Труды семинара Бурбаки за 1992 г (Семинар Н. Бурбаки), страница 7

Кольцо А, не коммутативно, но поскольку кг А, коммутативно, можно считать А, почти коммутативным и многие свойства кольца полиномов распространяются на А,. 1.2. Мы можем действовать дифференциальными операторами из А„на полиномы от х, на функции класса С ', определенные в К' (или в области из К'), на функции, аналитические в К", или функции, голоморфные в С', а также на различные пространства обобщенных функций в К". Пусть, например, У вЂ” функция класса С в К". Введем множество 11 С А„образованное дифференциальными операторами Р е А„, такими, что РУ = О; это левый идеал в А„. Главные символы а(Р), соответствующие операторам Р из 11, являютси ненулевыми однородными элементами идеала,71 в С(х, с]. С этим полиномиальным идеалом связано алгебраическое многообразие в Сг', определенное уравнениями а(Р)(х,с) = О для всех Р ф О из 11. Это характериспьическое многообразие гу функции 1. Глубокая теорема Касивары — Казан — Сато утверждает, что многообразие гУ инволютивно; доказательство можно найти в докладе ]С 11] Мальгранжа на этом семинаре.

Смысл теоремы заключен в следующем: пусть,Уо — идеал в С]х,Я], образованный полиномами, множество нулей которых содержит гу. По теореме Гильберта о нулях полипом Р содержится в .71о тогда и только тогда, когда некоторая его степень содержится в ду. Тогда,7ау устойчив огпносительно скобки Луассона (соответствующее утверждение о .Уу тотчас же следует из второй формулы (27)). Из классического результата симплектической геометрии следует, что размерность многообразия Ру не меньше г: если р = (х!о1, ~<о>) — гладкая точка многообразия Ъу, то касательное пространство к $1 в точке р ортогонвльно дифференциалам дрР «АВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 43 для Р, пробегающего .77е. Но существует билинейная симплектическая форма 7р на кокасательном пространстве в точке р, такая, что (Р,С)(Р) = Ур(7рР, (рб).

(31) Если Р и Су лежат в 77е, то и (г', С) лежит в,77е по инвовютивности, откуда следует, что .7р(АР,НрС) = О. Отсюда вытекает, что множество дифференциалов «АР для Р из,77е образует векторное пространство размерности < т, а по двойственности касательное пространство к Тту в точке р имеет размерность > 2т — т = т. 1.3. Говорят, что функция (или обобщенная функция) 7" гаеонол«- на'>, если характеристическое многообразие 1т7 имеет размерность т (наименьшую возможную). На практике трудно явно найти левый идеал 77 в А„а тем более идеалы .77 и 77е в С(х, с].

Для проверки того, что функция 7 голономна, выписывают некоторое количество дифференциальных уравнений Р 7 =... = Р„,У = О. Пусть оу — главный символ оператора Р. На многообразии )т7 равны нулю полиномы о, а также скобки Пуассона (о.,ое), (о,, (о», о~) ) и так далее, поскольку идеал,77 устойчив относительно скобки Пуассона. Если можно найти достаточно уравнений вида и, = О, (оу, ое7 = О, ... длЯ того, чтобы множество их Решений Нт в Сг' имело размерность < т, то мы получим Липа < йш Ит < т н,7 голономна. Примеры. 1) Если т = 1,.то функция, голономная в О,— это функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (32) р (г)Р77'(г) = О, у=о где ре(г), °,р,„(г) — полиномы и р (г) ~ О. Соответствующий символ равен р (г)~™ и характеристическое многообразие содержится в (С = О) С~ (г = г~О) 0...

0 (» = гбй), Вьеерк в (С 3] называет кк Е»рнкцнн класса Бернштейна. 44 Пьер Картье где гйр...,гйй — корни полннома р (г). Например, гинергеоме- трическая функцил Гаусса — это решение уравнении г(гР ЫР г(1 — г) — + (с — (а + Ь + 1) г) — — абР = 0; фг2 дг она голономна, и ее характеристическое многообразие — зто (г = 0) 0 (г = 1) 0 [~ = О) в Сг, 2) Полипом 1(г) в С" удовлетворяет уравнениям Р,'"1 =... = Р~1' = 0 при достаточно больших т.

Следовательно, его характеристическое многообразие содержится в линейном многообразии ~~ —— ... —— ~„= 0 размерности г, а значит, 1 — голономная функция. 3) Обобщенная фуикцил Дирака б в гь" удовлетворяет уравнениям хгб=... =х 4 =0; она голономна, и х~ — — ... — — х„= 0 — ее характеристическое много- образие. 1.4. Если 1 — левый идеал в А„, то назовем его характеристическим многообразием алгебраическое многообразие И(1) в Сг", пересечение нулей полиномов о(Р), где Р пробегает 1 (и Р ф 0). Это еще и инволютивное многообразие, а значит, его размерность > г. Говорят, что идеал 1 голономен, если размерность многообразия И(1) равна г. Следовательно, фуцкция 1 голономна тогда и только тогда, когда идеал 11 голономен. Пусть Я вЂ” кольцо полиномов С[и),, и,[.

Известно, что Я имеет гомологическую размерность з, иначе говоря, всякий Я-модуль М конечного типа обладает резольвентой 0 -+ Х„ †> Р, , -+ ... -+ Ьо -+ М -~ О, где Ц вЂ” проективные Я-модули конечного типа, и существует Я-модуль М, который не обладает более короткой резольвентой. Это то же самое, что сказать, что Ехс~(М, Ф) = 0 при 1 > з для любых 5-модулей конечного типа М н М н что существуют М и 1г', такие, что Ехс' (М.

У) ф О. «АВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 45 Пусть М есть Я-модуль конечного типа. Пусть 1 — идеал в Я, образованный такими р, что рМ = О, а И' — алгебраическое многообразие в С', определенное уравнениями р(и) = О, где р пробегает 1 (его можно назвать харак«перистаическим многообразием модуля М).

Обозначим через д или Н(М) размерность многообразия И«. Классическая теорема утверждает, что < Ехал(М,Я) = О при О < у < г — сХ, Ех1~ ~(М,Я) ~ О. (33) Вернемся к кольцу А, с фильтрацией (г ) >о, .для удобства положим Г = О при т < О. Далее, пусть М вЂ” левый А,-модуль конечного типа, и пусть иы.,,,ие — система его образующих; мы выберем также целые положительные числа 4,..., де и полол«им Г М=Р "'.и1+...+Р ' ие. (34) < Ехьгл (М,А„) = О при О < у < 2г — д, Ехс~~ ~(М,А„) ф О, (35) где с( = д(М) — размерность характеристического многообразия И«(М) с Сг'. Это дает описание п(М), не зависящее ни от филь- трации алгебры А„ни от фильтрации А„-модуля М.

Справедливо также соотношение Еххл (М,А,) = О при 1 > г, П Это свойство дает виутреииюю карактериаацию «хороших» фильтраций. Возрастающая последовательность ГоМ С Г'М с..., получающаяся таким образом, называется «хорошей» фильтрацией модуля М. Поскольку г' Г" М С Г"«М, можно определить ассоциированный градуированный объект йггМ = ® >оГ М/Гш 'М, который является модулем над кольцом йгг А„. Этот модуль имеет конечный типц. Так как кольцо кг А„является кольцом полиномов С]хы...,х„,сы...,с„], к нему применимо изложенное выше. Введем характеристическое многообразие И'(бг" М); учитывая определение (34), легко показать, что характеристическое многообразие И'(йгг М) не зависит от Г, а значит, его можно обозначить через И'(М).

Оно инволютивно, а следовательно, имеет размерность > г. Применяя приведенные выше результаты к Я = С[хм...,х„, (ы ...,~„] и используя спектральную последовательность, связанную с фильтрацией (Г М) >о, можно показать, что Пьер Картье Ехьзд (М,А,) = 0 ' при у ф г. (36) правый А„-модуль ехсА (м, А„) играет тогда роль двойственного к М; он также голономен. 1.5.

Главное новшество, предложенное Бернштейном, заключается во введении другой фильтрации: В = В А„ состоит нз дифференциальных операторов вида Р— ~~ с дх Рп. )о)т)В)кт (37) Иначе говоря, учитывается полная степень по х; и Во а не только частичная степень по Гг'. Можно повторить почти дословно то, что было изложено для фильтрации (Р™"): ° ассоциированное градуированное кольцо 8гнАг, также изоморфноез) кольцу полиномов С[хм...,х„,бы...,(,]: В-символ оператора Р равен он(Р) = ~ совх 1~ )о)-Е)Л)пю (38) в обозначениях (37); ° хорошел В-фильтрация А„-модуля М конечного типа, определяемая формулой Ь М =В ~' из+...+В ' иг' с, (39) ° ассоциированный градуированный модуль йга М; это модуль конечного типа над 8г А„; ° В-характеристическос многообразие модуля 8га М; оно не зависит от выбора хорошей В-фильтрации модуля М; П Левый идеал ) в А голономен тогда и только тогда, когда левый А,-модуль А,/У голономен.