Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения

22.143 Г81 УДК 512.88 Рецензенты: член. корреспондент АН СССР профессор А. И. Кострикин кандидат физико. математических паук доцент Д. В. Беклемишев Лидия Ивановна Головина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Редакторы И. М. лелем, И. В. Морозово Техн. редактор С.

Я. Шнляр Корректоры В. В. Сидоркино, В. П. Сореннно ИБ № 12629 Печать с ыатРиц. Подписано к печати 07.0В.В6. ФоРмат В4Х!Оаг/гз. БУмага тин. № В. Гарнитура литературная. Печать высокая. Уен. кеч. и. 20,6В. Усн. кр..отт. 20,79, Уч..изд. н. 19,55. Тираж 1В000 зкз. Закез № 5!4, Пена 55 коп. Ордена Трудового Красного Знамени над»тельство «Науке» Гаван»я редакция физико-ыатеыатическоа аитерат7ры 1!707! Моска» В.7!.

Ленянскна проснект, 16 4-я типография издательства «Наука» 650077 г. Новосибирск 77, Станясаазского, 25 !О Издательство «Наука», Главная редакция физико-иатематвческоа интер»туры, 1979; с взмеиениЯМв, 1955 Г 1702030000 053(02).35 72.35 Головина Л. И. Лвиейиав алгебра и некоторые ее приломеиия! Учебиое пособие для вузов.— 4-е изд., испр.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1935.— 392 с. Основное содержание книги составляют теория определителей и краткий курс собствеиио линейной алгебры.

В качестве «приложеиий» линейной алгебры рассматриваются самые разные вопросы: дается краткое язложеиие общей теории кривых и поверхностей второго парилка, вводятся осиовяые поиятия теизориой алгебры, излагаются осиовиые понятия теории групп и элементы теории предсгавлеиий групп. В одной иэ глав кииги методы линейной алгебры примеияются к основным понятиям физики — прииципам относительности, классическому и релятивистскому. Ил. 39. Библиогр.

34 паза. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Схема зависимости глав Гл а за 1. Определители и системы линейных уравнений $1. Системы уравнений с двумя и тремя неизвестными 2. Перестановки и транспозиции. Определитель л-го порядка 3. Свойства определителей $ 4. Миноры и алгебраические дополнения $ 6. Разложение определителя по элементам строки или столбца 6. Системы л линейных уравнений с п неизвестными 7. Ранг матрицы $ 8. Понятие о линейной зависимости $ 9. Произвольные системы линейных уравнений $10. Однородные системы $11.

Метод Гаусса Глава П. и-мерное пространство . $1. Что такое поле $2. Поле комплексных чисел $ 3. Определение векторного пространства, $ 4. Размерность я базис 5. Изоморфнзм векторных пространств 6. Переход к новому базису 7. Подпространства векторного пространства 8. Линейные многообразия $ 9. Пересечение и сумма подпространств $ !О. Определение аффинного пространства 11. Введение координат в аффннном пространстве 12.

Переход к новой системе координат 13. й-мерные плоскости в аффинном пространстве . 14. Выпуклые множества в аффинном пространстве Г л а в а П1. Линейные операторы 1. Определение и примеры 2. Действия иад линейными операторами $3. Прямоугольные матрицы $ 4. Изменение матрицы линейного оператора прн переходе к новому базису 9 9 17 20 27 29 32 34 38 4! 45 50 55 55 56 62 65 70 73 76 78 79 82 84 85 86 90 92 92 99 !06 !!2 ОГЛАВЛЕНИИ значения лннейно- 187 187 19! 194 195 218 225 2л! 230 233 237 $ 5. Ранг н дефект линейного оператора $ 6. Невырожденный линейный оператор $ 7. Инвариантные подирострзнства $ 8. Собственные векторы н собственные го оператора $ 9. Спектр линейного оператора $10.

Жорданова нормальная форма Г л а в а 1Ч Евклидова пространство $ 1. Скалярное произведение $ 2. Ортонормированный базис $ 3. Ортогональное дополнение . $ 4 Евклидово (точечно-векторное) пространство Гл а за Ч, Линейные операторы в евклидовом пространства $1. Линейный функционал $2 Оператор, сопряженный данному $3 Самосоцряжениый оператор $4. Ортогональиый оператор $ 5 Унитарный оператор $ 6. Произвольный линейный оператор в евклидовом про- странстве 7 л а за Ч1. Билинейные и квадратичные формы $1.

Билинейный функционал. Билинейная и квадратнчная формы $2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов $ 3. Закон инерции квадратичных форм $ 4 Определенные формы $ 5. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве $ 6. Билинейный функционал в комплексном векторном про- странстве Г л а в а ЧП. Исследование кривых и поверхностей второго порядка $ 1. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду $ 2 Инварианты кривой второго порядка 3 Определение центра и главных осей пеитральной кривой. Отыскание вершины и оси параболы . $ 4. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка Гл а за ЧШ.

Понятие о тензорах $ !. Примеры тензоров $ 2. Определение и простейшие свойства тензоров $ 3. Операции над тензорами 4, Тензоры в евклидсвом пространстве 114 115 1!7 119 126 Гйб 144 144 !49 154 157 163 163 164 168 173 181 ОГЛАВЛВНИВ Г л а в а 1Х. Основные понятна специальной теории относительности $ 1. Двумерные пространства со скалярным произведением 2. Полуевклндова плоскость 3. Псевдоевклидова плоскость 4. Псевдоортогональный оператор 5. Пространство событий. Принцип относительности Галилея 6.

Принцип относительности Эйнштейна $ 7. Преобразования Лоренца $ 8. Некоторые следствия нэ формул Лоренца Г л а в а Х. Основные понятия теория групп 1. Примеры групп. Определение группы 2. Подгруппа Э. Группы преобразований. Симлгетрическая группа л-й степекн 4. у!зоморфизм групп 5. Разложенне группы по подгруппе 6. Нормальная подгруппа . 7. Фактор-группа 8.

Прямое произведение групп 9. Классы сопряженных элементов группы $ !О. Классы сопряженных элементов прямого произведения групп $ 11. Гомоморфнэм групп Г па в а Х!. Группы симметрии геометрических фигур . $ 1, Группа двнженнй вещественного евклидова прострзнства и ее подгруппы 2. Сопряженные элементы в группе вращений трехмерного пространства $ 3. Группа вращений правильного л угольника С„ . 4. Диэдральные группы Р„ 5. Группа вращений тетраэдра Т 6. Группа вращений куба О 7. Группа симметрии тетраэдра Тл 8.

Группа симметрии куба Ол . . . ° . ° . ° 9. Заключение Глава ХП. Линейные представления конечных групп 1. Определения н примеры 2. Изоморфные представления 3. Подпредставленне 4. Прямая сумма представлений 5. Унитарное представленне. Приводимые н непрнводимые представления 6. Регулярное представление 7. Функции, определенные на группе $ 8. Скалярное произведение на группе $9. Лемма Шура $ !О, Следствия нз леммы Шура 241 241 242 248 252 255 258 260 264 272 272 278 280 284 287 291 293 295 297 308 309 310 3!3 315 318 319 32! 324 324 330 332 333 335 339 34! 344 346 349 предисловие Эта книга представляет собой учебное пособие по линейной алгебре, рассчитанное на студентов втузов и естественно-научных факультетов университетов. Она может быть полезной и читателю, желающему самостоятельно познакомиться с основными понятиями линейной алгебры.

Глава 1 является вводной; она содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории определителей и систем линейных уравнений. Основными в книге являются главы Н вЂ” Ч1, в которых излагается собственно курс линейной алгебры. Остальные главы, по существу, не относятся клинейной алгебре, но их результаты основаны на предыдущем материале (...«некоторые ее приложения»); эти главы могут читаться и не подряд (см. ниже схему зависимости глав), Глава Ч11 посвящена обшей теории кривых и поверхностей второго порядка; она имеет целью дополнить и углубить соответствуюшую часть курса аналитической геометрии, не претендуя на ее замену. Глава ЧШ, посвященная общим понятиям тензорной алгебры, является довольно конспективной и может служить введением в более обстоятельные изложения той же темы, из числа которых назовем, например, указанные в списке литературы книги [15) и [16).

Несколько необычной для учебника линейной алгебры является глава 1Х, посвяшенная специальной теории относительности. При изучении линейной алгебры эта глава может быть и опущена, но опыт преподавания показывает, что обычно она вызывает у слушателей большой интерес. Главы Х вЂ” Х1 содержат самые общие сведения из теории групп и описание групп симметрии геометрических фигур и тел. Глава Х11 — Х111 краткое, но достаточно строгое, изложение основных понятий теории представлений групп и теории характеров. Конечно, все эти вопросы уже не относятся к линейной алгебре, но пгедисловиа методы теории групп и, в частности, основанная на линейной алгебре теория представлений групп, играют все большую роль в современной физике и химии, так что учебное пособие по линейной алгебре для агузов не может не затронуть и этих разделов.

В настоящее издание книги внесены некоторые добавления, в частности, — параграф о жордановой форме матрицы. От читателя не требуется почти никаких предварительных сведений из высшей математики, предполагается лишь, что он знаком с элементами аналитической геометрии. Используемые здесь понятия математического анализа (производная, интеграл) встречаются только в примерах, которые при чтении книги могут быть пропущены. Содержание настоящей книги составляет несколько расширенный курс лекций, неоднократно читавшийся автором на отделении физхимии химического факультета МГУ.

Схема зависимости глав Л. И. Головина Москва, Август, 1978 г. ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИЙ В этой главе содержится вспомогательный материал, относящийся к решению систем линейных уравнений (т, е, уравнений первой степени). Для исследования таких систем вводится важное понятие определителя.

Результаты этой главы, интересные и сами по себе, и в приложениях к аналитической геометрии, необходимы для понимания дальнейших глав книги, $1. Системы уравнений с двумя и тремя неизвестными При решении одного уравнения первой степени с одним неизвестным ах=Ь возможны три случая: 1. Если а чь О, уравнение имеет единственное Ь решение х = —. 2. Если а = О и Ь = О, уравнение имеет бе с числ е нное множество решений: любое число х удовлетворяет уравнению ах = Ь (так как О х = О) и, значит, является его решением.

3. Если а = О, но Ь Ф О, уравнение не имеет решений, так как при подстановке вместо х любого числа в левой части получается нуль, в то время как правая часть отлична от нуля. Из дальнейшего будет видно, что аналогичные три случая имеют место и при решении произвольной системы линейных уравнений. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными: ! а,х+ Ь,у =с„ а,х ~-Ь,у=с,.

1О опРеделители и системы линейных уРАВнений |гл. | (3) Решением такой системы называется каждая пара значений х = а, у = р, подстановка которых вместо х и у обращает оба уравнения в тождества. Чтобы решить эту систему, умножим первое уравнение на Ь|, второе— на — Ь| и сложим их; мы получим х(а|Ь! — ааЬ!) = с|ЬА — с|Ь!. Отсюда, если а|ЬУ вЂ” а,Ь, ~ О, будем иметь х= сЬ вЂ” сЬ () 2 а Ь вЂ” а|Ь ' Аналогично находим, что а|с! — асс! аЬ вЂ” аЬ' Таким образом, в случае, когда а|Ь! — а|Ь| чи О, система (1) имеет е д и н с т в е н н о е решение.

Выражения, стоящие в числителях и знаменателях правых частей равенств (2) и (3), устроены одинаково. А именно, рассмотрим квадратную таблицу чисел А= ~, Такие таблицы называются матрицами. Горизонтальные ряды образующих матрицу чисел называются ее строка- ми, вертикальные — столбцами. Числа а|, Ь|, ам Ьа, со- ставляющие матрицу, называются ее элементами. В на- шем примере мы имеем квадратную матрицу второго п о р я д к а. Диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний, называется ее славной диа- гональю.