Труды семинара Бурбаки за 1992 г (Семинар Н. Бурбаки), страница 9

Из результата о тензорных произведениях выводим специализацией к диагонали, что обычное произведение двух голономных функций от г переменных голономно. Все эти результаты распространяются на смешанные функции вида и(х, 1с). 2.5. Скажем несколько слов о д-аналогах. Введем переменную д, которую можно специализировать к комплексному числу д ~ О.

На функции от г обратимых переменных гы..., г, действуют опера- торы гомотетии Т;: ТД(гы..., гд) = 7(гы...,дгн ..,,г,). (69) Рассмотрим алгебру операторов вида Р = ~~ ~~~ с,лг ТЛ, (70) исх рег. т. е. Р~(гы...,гд) =д~ Сог 1(до'гы...,до'гд). (71) а,л Алгебра дС, таких операторов определяется образующими гы..., г„Ты..., Т, и их обратными, подчиненными соотношениям г;г =его ТдТ,=ТТ;, г;Т.=Т,г; при дну', (72) (73) Т;гд —— дг;Т,. (',д)- = П(1-дд ) >о (74) Сабба [В 4) недавно изложил основы теории таких алгебр по аналогии с результатами Бернштейна.

Здесь также существует фильтрация по полной степени по г, и Т„определяются хорошие фильтрации дС,-модулей конечного типа, вводится размерность б н показывается, что она удовлетворяет условию б ) г, а также условием о = г определяются голономные дСд-модули. Тогда можно развивать теорию д-голономнмх функций.

Например, функция д-гипергеомедлрического длина — это функция Р(гы...,г,) д), для которой отношения Тдг7г являются рациональными функциями от гы..., г, и д (при 1 < д < г). Для одной переменной бесконечное произведение «АВтомАтическое» ДОкА3АтельстВО тОжДестВ 55 является решением уравнения (дг; <~), 1 (г;~у) 1 — х (75) Положим (76) аналог биномиальных коэффициентов ! п1 И 9) Ч, (9'9)ь(9'9)я-» (77) является полиномом от д степени 1«(п — к), который при д = 1 равен биномиальному коэффициенту („") .

Формулой сложения становится (78) и аналогом гипергеометрической функции Гаусса является «базис- ная гипергеометрическая» функция Гейне (А 20] с / (с; д)„(йб д)„ (79) 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И СУММИРОВАНИЕ ГОЛОНОМНЫХ ФУНКЦИЙ 3.1. Пусть х = (хы...,х„) и х' = (хы...,х„1), так что х = (х',х„). Исходя из функции Ф(х), определим интегрированием функцию Н(х') = / Ф(х',х,)«1х„. (80) Можно, например, предположить, что х, — вещественная переменная и что Ф(х', х,) при фиксированном х' равна нулю вне компактного интервала. Можно также рассматривать интеграл Коши по Если заменить а на дь, 5 на дв и с на д» и положить д = 1, то снова получим зг1 (,„Л ~г).

56 Пьер Картье комплексной переменной х„где конечные части интегралов расходятся в смысле Адамара. Во всех этих примерах законны правила дифференцирования под знаком интеграла и интегрирования по частям. Предположим, что Ф(х) — голономная функция, решение голономной системы Р (х, Р)Ф =... = Ргг(х Р)Ф = О; (81) иначе говоря, левый идеал 1 в А„, порожденный Рм..., Рн, голо- номен и левый А,-модуль М:= А,/1 голономен. По [С 6, р. 193] А, ымодуль М/Р„М = А„1(1+ Р„А„) голономен. Если положить 1=(1+РтА„)ПА, „ (82) то А„ымодуль А„т/1 голономен, потому что он изоморфен подмодулю в М)Р„М, и левый идеал 1 в А„а голономен. Однако д состоит,из дифференциальных операторов вида 1г(х', Р') = ~ А (х, Р)Р.

(х,.0) + Р,В(х, Р) (83) (здесь Р' = (Рм, .., Р„. 1)). Согласно уравнениям (81), 1~(х', Р')Ф(х', х„) = дФ1(х', хт)(дх„ (84) где Фг(х) = В(х, Р)Ф(х). (85) Тогда Я(х', Р')Н(х') = Я(х', Р') / Ф(х', х„)дхт Я(х', Р') Ф(х', х„) т1х„ д — Ф1(х', х„)с(х„ дх„ =О по правилам вычисления интегралов, упомянутым выше. Иначе го- воря, интеграл Н(х') является решением голономной системы 91(х', Р')Н = ... = (гм(х', Р')Н = О, (86) «АВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 57 где всякий оператор Яу(т', Р') имеет вид (83).

8.2. Дискретный аналог описывается следующим образом: рас- смотрим решение голономной системы А1(1«, К)и(1«) =... = Ал (1«, К)и(1«) = 0 (87) рекуррентных уравнений. Положим и(кы...,й„1) = ~~~ и(кп...,й„ый„), (88) где, например, суммирование производится по конечному числу ненулевых значений. Тогда и(к') удовлетворяет голономной системе В1(1«',К')о(1«') =... = Вм(1с',К')о(1«') = О, (89) где все операторы Вг(1«', К') имеют вид С (1«, К)АЗ(1«,К) + (К, — 1)Р(1«, К). (90) у=г Проблема состоит в том, чтобы произвести это вычисление явно.

Например, функция Р(п, к) = ("„) является решением голономной системы Рг' = Р'Р = 0 с Р = (и — к+ 1)Ю вЂ” (и+ 1), Р' = (к+ 1)К вЂ” (п — к) (91) (мы полагаем г7Р(п, 'к) = Р(п + 1, Й) и КР(п, 'к) = Р(п, к + 1)). Простым вычислением получаем (и+ 1)(Р1 — 2) = (К+1)Р+ РТР' — (К вЂ” 1)(Хп — и — 1). Иначе говоря, функция о(п) = 2 (") удовлетворяет рекуррентному уравнению (и+1)(о(и+1) — 2о(п)) = О.

(92) С учетом начального условия о(0) = 1 это приводит к желаемому ответу и(п) = 2" при и ) О. Предложенный метод не является самым простым для доказательства тождества 2,„(") = 2", однако имеет то преимущество, что приводит к программируемым алгоритмам. Пьер Картье 3.3. Сначала мы опишем «медленный» алгоритм Цайльбергера. а) Используя коммутационные соотношения Ьп=пй, КО=ЯК, ЬИ=МЬ, пК=Кп и соотношения Мп = (п + 1))т', КЬ = (й + 1)К, (93) можно показать, что всякий оператор А(п, Ь, Х, К) единственным образом записывается в виде 6 с А(п,/с, М,К) = ~~~ ~ ~ау(1»',К)М«пз+ Рт(п,т»т, К). (94) св »=О Ь) Рассмотрим два оператора Р и Р' с нормальными формами, указанными выше: Р = ~~~ ~~6 аб(1У, К)К'пт + )т(п, тт', К), (95) 6=6 т=.е 6' с Р' = ~ ~~~ а«у(М, К)Ь6пу + Я (п, тт', К). (96) =т у=о с) Рассмотрим,и = (Ь+ Ь')(с(Ь+ Ь' — 1) + Ц операторов Ьа поР при О < о' < Ь', О < )1 < с(Ь+ Ь' — 1), (сапвР' при О < о < Ь, О <)1 < с(5+Ь' — 1). Запишем все зти д операторов в нормальной форме (94)г каждый их них будет суммой оператора, зависящего только от п, тт' и К, и линейной комбинации мономов к«пг.с коэффициентами из коммун»а»пивного кольца полиномов ог Л и К.

Входящие в это представление манамы й'пу удовлетворяют неравенствам 1 < 6 < Ь+ Ь' — 1, О < у < с(Ь+ Ь'), и их число равно (Ь+ Ь' — 1)[с(Ь+ Ь') + 1], что совпадает с 66 — 1. Так как мы имеем 16 линейных комбинаций с коэффициентами иэ «АВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 59 коммугаативного кольца С [1«', К] от 1» — 1 мономан кьпз, из обычной линейной алгебры следует существование ненулевой линейной комбинации вида ь'-ь «(ь+ь'-О ь — ь «<»+к-О 'Аа ВМК)1« п~Р+ ~ ~) А'дй пВР', а'=о а=о в=о которая больше не содержит мономов 1«'пз, а следовательно, является оператором, зависящим только от и, г«' и К. ь1) Итак, найдутся два оператора А и А', такие, что 11 АР + А'Р' больше не зависит от 1«.

Тот факт, что это ненулевой оператор, проверяется при помощи предположения, что система РР = Р'Р = 0 голономна, т.е. символы о(Р) и о(Р') «независимы» в подходящем смысле. е) Запишем В в виде (К вЂ” 1)"й'(К,Ю,п). Поскольку РР Р'Р = О, (К вЂ” 1)~Р»'(К,М,п)Р ='О. (97) Это соотношение показывает, что функция Р' = Я'(К, з«', п)Р является полиномом от («. Предположим, что Р(п, к) = 0 при фиксированном п для достаточно большого ]1«]. Тогда Р'(п, Е) тоже обладает этим свойством, а поскольку это полинам от й, то Р'(и, й) = О.

1) Запишем оператор гь' в виде (98) н положим (99) 1=о Отсюда вытекает соотношение й'(К,Р7,п) =Б(Х,п)+(К вЂ” 1)У(К,Ф,п). (100) В результате из соотношения В'Р = 0 следует, что функция а(п) = ~ ,'ь Р(п, Й) удовлетворяет рекуррентному уравнению Я(1у, п)а = О. (101) 8.4. Предыдущий алгоритм требует большого времени вычисления н особенно большой памяти. Гораздо более удобен алгоритм, использующий прием суммирования Госпера (С 8], который мы сейчас опишем.

Пьер Картье 60 = е(й) при й > 1, Я(й) 5(й — 1) (102) где е(й) — 'рациональная функция от й. Если положить А(й) = 5(й) — Я(й — 1), (103) то (А(й)) ь>е будет последовательностью гипергеометричсского типа. В самом деле, отношение а(й) = А(й)/А(й — 1) задается формулой а(й) = е(й — 1) е(й) — 1 (104) Аналогично, отношение Я(й)/А(й) равно рациональной функции е(й)/(е(й) — 1). Задача неопределенного гипергеометрического суммирования ставится так: для данной последовательности гипергеометрического типа (А(й))е>е выяснить, будет ли последовательность (Я(й))ь>е, определяемая формулой 5(й) = А(0) + ...

+ А(й), (105) последовательностью,гипергеометрического типа. Как свидетельствует соотношение (104), эту задачу можно переформулировать так: Для данной рациональной функции а(й) выяснить, имеет ли уравнение (104) решение е(й), которое является рациональной функцией, и найти его, если это возможно. Запишем рациональную функцию а(й) = А(й)/А(й — 1) в виде Р(й) 4Ж) р(й — 1) г(й)' (106) где полиномы р(й), д(й), г(й) таковы, что д(й) не имеет непостоян- ного общего множителя ня с одним из полиномов г(й), г(й+1), г(й+ 2),... [если а(й) и г(1с +,у) имеют непостоянный общий множитель и(й), сделаем замену р(й) +- р(й)и(й)и(й — 1)...и(й — у' + 1), д(й) с- д(й)/и(й), г(й) +- г(й)/и(й — т), Пусть (Я(й))е>е — последовательность гипергеометрического типа, такая, что «АВТОМАТИЧЕСКОЕ> ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 61 а затем повторим эту процедуру, если необходимо].