III.-Квантовая-механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 11

(11. 18) й 12. Преобразование матриц Матричные элементы одной и той же физической величины могут определяться по отношению к различным совокупностям волновых функций. Это могут быть, например, волновые функции стационарных состоянии, описывающнхся различными наборами физических величин, или волновые функции стационарных состояний одной и той же системы, находящейся в различных внешних полях. В связи с этим возникает вопрос о преобразовании матриц от одного представления к другому. Пусть ф„(д) и ф„'(д) (и = 1, 2,... ) две полные системы ортонормированных функций.

Они связаны друг с другом некоторым линейным преобразованием Ф~ = ~Я~ВФ~., т (12.1) представляющим собой просто разложение функций ф„' по полной системе функций ф„. Это преобркзование можно записать в операторном виде Ф.' = Ь. (12.2) Оператор У должен удовлетворять определенному условию, для того чтобы обеспечить ортонормированность функций ф„', если таковыми являются функции ц'„. Действительно, подставив (12.2) в условие ) ф,'„*~„'дд = б „и учитывая определение транспонированного опоратора (3.14), получим 58 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЪО ГЛ. и Для того чтобы это равенство имело место при всех Гп, и, должно быть о*о = 1, или 2* = У Р = У-', (12.3) т.е.

обратный оператор совпадает с сопряженным. Операторы, обладающие таким свойством, называют унитарными. В силу этого свойства преобразование ф„= о 1ц)„', обратное преобразованию (12.1), дается формулой (12.4) Написав равенства зз з = 1 или Ыа = 1 в матричном виде, получим условия унитарности в ниде ~ ~Бпла = 5тп (12.5) или ,8*ф„1 = 5 „. (12.6) Рассмотрим теперь какую-либо физическую величину 1 и напишем ее матричные элементы в «новом» представлении, т.

е. по отношению к функциям ~„'. Они дак>тся интегралами Г 4* ы. '4ч = Р*Р* Я Ы ) А = Ф*~*1Н 57= Ф.*Я ЛФ й). Отсюда видно, что матрица оператора 1 в новом представлении совпадает с матрицей оператора (12.7) в старом представлении') . ) Если (1', й) = — »йс есть правило коммутации двух операторов 7 и е, то после преобразования (12.7) получим 17", д') = — 1Ь:, т. е.

правило остается прежним. В примеч. на с. 46 было отмечено, что с есть квантовый аналог классической скобки Пуассона )1,6). Но в классической механнке скобки Пуассона инвариантны по отношению к каноническим преобразованиям переменных (обобщенных координат и импульсов) см. 1, 545. В этом смысле можно сказать, что унитарные преобразования в квантовой механике играют роль, аналогичную роли канонических преобразований в классической механике.

59 212 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦ Сумму диагональных элеъгентов матрицы называют ее следом и обозначают как Яр у" '): Ври = ~~,А ' в (12. 8) Отметим прежде всего, что след произведения двух матриц не зависит от порядка множителей 8р(Ы = 8р(8У). (12.9) Действительно, по правилу умножения матриц имеем 8р(Ж =~~1 йи = ~~',~~',ай з' й =8р(кй. Аналогичным образом легко убедиться в том, что для произведения нескольких матриц след не меняется при циклической перестановке множителей: так, Яр(ЯЬ) = Яр(ЬЯ) = Яр(86(). (12.10) Важнейшим свойством следа является его независимость от выбора системы функций, по отношению к которым определяются матричные элементы. Действительно, Яру"' = 8р(Я '18) = Ър(88' 'Я = Яру". (12.11) Отметим также, что унитарное преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов модулей преобразуемых функций.

Действительно, учитывая (12.6), имеем ~,з~~(~2 з)з О й ООА (; ~~ (,~5 ~~~ ~2 г йдг йз й Всякий унитарный оператор можно представить в виде (12.13) где А -. эрмитов оператор; действительно, из А+ = А следует, что яй -1йт -1А ~-1 Отметим разложение ~ = У- ~У= ~+(~,гА~+-(1~,2Л),ЗА1+..., (12.14) ') От немецкого слова Бриг — след. Используется также обозначение Тг от английского Стасе. Разумеется, рассмотрение следа матрицы предполагает сходимость суммы по п. бо ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЪС ГЛ. И в котором легко убедиться прямой проверкой путем разложения множителей ехр(~1Й) по степеням оператора Й.

Это разложение может оказаться полезным, когда Й пропорционален малому параметру, так что (12.14) становится разложением по степеням этого параметра. й 13. Гейзенберговское представление операторов В излагаемом математическом аппарате квантовой механики операторы, соответствующие разли шым физическим величинам, действулот на функции координат и сами по себе явной зависимости от времени обычно не содержат.

Зависимость средних значений физических величин от времени возникает лишь через временную зависимость волновой функции состояния согласно формуле 1'(~) = Ф*(д,1ДФ(д,~) 1д. (13.1) ~л)ле(д) = ехР( — Е.1),л)л ( (13,3) Отсюда следует, что разложение (10.3) произвольной волновой функции Ф по волновым функциям стационарных состояний может быть записано в операторной форме как Ф(д,1) = оФ(д10), (13.4) т.е. действие оператора Й приводит к переводу волновой функции систеллы в некоторый начальный мохлент времени в волновую функцию в произвольньпл момент времени.

Аппарат квантовой механики можно, однако, сформулировать и в несколлько другом, эквивалентном, виде, в котором зависимость от времени перенесена с волновых функций на операторы. Хотя в этой книге мы не будем пользоваться таким представлением (так называемым гейзенберговским в отличие от лнредингеровского) операторов, мы сформулируем его здесь, имея в виду дальнейшие применения в релятивистской теории. Введем унитарный (ср. (12.13)) оператор Й = ехр( — — ЙГ), (13.2) где Й-- гамильтониан системы. По определению, его собственные функции совпадают с собственными функциями оператора Й, т.с. с волновыми функциями стационарных состояний 'лУ (д). причем МАТРИЦА ЦЛОТНООТИ Введя, в соответствии с (12.7), зависящий от времени оператор ~®=й- УУ, (13.5) будем иметь 7И) = р*(ч, ОВяМч, 0) дъ (13.6) т.е.

представим формулу для среднего значения величины 7 (являющуюся определением операторов) в виде, в котором зависимость от времени полностью перенесена на оператор. Очевидно, что матричные элементы оператора (13.5), по отношении> к волновым функциям стационарных состояний совпадают с зависящими от времени матричными элементами 7„(г), определяемыми формулой (11.3). Наконец, продифференцировав выражение (13.5) по времени (предполагая при этом сами операторы 7ти й не содержащими 8), получим уравнение —,7'(1) = -'~йУ(~) — Я1)й) д~ Й (13.7) аналогичное формуле (9.2), но иъэеющее несколько иной смысл: выражение (9.2) представляет собой определение оператора 7", соответствующего физической величине 7, между тем как в левой части уравнения (13.7) стоит производная по времени от оператора самой величины 7.

й 14. Матрица плотности Описание системы с помощью волновой функции соответствует наиболее полному возможному в квантовой механике описанию--в смысле, указанном в конце з 1. С состояниями, не допускающими такого описания, мы столкнемся, рассмотрев систему, являющуюся частью некоторой большей замкнутой системы. Предположим, что замкнутая система в целом находится в некотором состоянии, описываемом волновой функцией Ф(д,х), где х обозначает совокупность координат рассматриваемой системы, а и- остальные координаты замкнутой системы. Эта функция, вообще говоря, отнюдь не распадается на произведение функций только от х и ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЪС ГЛ.

П только от д, так что система не обладает своей волновой функцией') . Пусть у есть некоторая физическая величина, относящаяся к нашей системе. Ее оператор действует поэтому только на координаты х, но не на д. Среднее значение этой величины в рассматриваемом состоянии есть Ф*(д, х)уФ(д, х) г)де)х. (14. 1) Введем функцию р(х, х'), определяемую соотношением р(х,х') = Ф(д,х)Ф*(д,х') Йд, (14.2) р*(х, х') = р(х', х).

(14. 3) ЕДиагональные элементыь матрицы плотности р(х,х) = ~Ф(д,х)~ дд определяют распределение вероятности для координат системы. С помо1цью матрицы плотности среднее значение у можно написать в виде ( ~р(х, х')), =-, дх. (14. 4) Здесь у действует в функции р(х, х ) только на переменные х; после вычисления результата воздействия надо положить х = х. Мы видим, что, зная матрицу плотности, можно вычислить среднее значение любой величины, характеризующей систему. Отсюда следует, что с помощью р(х, х ) можно определить также и вероятности различных значений физических величин системы.