Труды семинара Бурбаки за 1992 г (Семинар Н. Бурбаки), страница 8

Если / — функция в И", то А,-модуль А,/Уу изоморфен А„ / (мноягество операторов Р. /, где Р пробегает А,). ~ Используемая в С(г,Я градуировка задается полной степенью по л,б и отсюда достаточно просто выводится, что гомологическал размерность кольца А„равна г (а не 2г, как у йгг А,). Разумеется, говорят, что А,-модуль М голономен'), если с((М) = г; это то же самое, что предположить, что «АВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 47 ° размерность б = б(М) В-характеристнческого многообразия ,А,-модуля М; ° описание б(М): наименьшее целое г, такое, что Ехггл (М, ,4„) ф О, равно 2г — б(М).

Из последнего утверждения выводится, что размерность д(М) характеристического многообразия модулл М равна размерности б(М) его В-характеристического многообразия (сами многообразия различны). Размерность б = б(М) можно вычислять так: если А„-модуль конечного типа М снабжен хорошей В-фильтрацией (гг™М) >о, причем все векторные пространства га М/сг 'М конечномерны иад С, то можно ввести ряд Пуанкаре Ха(г) = ~~~ 1™.айша М/й ~М = (1 — $) ~ ~г дйшЬ™М. (40) г»йе м>е Так как 8г~ М является градуированным модулем конечного типа над кольцом полиномов, хорошо известно (ряд Гильберта — Самуэля), что Ха($) — рациональная функция вида Я(г)/(1 — 1)г, где полипом 9(1) удовлетворяет условию Я(1) ~ О.

Из формулы (40) выводится существование целого те и полинома Х(и) с рациональными коэффициентами, таких, что бппЬ М = Х(т) при т > те. Кроме того, б равна степени полинома Х(и). Все результаты из пп. 1.4 и 1.5 доказываются независимо от теоремы инволютивиости Касивары — Каваи — Сато. Более того, существует очень простое непосредственное доказательство неравенства б > г (см. (С б, р.

178]), откуда получается новое доказательство неравенства д > г (где д †размернос характеристического многообразия модуля М). 1 б. Приведем практическое руководство по голономным модулям. А, -модуль М вЂ” это модуль над кольцом полиномов С]хы..., х,], снабженный С-линейными операторами дифференцирования Вы, .., В„, коммутирующими друг с другом и удовлетворяющими правилу Лейбница (41) Вг(Р Ф) = Вгик Ф+Г ВгФ 48 Пьер Картье (Н) для любого целого т ) О векторное подпросгпрвнство в М, порожденное элементами хоРВФ при (гг! + 'р)! < т, имеет размерность < Ст".

Голономные элементы А„-модуля образуют в нем А,-подмодуль. Голономный модуль — это А„-модуль конечного типа, все элементы которого голономны. Рациональный А,-модуль — зто векторное пространство Ъ' над полем С(хы..., х,) рациональных функций, снабженное С-линейными операторами Рм...,Р„коммутирующими между собой и удовлетворяющими правилу Лейбница. Пусть Ф вЂ” голономный элемент из Ъ'; тогда существуют ненулевые дифференциальные операторы Ры..., Р„, аннулнрующие Ф и имеющие следующий вид: Р, = ~~ рй(хы...,хг)Р~ э=о (42) (рΠ— полиномы). Векторное подпространство в $', порожденное над С(хы..., х„) конечным числом производных Р" Ф при О < аг < эг, ..., О < аг < г„содержит Ф и инвариантно относительно дифференцирований Рм...,Р,.

Говорят, что элемент Ф Е $' рационально голономен'1, если он содержитсн в конечйомерном над С(хы..., х„) векторном подпространстве И', иввариантном относительно Рм ...,.Р, (нначе говоря, г)г — рациональный А„-подмодуль). Определим аннулятор 1в элемента Ф: это левый идеал в А„с которым ассоциировано характеристическое многообразие $'(1в) в Сгг (ср. п. 1.4). Тогда Ф рационально голономен в том и только том случае, когда существует ненулевой полипом Н(хы..., х„), такой, что Ъ'(1в) содержится в объединении гиперповерхности Н = О в Сгг и некоторого многообразия размерности г. Согласно обсуждению из предыдущего абзаца, всякий голономный элемент рационально голономен.

О П-конечен в терминологии Цайльбергера. при 1 < 1 < г, где Е лежит в С(хы...,х„), а Ф вЂ” в М. Например, всякое пространство функций или обобщенных функций от г переменных, которое устойчиво относительно умножения на х; и дифференцирования по х; (прн 1 < 1 < г), является А,-модулем. Элемент Ф нз А„-модуля М называется голономним, если существует константа С, удовлетворяющая следующему условию: «АВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 49 2.

ИЗУЧЕНИЕ ГОЛОНОМНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ 2.1. Гипергеометрическим рядом по традиции называется всякий ряд вида 2 Л(п), где Л(0) = 1 и Л(п+ 1)/Л(п) является рацио- в>0 нальной функцией от и. Разлагая рациональную функцию в произведение линейных сомножителей, можно записать Л(п) в виде (сг! ) « .. (ар) „г" (Ь!)в ...(Ьд)„ и! (43) где используется следующее (классическое!) обозначение: (44) (а)„= а(а+ 1)...

(а+и — 1), т.е. (а)о = 1, (а)„е! = (а)„(а+и). (45) (а Ь ) ~~- (а)„(Ь)„ (с) пи. (46) На пространстве функций целочисленной переменной и определено действие разностных операторов видаЛ (Ри)(п) = ~ ~~~! сепии(п+ 13). (4 ) п>е В частности, по формуле (48) (Юи)(п) = и(п+ 1) вводится оператор сдвига дд' и предыдущий оператор записывается в виде Р(п, )д') = 2 ', споппгд'и. Имеется коммутационное соотношение !"»!.и = (и+1) ду. (49) 1> ! 13 пробегает все целые числа. СУмма РЯда 2 „е Л(п) тогда обозначаетсЯ чеРез рРд (ь' "'ь»~ г) в соответствии с классическим определением гипгргеометрической функции [А 2]; функция Гаусса — это функция Пьер Картье 50 Говорят, что последовательность и голоиомиа, если существует не- нулевой оператор Р(и, М), такой, что Р(и, М)и = О.

Это так для гипергеометрической последовательности (43) (здесь Р(и, Х) = (и+ 1)(и+ бт) (и+ йе)Х вЂ” г(и+ о1) .. (и+ ор)) и длл последовательности АпеРи и„= 2 е (,",) ("„"е) (где Р(и, Ф) = иг — (34ии — 51и + 27и — 5)Х ~ + (и — 1) Х г). (К;и)(йы...,й,)'=и(йы...,й;+1,...,й,) (50) вводятся операторы сдвига Кы, К„а затем операторы Р(к,К) = ~~~ У с ей Ка, аеяй лен' преобразующие функцию и(йы..., й,) в функцию (51) ~с ей1'... й~'и(й1 + Д,...,й, +)3,).

а л Операторы вида (51) образуют алгебру В„которая определяется образующими йы...,й„К„...,К„К, ~,...,К, ' и соотношениями й,й, =й,йо (52) (53) К;К, = К,Ко йК =Кй, при ефу, Кей; = (й;+ 1)Ко (54) (55) (56) Эта алгебра хорошо известна: сопоставим функции и:,Е' -е С формальный ряд Лорана У(гы..., г,) = ~~~ и(йы..., й,)г1'...

ге'. (57) еь,е, 2.2. Все 'зто обобщается на мультипоследовательности, т.е. на функции н с комплексными значениями, определенные в Е' (или на подходящем подмножестве из Е'). С помощью формул сАВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 51 Функции йги соответствует ряд ггдУ/дгь а функции К;и — ряд г, ~У.

Отождествление Й; +а г,— ',,К; е+ г, г> о(Р) = ~~> ~~> с~з>, г )а)=и»3 (58) (полипом от гы...,г„г~ >... >г, ~г>... >г.»); функции и(кы..., Е,) ставится в соответствие характеристическое .многообразие Ъа н (С')' х С' (с координатами гм..., г„г,"ы..., ~,), определенное уравнениями а(Р)(г, >,) = О, где Р пробегает множество таких операторов, что Р и = О. Наконец, говорят, что и голономна, если размерность многообразия )г„равна и.

Примеры. 1) Говорят, что функция и имеет гипергеомеглрический тии, если К,и/и — рациональная функция от Йы..., й, при 1 = 1,..., з. Она (рационально) голономна. 2) Говорят, что и замкнута, если она равна произведению сомножителей вида (а), а + +,, где сы...,с, — данные целые чисяг с>а>+...+с,а, ' ла, и рациональной функции. Это частный случай последовательности гипергеометрического типа.

3) Рассмотрим, функции и(1с), определенные в Е', со значениями в Ск и удовлетворяющие уравнениям К;и(1с) = А;(1с) ° и()с) (1 < г < з). (59) В этой формуле Аг (1с),..., А,(1с) — матрицы размера Ю х М, рационально зависящие от )с и удовлетворяющие условиям согласован- пост иП К;Аг А; = К Аг Агь (60) Компоненты функции и(1с) -рационально голономные последовательности, чаще всего голономные. 1) > Эта система является дискретным аналогом дифференциальное системы О>н = А,г, где матрицы Аг удовлетворяют условию енелие ииглсгрнррсмос>лн определяет изоморфнзм между 8, и локализацией кольца А„получаемой обращением элементов гы..., г,.

Чтобы определить символ оператора Р(1с, К), оставим члены наибольшей степени т по Рм 52 Пьер Картье 2.3. Можно также рассматривать смесааннмй случай функций и(х, 1с) на С' х Е'. Такой функции сопоставляется формапьный ряд Лорана У(х,») = ~ и(х,1с)» '...»,', (61) ьн.., Л, на который действуют дифференциальные операторы с козффициентами, полиномиальными по хы..., х„, »ы..., »„»,,..., », т, откуда возникает еще одна теория голономных функций. Пример-иллюстрация. Положим и(х, й) = Рь(х) (к-й многочлен Лежандра). Используя обозначение Р для Н/с(х и К для сдвига по (с, запишем классические соотношения следующим образом: < Ри = О, дифференциальное уравнение, Яи = О, рекуррентное соотношение, где Р = (1 — х )Р— 2хР+ к(а+ 1), (63) д = (1с+ 2)К вЂ” (2х+ 3)хк+ )с+ 1.

(64) Тогда (Р) (1 2)~л + 2~» (65) а(Я) = ~(» +» ~ — 2х) (66) (указание: заменить Р на б, 1с на»(, К на» ' и оставить члены наибольшей степени по (б, ~)). Характеристическое многообразие определяется уравнениями а(Р) = а(Я) = (а(Р),аЯ)) = 0; оно имеет 4 компоненты, все размерности 2 (в пространстве Сз х С' с координатами ~,~,х,»): 2~ = б(»» — 1) И: 2х=»+» Ъ": 6=0, С=О, Ъ'+' . х = 1, ~ = О, Ъ'": х= — 1, ~=0. Это голономный случай.

Как следует из общей теоремы о голономных системах, решения системы (62) образуют пространство конечной размерности и над С (здесь и = 4 соответствует начальным условиям и(0,0), и(0,1), Ри(0,0). Ри(0,1)). «АВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 53 Е(0 = /е *'«Ф(х)сГх; ус (67) интеграл берется по подходящему вещественному многообразию размерности г в С", ас('х = 6х1А...Ас(х„их С = х1С1+...+х,С,. Известно, что если Р(х, Р,) — дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами, то преобразование Лапласа функции Р(х, Р,)Ф(х) равно Я(с, РДЕЯ, где оператор Я(С, РД йолучается из Р(х, Р,) заменой х на — д/дСЗ и д/дх на 6 . Если мы воспользуемся практическим руководством (см.

и. 1.6), то убедимся, что это преобразование Лапласа — голономная функция'>. Рассмотрим теперь специализацию х„= О, которая функции и(хы..., х,) сопоставляет функцию Зги(хы..., х„) = и(хы ..,, х, г, О). (68) Предположим, что и голономна, и пусть М вЂ” голономный А,-модуль, образованный функциями Ри, где Р пробегает А„. Отождествнм А, 1 с подкольцом в А„. Тогда ясно, что Я„есть А„ылинейное отображение и что Я,(хги) = О, а значит, Я„определяет А, ылинейное отображение Я, из А, ымодуля М/х,М в пространство функций от г — 1 переменных. Поскольку А„ь-л«одуль М/х„М големов«ен (см. [С 6, р. 193]) и, кроме того, ясно, что фактормодуль голономного А, юмодуля голономен, получаем, что образ отображения 5„— голономный А„ымодуль, содержащий дги.

Вывод: (бункцил Я„и голонол«на.- Комбинируя этот результат с линейными преобразованиями, получаем, например, что если и(х, у, г) — голономная функция от трех О Более елгебраичио, существует автоморфиам о алгебры А„определеииый формулами а(хг) = -В», о(О.) = х» при 1 < 1 < г, и и сохраняет фильтрацию Бернштейна в А„. 2.4. Согласно общей теории голономных систем, голономные функции на С" х Е' образуют векторное пространство над С, инвариантное относительно операторов х ч Рсь Ц, К~~.

Нетрудно также видеть, что если функции и(х, )с) и е(у, тп) голономны, то голономно и произведение и(х,1«)п(у,пт) с разделенными переменными (тензорное произведение). Можно также производить линейные замены координат непрерывных переменных х; н дискретных переменных )сь а также сдвиги. Пусть Ф(х) — голономная функция на С"; ее преобразование Лапласа задается формулой Пьер Картье переменных, то и(х,х,у) — голономная функция от двух переменных.