III.-Квантовая-механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 9

48 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЪС ГЛ. И функции Ф„ гб " = ЙФ„= Е„Ф„ д1 может бьггь непосредственно проинтегрировано по времени и дает Ф„= ехр( — — Еи1) Ф„®, 110.1) где 1ли -- функция только координат. Этим определяется зависимость волновых функций стационарных состояний от времени. Малой буквой 1д мы будем обозначать волновыс функции стационарных состояний без временного множителя. Эти функции, а также сами собственные значсния энергии, определяются уравЙ4 = еф. 110.2) Стационарное состояние с наименьшим из всех возможных значением энергии называется нормальным или основным состоянием системы.

Разложение произвольной волновой функции Ф по волновым функциям стационарных состояний имеет вид Ф = ~ аи ехр(--'Е ф)Ф„(11). (10.3) п Квадраты ~пи ~2 коэффициентов разложения, как обычно, определяют вероятности различных значений энергии системы. Распределение вероятностей для координат в стационарном состоянии определяется квадратом (Ф„) = )Ф„); мы видим, что оно не зависит от времени. То же самое относится и к средним значениЯм 1 = ) Ф„*1ФН 11Ц = ) 1д'Яи Й1 всЯкой физической величины 1 1оператор которой не зависит от времени явно).

Как указывалось, оператор всякой сохраняющейся величины коммутативен с гамильтонианом. Это значит, что всякая сохраняющаяся физическая величина может быть измерена одновременно с энергией. Среди различных стационарных состояний могут быть и такие, которые соответствуют одному и тому же собственному значению энергии (или, как говорят, энергетическому уровню системы), отличаясь значениями каких-либо других физичсских величин. О таких уровнях, которым соответствует по нескольку различных стационарных состояний, говорят как о вырожденных. Физически возможность существования вырожденных уровней связана с тем, что энергия, вообще говоря, не составляет сама по себе полной системы физических величин.

Оть пионьгныв ОООРОяния Уровни энергии системы, вообще говоря, вырождены, если имеются две сохраняющиеся физические величины у и д, операторы которых некоммутативны. Действительно, пусть гр есть волновая функция стационарного состояния, в котором, наряду с энергией, имеет определенное значение величина у. Тогда можно утверждать, что функция д~ не совпадает (с точностью до постоянного множителя) с г); противное означало бы, что имеет определенное значение также и величина и, что невозможно, так как )с и я не могут быть измерены одновременно. С другой стороны, функция Е~ есть собственная функция гамильтониана, соответствующая тому же значению Е энергии, что и ф: Таким образом, мы видим, что энергии Е соответствуют более чем одна собственная функция, т.

е. уровень вырожден. Ясно, что любая линейная комбинация волновых функций, соответствующих одному и тому же вырожденному уровнкз энергии, есть тоже собственная функция того же значения энергии. Другими словами, выбор собственных функций вырожденного значения энергии неоднозначен. Произвольно выбранные собственные функпии вырожденного уровня, вообще говоря, не взаимно ортогональны. Надлежащим подбором их линейных комбинаций можно, однако, всегда получить набор взаимно ортогональных (и нормированных) собственных функций ') . Эти утверждения относительно собственных функций вырожденного уровня относятся, разумеется, не только к собственным функциям энергии, но и к собственным функциям всякого оператора.

Автоматически ортогональными являются лищь функпии, соответствующие различным собственным значениям данного оператора; функции же, соответствующие одному и тому же вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогональны. Если гамильтониан системы представляет собой сумму двух (или нескольких) частей, Й = Й + Й2, одна из которых содержит только координаты Оы а другая.-. координаты д2, то собственные функции оператора Й могут быть написаны в виде произведений собственных функций операторов Й1 и Й2, а собственные значенгля энергии равны суммам собственных значений этих операторов.

) Причем это может быть сделано бесчисленным множеством способов; действительно, число независимых коэффициентов в линейном преобразовании о функций равно и, а число условий нормировки и ортогональности и функций равно п~о т 1)/2, т. е. меньше пз. 50 ГЛ. И ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЪС Спектр собственных значений энергии может быть как дискретным, так и непрерывным.

Стационарное состояние дискретного спектра всегда соответствует финишному движению системы, т. е, движению, при котором система или какая-либо ее часть не уходит на бесконечность. Действительно, для собственных функций дискретного спектра интеграл ) ~Ф~ дд, взятый по всему пространству, конечен. Это, во всяком случае, означает, что квадрат ~ Ф ~ в достаточно быстро убывает, обращаясь на бесконечности в нуль.

Другими словами, вероятность бесконечных значений координат равна нулю, т. е. система совершает финитнос движение или, как говорят, находится в связанном состоянии. Для волновых функций непрерывного спектра интеграл ) ~Ф~~ дд расходится. Квадрат волновой функции ~Ф~~ не определяет здесь непосредственно вероятности различных значений координат и должен рассматриваться лишь как величина, пропорциональная этой вероятности. Расходимость интеграла / )Ф)2 с>1у всегда бывает связана с тем, что (Ф(2 не обращается на бесконечности в нуль (или обращается в нуль недостаточно быстро). Поэтому можно утвер>кдатьн что интеграл ) ~Ф~2ац, взятый по области пространства, внешней по отношению к лк>- бой сколь угодно болыпой, но конечной замкнутой поверхности, будет все же расходиться.

Это значит, что в рассматриваемом состоянии система (или какая-либо ее гасть) находится на бесконечности. Для волновой функции, представляющей собой суперпозицию волновых функций различных стационарных состояний непрерывного спектра, интеграл ) ~Ф~ дд может оказаться сходящимся, так что система находится в конечной области пространства. Однако с течением времени эта область будет неограниченно смещаться,и в конце концов система уходит на бесконечность. Действительно, произвольная суперпозиция волновых функций непрерывного спектра имеет вид Квадрат модуля Ф может быть написан в виде двойного инте- грала Если усреднить это выражение по некоторому промежутку времени Т и затем устремить Т к бесконечности, то средние значения осциллирующих множителей ехр~г(Е' — ЕЯБ), а с ними 51 МАТРИ11Ы и весь интеграл обратятся в пределе в нуль.

Другими словами, среднее по времени значение вероятности нахождения системы в любом заданном месте конфигурационного пространства обращается в нуль; но это возможно только, если движение происходит во всем бесконечном пространстве ') . Таким образом, стационарные состояния непрерывного спектра соответствуют инфинитному движению системы. я 11. Матрицы Предположим для удобства, что рассматриваемая система обладает дискретным энергетическим спектром (все получаемые ниже соотношения непосредственным образом обобщаются и на слУчай непРеРывного спектРа). ПУсть Ф = 2 паап есть Разложение произвольной волновой функции по волновым функциям Фп стационарных состояний.

Есни подставить это разложение в определение (3.8) среднего значения некоторой величины Г", то получим а„а Г„(1), (11. Ц п т где у'„(~) обозначают интегралы (11.2) Совокупность величин Г„(г) со всеми возможными и, т называют матрицей величины ), а о каждом из Г„(1) говорят как о матричном элементе, соответствующем переходу из состояния т в состояние и ') . ЗаВИСИМОСтЬ МатРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Гпт(1) От ВРЕМЕИИ ОПРЕ- деляется (если оператор Г' не содержит 1 явно) зависимостью от вРемени фУнкЦий 1Рп. ПоДставлЯЯ ДлЯ них выРажениЯ (10.1), ) Заметим, что для функции Ф, представляющей собой суперпозицию функций дискретного спектра, было бы /Ф~' = ~~ а е* ехР— (ń— Е )1)4„1У' = 2 /а„1)1е(У)/з, 16 т. е.плотиость вероятности остается при усреднении по времеви коисчпой.

) Матричное представление физических величин было введено Гейзенбергом (И', Негвепбегу) в 1925 г., еще до открытия Шредннгером волнового уравнения. «Матричиая мехаиикаь была затем развита Борном, Ге "зенбергом и Иорданом (М. Вогп, Р. Хот4ап). гл.

и энеРГия и импульс найдем,что 1Г) = 7'„е* ""', (11.3) где (11.4) 6 есть частота перехода между состояниями п и пт, а величины (11. 5) 7ит = РиК~и ГГЧ составляют не зависящую от времени матрипу величины 7, кот торой обычно и приходится пользоваться ) . Матричные элементы производной 1 получаются дифференцированием по времени матричных элементов величины 7, это следует непосредственно из того,что (11.6) п т Ввиду 111.3) имеем, таким образом, для матричных элементов 7": А (1) =1. У.