Труды семинара Бурбаки за 1992 г (Семинар Н. Бурбаки), страница 5

Это было технически осуществлено в работе Хельфера и Шестранда ]Н81]. Эта методика показывает, что каждый т-й колодец обладает приближенными собственными функциями «р„, с соответствующими собственными значениями Е„Б ]Š— с/2, Е+ с/2], не зависящими от т в силу инвариантности Н относительно трансляций, кратных 2х. Кроме того, мы знаем, что расстояние межлу этими собственными значениями равно 0(а) и что спектр оператора Н отличается от этого множества собственных значений только на величину порядка 0(е ~~ ), вызванную туннельным эффектом между колодцами, где Ы вЂ” расстояние Агмона между двумя соседними колодцами. Более того, скалярные произведения («р„]«рн ) не превосходят 0(е ~< >~ ), где с((т, т') — расстояние Агмона между т-м и т'-м колодцами.

Для каждого и семейство (у„; т Б 2»), таким обрезом, почти ортонормированно. Метод Шмидта позволяет построить, исходя из этого семейства, ортонормированный базис (с»„; т Б Ез), который отличается от предыдущего на величину, экспоненциально малую относительно а.

Следовательно, можно построить новый оператор Н„(Е), аналитически зависящий от Е, в окрестности 0(а) точки Е„, действующий на подпространстве, порожденном этим семейством, и такой, что спектр оператора Н в этой окрестности будет задаваться множеством Е', таким, что Е' Б Бр(Н„(Е')). Для этого Хельфер и Шестранд использовали «метод Грюзэна», который состо- 29 БАБОЧКА ХОФСТАДТЕРА ит в рассмотрении следующей новой проблемы: на пространстве Ьз(В.) Ю Р(Ез) рассматривается оператор Й, задаваемый выражением Н вЂ” Е Н+ (Зба) где н-Фт = (А 1Р), Р е 1'(и) (366) В+и = ~~~ и„,Ф„,„. (Збс) Если обратную матрицу к Й обозначить через Йг Я Ю+ (37) то Н вЂ”.Е имеет ограниченную обратную тогда и только тогда, когда этим свойством обладает (~ .ь, и в этом случае чы получаем (Н вЂ” Е)-' = О.

— О+(0,)-'Я, (О,)-' = -Л,(Н вЂ” Е)-'Я, (38) Таким образом, эффективный гамильтониан задан бесконечной матрицей Я +. Так же, как в рассуждениях Вилкинсона, анализ симметрий показывает, что эта матрица может рассматриваться как матрица элемента Н,уд„(Е) алгебры А ° в представлении ГКС, которому мы сопоставляем его представитель Н„(Е) в представлении Вейля таким образом, чтобы иметь возможность снова использовать символическое исчисление на следующем этапе.

Как мы уже отметили, техника «заполнения колодцвв» позволяет точно вычислить главный член туннельного эффекта. Технически это происходит так: учитываются только ближайшие сосеДние члены в матРиЦе С7' .ь, котоРые записываютсЯ так же, как в формуле (26), и приводят к новому гамильтониану Харпера, в котором просто перенормируется параметр трансферта 1, определяемый главным членом туннельного эффекта. Таким образом, ~ = 0(е ~7 ), где Я вЂ” туннельный эффект. Остальные членгл получаются корректировкой этого главного члена на величину, зкспоненциэльно малую относительно о. 5.3.

Исследование центральной зоны. Предыдущая конструкция приемлема, только если классические орбиты не слишком близки к сепаратрисе. Если мы удовлетворимся рассмотрением спектра Жгн Беллиссгр П*Р(Н, Ь)П = На = -(хЬР + ЬРх). 1 2 (39) Уравнение (Но — о)и = О имеет четыре частных решения, а именно функции иь = 0(хх) ~х~ с~~+"", где 8 — функция, равная 0 на отрицательных и 1 на положительных действительных числах, а также преобразования Фурье оь функций иь.

Таким образом, всякое решение является линейной комбинацией либо решений иэь либо решений ис, и, следовательно, существует матрица «монодромии», позволяющая переходить от одного представления к другому. Возвращаясь к изучаемому оператору Н, равному модели Харпера по модулю экспоненциально малой относительно а ошибки, только в областях энергии, удаленных от центральной полосы, то схема перенормировки обязывает нас исключать на каждом этапе малый интервал в центре каждой подзоны.

Подзоны в этой части спектра имеют ширину, экспоненциально малую относительно о, из чего по индукции заключаем, что это спектральное множество имеет фрактальную размерность нуль. Однако численные расчеты показывают, что фрактальная размерность спектра должна быть равна 1/2. Отсюда следует, что спектральная плотность сконцентрирована в основном в исключаемой области. Разумеется, необходимо понять, что здесь происходит. Чтобы достичь этого, Хельфер и П1естранд сконструировали, как и в предыдущем случае, квазимоды, микролокэлизованные вблизи сепаратрис.

Для этого нужно взять оператор, сопряженный к гамильтониану (в смысле символического исчисления) в нормальной форме в окрестности седловой точки. Эта форма может быть выбрана в виде ~г — хг или в виде х с на уровне символов. Это отражено в приводимой ниже лемме, в которой Ь вЂ” малый параметр, играющий роль постоянной Планка, и Р = — 1в, з. Лемма 5.1 (см.

«НБЗ]). Пусть Н(х,ЬР,Ь) — формально аналитический формально самосопряженный псевдодифференциальный оператор порядка О. Предположим, что его главный символ Н имеет невырожденную седловую точку с координатами (О, 0), такую, что Я(0,0) = О. Тогда существует действительный аналитический символ г"(с, Ь) 2 о Д(с)Ьг, определенный для малых ф, а пинсже интегральный аналитический формально унитарный оператор Фурье П, происходящий из классического канонического преобразования, определенного в окрестности точки (О, 0), преобразующий зту точку в себя, такой, чгло 31 БАБОЧКА ХОФСТАДТЕРА мы видим, что из инвариантности относительно вращения на угол х/2 его символа автоматически вытекает, что седловые точки расположены в (О,я) и (х, 0) (по модулю 2х). К каждой из этих точек подходят два участка сепаратрнс, соответствующие устойчивому многообразию гамильтонова потока, порожденного символом 'Н гамильтониана Н, а два других участка соответствуют неустойчивому многообразию.

Первые два соответствуют решениям и~, а вторые — решениям т ь уравнения (Н вЂ” Е)ф = О, получаемым с помощью леммы 5.1 и предыдущих результатов. Заметим, что зти четыре решения получаются друг нз друга поворотом на угол -' в фазовом пространстве. Пусть х Б Се равна 1 в окрестности седловой точки (О,х) и 0 внеднска радиуса3~/2 х/4 с центром в этой точке.' Тогда можно так нормировать решения, что (1(Н, х]нч.]нч.) = 1, н это позволяет ввести функцию / = 1(Н,т]ие, а также семейство / ьч поворачивая функцию / на углы ух/2 (что делается с помощью преобразования Фурье) и затем сдвигая ее на 2хгл (с помощью оператора Т(гл), определенного формулой (34)) в фазовом пространстве.

Рассмотрим проблему Грушина, ассоциированную с операторами Кь, где Я+ . Ьз(К) -э (з(Ез х (1,3)) определяется формулой Н+ф„,,у = (Я„Дзй; гп Б Е,у 6 (1,3), ~/~ Б ь~(К), (40а) а Н: 1з(Ез х (2, 4)) -~ Ьт(К) определяется формулой Я и = ~~~ н„,,/„,и, и Б1'(Е~ х (2,4)), (40Ъ) Я~ х (т,4) которая дает 2 х 2-матрицу эффективных. операторов Н, у' б (1, 3), уч Б (2, 4). Как и в предыдущем случае, мы можем интерпретировать эту матрицу операторов как элемент алгебры А ЗМт(С) в представлении ГНС, позволяющем при переходе к представлению Вейля определить перенормированный оператор как 2 х 2- матрицу, коэффицйенты которой — псевдодифференциальные операторы, происходящие нз нашей алгебры.

И так же, как в предыдущем случае, члены, которые не соответствуют ближайшим соседям, будут экспоненцнально малы относительно остальных; поэтому мы получаем эффективный гамнльтониан в виде малых возмущений ближайших соседних членов. Нам остается толью выяснить, какую каноническую форму принимает такой оператор. Заметим, что символ М,гг теперь явля- 32 Жан Беллиссар ется функцией на фазовом пространстве со значениями в пространстве 2 х 2-матриц.

Перенесемся в аналогичную ситуацию квазиклассического анализа в окрестности рациональной точки. Здесь возникают два случая в зависимости от того, будут образы функций зоны этой матрицы разделены или нет. В первом случае получаются два гамильтониана, близкие к гамильтонианам Харпера в алгебре А . Во втором случае симметрия задачи и тот факт, что первоначальный гамильтониан близок модели Харпера, влекут за собой касание полос в конической точке. Следовательно, можно перейти к модели, близкой к модели Харпера для сх = 1/2. Итак, мы видим, завершая рекурсию, что еще нужно изучить случай, когда исходный гамнльтониан сам является 2 х 2-матрицей и его символ обладает двумя функциями зон, пересекающимися в конической точке. Это то, что Хельфер и Шестранд называют «вполне вырожденным случаемк Изучение этого случая требует несколько больше комбинаторики, но при этом не возникает новых трудностей, кроме технических.

Мы не будем останавливатьсн на деталях, но можно убедиться, что переход от этапа ренорм-группы к следующему требует только анализа небольшого числа типичных случаев. ЛИТЕРАТУРА [АЦ А!ехапс1ех Я. Яирехсопбисе!чйу. оп песчхохЕсз. А рехсоЕас!оп ар- рхоасЬ Со 1Ье еЕЕесх оЕ сйзохбег, РЬув. Неч., В27 (1983), 1541 — 1557. [АА] АиЬху Я., Алехе С. Апа!уйсйу ЬхеаЫпб апс! СЬе Апбехвоп !оса!!вас!оп ш !псопппепзигасе !ам!сез, ш: Апп.

Евхае1! РЬув. Яос., чо!.3, Н!!8ех, Вх!все!, 1980, 133-164. [АЩ АиЬху Я. ТЬе печх сопсерк оЕ сталя!1!оп Ьу ЬхеаЫпб оЕ апа1убсйу !и схувва(!обгарЬ!с шоде!в, Яо1Ы Я!аее Яс!., 8 (1978), 264. [АМЯ] Ачхоп 3., чял МоисЬе Р.Н.М., Я!шоп В. Оп 1Ье шеавиге оЕ 1Ье зресехиш Еох сЬе а1шовс МасЫеи орехасох, Ргерх!пв САЬТЕСН, 1990, а также: Сошш. МаСЬ.

РЬуз., 132 (1990), Но. 1, 103-118. [АЕ] Азбель М. Я. Энергетический спектр электрона проводимости в магнитном поле. — ЖЭТФ, т. 46, 1964, № 3, 929-946. [ВЕ1] Ве!!мзвхс( 3. С'-А18еЬхав ш во!Ы вваее рЬув!св: 211 е!есвхопв !п а ипйопп шабпее!с йе!6, ш: Орехахох А18еЬхез апс! Арр!!сае!оп, Уо!. 2, В. Е.

Ечапв, М. ТайезаЫ (ес1в.), СшпЬ|Ыбе ЕЕп1чехв!су Рхея», 1988. [ВЕ2] Ве11нвяхб 3. А!шеях ребосйсйу !п во!Ы веаве рЬусйсз апб С*-а(беЬХев, нс ТЬе НахаЫ ВоЬх Сепсепаху, С. Вехб, В. Риб!ебе (ебв.), ТЬе Сап!вЬ Воуа1 Асас1. Ясй, 42 (1989), 74о. 3, 35 — 75. ]ВЕЗ] Веййявахб 3. ТЬе Ковайоп А18еЬга, Ьесеихе боппее а 1'есо!е сГ4ве йе 14апсев, Ли!и 1991. БАБОЧКА ХОФСТАДТЕРА 33 [ВЧ] [СН] [НВ] [НО] [КЦ [! А] [ЬЛ] [мо] [ВКЯ] [ВЕЯ] [СН] [СЕУ] [НБО] [НЯ1] [НЯ2] [НЯЗ] ВеП|вватй Л., КгеЕС С., ЯеПег В. Апа|уз|в оГ ГЬе врестгиш оГ а рахз!с!е оп а Гг|апби!аг |аззке зч!вЬ взчо шабпегк Пихев Ьу а!беЬгыс злй пшпепса1 шегЬойз, Л. РЬув., А24 (1991), 2329 — 2353. ВеП|звагй Л., Я|шип В.

Сап!от Яресзгиш Еог гЬе А!шов! МазЫеи Ее|паз!оп, Л. Рипси Апа1., 48 (1982), 408 — 419. ВеПывзхй Л., ЧВгог М. НезвепЬегб'я р|сзиге апй поп сошшигаг!че беозиеяту!п ГЬе зепи'-с|вязка! Пшй |и г|иапгиш МесЬапкя, Апп. 1пвп Неип' Ро!псагб, 52 (1990), 175 — 235. СЬшпЬегв ЪЧ. С. РЬув. Веч. А140 (1965), 135 — 143. СЬоз М. Гз., ЕПюсс С., Чи! Гз|.

Сааза ро1упопиа1в апй зЬе гогайоп а18еЬга, 1пчепи МаГЬ. 99 (1990), ГГо. 2, 225 — 246. йе Сеппев Р.С. ГЛ!ашабпег|зше йе бгйиз яиргасопйисвешв ргея й'ип зеш! йе регсо|азюп, С.В.. Асаг1. Бс!., В292 (1981), 9-12; СЬапзр сг!1|г|ие й'ипе Ьоис!е виргасопйисвг|се гашзбее, С. В. Асаг1. Без., В292 (1981), 279 — 282.

СиИ!ешепс Л.Р., НеПГег В., Тгегоп Р. %аПс иютйе НойгагЬег'в Ьипегбу, Л. РЬув. Ртапсе, 50 (1989), 2019 — 2058. Натрет Р. С. Бшб!е Ьапй пюНоп оГ сопйисИоп е1есггопя зп а ии|бзгш пзабпейс бе!й, Ргос. РЬув. Яос. 1опйоп, А68 (1955), 874. НеПГег В., ВоЬегг ГЛ. Са!си| ГопсНоппе| йе 1а ггапяЕоппее йе МеПш ез аррПсавюпв, Л. Риис!. Апа1., 53 (1983), |з|о. 3, 246 — 268. НеПГег В., Б]ояггапй Л. М|сго!оса1 Апа!уз|в Еот гЬе Репойс Мабиев!с ЯсЬгбйпбег Еоиав!оп апй Ве!явей зхиеяг!опв, СЛ.М.Е.