Труды семинара Бурбаки за 1992 г (Семинар Н. Бурбаки), страница 4

Этот оператор обладает тем же спектром, что и предыдущий гамильтониан в этой зоне. Итерируя это правило, можно определить иерархию. Кроме того, каждая подзона Бора — Зомерфельда отделена от соседней расстоянием порядка 0(а). Заметим, однако, что проблема показательна в том отношении, чта позволяет четко очертить пределы применимости метода. Действительно, ошибки контролируются только неявными выражениями, в которых известен лишь асимптотический вклад в малую постоянную Планка. Для того чтобы сделать вывод, необходимо предполагать, что эта константа «достаточно мала».

Действие ренормгруппы рекурсивно, в частности, при переходе от одного этапа рекурсии к другому поток перенормируется, меняя а на а' = (1/а), где (х) — дробная часть х. Итерируя это отношение, мы приходим к разложению а в цепную дробь,' а= 1 а1+ 1 аа + ап + . Зная, что на каждом этапе необходимо предполагать, что а «достаточно мало», чтобы перейти к следующему этапу, можно получить желаемый результат для тех а, цепные дроби которых удовлетворяют условиям ЗС>0, а„>С, 1«а~1. (31) Итак, если С > 1, то это условие ограничивает множество значений а такими, при которых результат применяется к множеству меры Дебета нуль! Кроме того, исключаются многие интересные для физиков числа, например золотое сечение.

Другими словами, микро- локальный анализ, безусловно, обладает качественно корректным и мощным подходом, но не позволяет получить качественно оптимальный результат. Среди следствий этого анализа имеются два поккэательных результата, присутствующих как в оригинюн ных статьях [НИЗ], так 24 Жан Беллиссар и в более поздних статьях [СН], которые позволяют проиллюстрировать мощь метода. Первое †э разрешение парадокса, вытекающего, с одной стороны, из теоремы 2.2, а с другой — из предсказания Вилкинсона, согласно которому эффективный гамильтоннан, описывающий каждую подзону, является гамильтонианом Харпера.

Действительно, теорема 2.2 предсказывает, что если число а рационально, то все лакуны являются открытыми множествами, кроме центральной с нулевой энергией. Пусть тогда р/д †рациональное число с цепной дробью [амат,...,а„~. Обозначим через р'/е' близкое рациональное число с цепной дробью [аы аш..., а„, 2Ь], где Ь > 1. Рассмотрим зону В, не содержащую нулевой энергии, в спектре модели Харпера, соответствующей а = р/д, и пусть В(а)— зона, полученная деформацией зоны В при изменении о в малой окрестности числа р/4. Соответствующий нормированный поток, появляющийся в эффективном гамильтониане, равен положительному действительному числу а', такому, что а = [аы аз,..., а„+ а'].

Таким образом, для числа р'/д' мы получаем и' = 1/2Ь. Зона В' = В(р'/4'), согласно теореме 2.2, распадается на 2Ь непересекающихся подзон. Поскольку это рациональное число с четным знаменателем, тд центральная лакуна существует и является открытым множеством. С другой стороны, если эффективный гамильтониан в точности равен гамильтовиану Харпера, то в силу той же теоремы центральная лакуна должна быть замкцутой. Разрешение этого парадокса заключено в том факте; что эффективный гамильтониан на В' отличается от модели Харпера на возмущение, экспоненцнально малое относительно а'. Таким образом, несмотря на то, что центральная лакуна — открытое множество, ширина ее имеет порядок 0(е """ з~)! То же самое показывают вычисления, иллюстрируемые рис.

4 (см. [СН]). Заметим, однако, что Эллиот и др. [СЕУ] доказали алгебраическими методами, что ширина лакуны в случае и = р/д мннорируется числом С.В т, где С вЂ” явная числовая константа. Другой результат относится к центральной лакуне. Согласно теореме 2.2, центральная лакуна для а = р/д при четном д замкнута. Это означает, что две зоны касаются друг друга, и более детальный анализ показывает, что этот контакт в модели Харпера происходит в единственной точке элементарной ячейки и что эта точка коническая. Квазнклассический анализ обязывает учитывать это случайное вырождение, формулируя проблему в терминах 2 х 2-матриц. Оказывается, что нормальная форма этих матриц является опера- Жал Беллиссар 2б тором Дирака, собственные значения которого можно явно вычислить (ем.

[НВ2], а также [НВ2]). Соответствующий уровень энергии »»'«ль: ютясь 5. КОНСТРУКЦИЯ ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ГАМИЛЬТОНИАНА 5.1. Проблема колодца. Первая проблема — изолировать каждый из колодцев. Мы рассмотрим, например, случай максимума (в случае минимума задача решается аналогично). Напомним, что если 1(х, С) — регулярная ограниченная функция на 11г, то на г г(11) с помощью квантования по Вейлю можно следующим образом определить оператор ~: 7»(*) = / — ", » ( ".») ° *- »(»).

» 6 Г.*($Ц. (»») Кроме того, определим гауссовское квантование формулой (ЗЗа) (Я)(х) = 1(х,у)»)»(у)ду, »УБ б (11), зр» где 4 гоУ(х'~~)~ е . (ЗЗЬ) При гауссовском квантовании положительной функции 1 соответствует положительный оператор, локализованный на носителе функции 1. Итак, пусть Е' > Π— энергия, в окрестности которой мы собираемся вычислить спектр, и пусть число е > О таково, что Š— 2е > О, Пусть т Б Ег — индекс рассматриваемого колодца. Обозначим через т регулярную функцию от (х,с), обращающуюся в нуль, если (х,С) ф [ — я,»г]г или если (х,С) Б [-я»я]г и 'Н(х, С) < Š— 2с, равную 1 на множестве точек (х, ~) Б [ — я, я]г, для которых 'Н(х, ~) > Š— е, и такую, что О < т(х, ~) < 1. Положим т (х, ~) = 1г(х — 2яты с — 2ягпг).

Оператор » обозначает тогда гауссовское квантование т . Заметим, что унитарные операторы Т(пг) (пг 6 Ег), задаваемые формулами Т(т)У»(х) = е1™* г" +У'*ф(х — 2ятг), (34) 27 БАБОЧКА ХОФСТАДТЕРА удовлетворяют соотношениям Т(М)ХвТ(т) ' = г и коммутируют с операторами Нь 1 = 1,2, в представлении Вейля. Следовательно, они квантуются трансляциями, соответствующими целым числам, умноженным на 2к. Эта конструкция приводит нас к определению гамильтониана колодца Н формулой Н,„= Н вЂ” (Š— с) (35) Этот оператор обладает символом, не превосходящим Š— е везде, кроме колодца гп. Более того, используя гауссовское квантование функции т, получаем, что Н < (Š— с)1 по модулю компактного оператора. Кроме того, часть спектра оператора Н , содержащаяся в интервале (Š— с/2, Е + с/2], состоит из конечного числа собственных значений конечной кратности.

Способ вычисления этих собственйых значений состоит в аппроксимации ВКБ, но, чтобы доказать, что получается весь спектр в рассматриваемой области, Хельфер и Роберт (НВ] вынуждены были сконструировать, используя символическое исчисление, функцию /(Е, и), такую, что в интервале (Š— с/2, Е + с/2] и для достаточно малого о оператор /(Н,а) имеет такой же спектр, как оператор гармонического осцнллятора. Заметим, что аналогичный результат был найден в [ВУ] в рамках алгебраического формализма, где был сконструирован путем возмущений, причем равномерно по а, унитарный оператор, сопряженный к этим двум операторам. Заметим также, что это неверно, если число степеней свободы не равно единице.

Преимущества этого метода заключаются в том, что ои дает явную конструкцию соответствующей квазимоды с помощью собственных векторов гармонического осциллятора. 5.2. Изучение. туннельного эффекта между колодцами. Приведенная выше техника «заполнения колодца» была развита ранее для изучения туннельного эффекта в уравнении Шредингера Н = Р~/2 + У, где У вЂ” потенциал двух вырожденных колодцев, которым мы приписываем индексы ~. В этом случае туннельный эффект задает уровни энергии в виде Е„,л = Е„х ЬЕ, где ń— энергия, получающаяся атом случае, когда колодды отделены друг от друга, а ЬЕ е з7, где Я вЂ” туннельное взаимодействие между двумя классическими орбитами с энергией Е„.

Собственные функции двух гамильтонианов Нл, которые получаются заполнением колодцев, соответствующих собственным значениям, находящимся 28 Жан Беллнссар в рассматриваемом интервале энергии, равны для каждого колодца собственным функциям гамильтониана Н с точностью до ошибки порядка 0(е "~ ), где д — Я вЂ” «расстояние Агмона» между орбитами с энергией Е + 0(с) двух соседних колодцев (расстояние Аг»« .*- » ю ь' = „'уНГ-'с~»«*Ч.

» ние скачка между двумя подуровнями, создаваемого туннельным эффектом, требует точного знания собственных функций только на середине пути между колодцами, т.е. когда расстояние Агмона равно Н/2. Следовательно, вычисление этого скачка с помощью собственных функций гамильтонианов Н«, Н дает точный результат по модулю ошибки порядка 0(е знУ ). Таким образом, используя этот метод, мы можем быть уверены, что находим правильный главный член скачка энергии, возникающего в силу туннельного эффекта. Оказывается, что в случае гамильтониана, близкого к гамильтойиану Харпера, можно перенести понятие расстоянии Агмона в фазовое пространство.