обычному представлению') . С помогцью матричного представления операторов можно доказать упомянутую в 84 теорему: если два оператора коммутативны друг с другом, то они обладают общей полной системой собственных функций. Пусть 1 и д будут двумя такими операторами. Из Я = д~ и правила умножения матриц (11.12) следует,что 1тп.опйп = ~~~ опта Бп и и Взяв в качестве системы функций у1п, с помощью которых вычисляются матричные элементы, собственные функции оператора ~, будем иметь г" ь = О при т ф й, так что написанное равенство сведется к равенству ~т,„д' „ = д пзп„ или а (1 — У) =О.

Если все собственные значения 1„величины 1 различны, то при всех т ~ п имеем 1" — 1п ~ О, так что должно быть д „= О. ') Имея в виду диагоншгьность матрицы энергии, легко убедиться в том, что равенство (11.8) есть написанное в матричном виде операторное соотношение (9.2). 56 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЪС ГЛ. П Таким образом, матрица я „тоже оказывается диагональной, т.с. функции г>>„являются собственными функциями также и физической величины а.

Если жс среди значений 7'„есть одинаковыс (т.с, если есть такие собственные значения, которым соответствуют по нескольку различных собственных функций), то соответствующие каждой такой группе функций д>„матричные элементы а; „окажутся, вообще говоря, отличными от нуля. Однако линейные комбинации функций ~а, соответствук>щих одному собственному значению величины у, тоже являя>тся ее собственными функциями; можно всегда выбрать эти комбинации таким образом, чтобы обратить в нуль соответствующие нсдиагональные матричные элементы я „, и, таким образом, мы и в этом случае получим систему функций, являющихся собственными функциями одновременно для операторов у и я.

Отметим полезную в приложениях формулу (дЛ)па дЛ (11.16) где Л .. некоторый параметр, от которого зависит гамильтони- ан Й (а с ним и собственныс значения энергии Е„). Действи- тельно, продифференцировав уравнение (Й вЂ” Е„)г>>„= 0 по Л и затем умножив его слева на г>>„*, получим При интегрировании по 11д левая часть этого равенства обраща- ется в нуль, поскольку „~- (й Е )М,1д д4"*(Й Е )э,г*,1д (г>фт).

111.17) Этот символ построен так, что его можно рассматривать как «составленный» из обозначения величины у и символов ~т) и ) Мы будем пользоваться в этой книге обоими способами обозначения матричных элементов. Обозначение (11.17) в особенности удобно, когда каждый из индексов надо писать в виде совокупности нескольких букв. ввиду эрмитовости оператора Й. Правая жс часть дает искомое равенство. В современной литературе широко применяется система обозначений (введенная Дираком), в которой матричные элементы 7ав> записываются как') 57 112 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦ ~п), обозначающих соответственно начальное и конечное состояния как таковые (вне зависимости от того, в каком представлении используются волновыс функции состояний). С помощью этих же символов «составляютсяь обозначения для коэфициентов разложения волновых функций: если мы имеем полный набор волновых функций, отвечающих состояниям ~п~), ~пз), ..., то коэффициенты разложения по ним волновой функции некоторого состояния ~ш) обозначаются как (п,~т): (п,~ш) = ф„ф Й7.