Труды семинара Бурбаки за 1992 г (Семинар Н. Бурбаки), страница 2

Сутцествуети числа р, > О, тиакое, что для р ) а, спектир оператора Н(а, р) является канторовым множе- ством длл почти всех а. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ 3.1. Введение унитарных операторов Ут и Уг в разд. 1 позволяет дать описание оператора Харпера и его производных в чисто алгебраических терминах. Действительно, большинство результатов относительно спектра как множества зависит только от соотношения коммутирования (2) и совершенно не зависит от рассматриваемой модели.

Эти соображения систематически развивались в статьях [ВВ2; ВЕЗ]. Обозначим через Р„комплексную алгебру, порожденную двумя унитарными операторами 1тт и 1тг, удовлетворяющими соотношению коммутирования (2). Введем обозначение У(т(т) тт~птутпте-ьгаюпьазт г для т = (тт, тг) Е ог. Тогда эта алгебра состоит из полиномов вида а = ~ атИ'(ти), (5) ехт где ат Е С мы будем называть коэффициентами Фурье оператора а и где почти все а,„равны нулю. Коэффициенты Фурье произведения аЬ даются формулой (аб)т = ~ апв'бпла-о1'е техт (6) где т' А ти = тттиг — тгтт, а коэффициенты Фурье для а'., сопря- женного к а, — формулой (а")т =а т. Единичный оператор тогда задается рядом Фурье 1 = б ~,о, в то время как унитарные операторы Ут и У~ задаются рядами б,„р о1 и б,„то П соответственно.

Конструкция алгебры Р показывает, что эта алгебра изоморфна алгебре Р +т, что позволяет ограничить множестве значений а интервалом [0,1]. Мы можем считать а переменной, рассматривая для каждого компакта 1 из В. алгебру Р(1), определенную по аналогии с тем, 12 Жгн Беллвссар как это было сделано выше, с помощью конечных рядов Фурье, коэффициенты которых являются непрерывными функциями переменной о на 1, а произведения и сопряженные для которых задаются формулами (6) и (7). Алгебра Р получается, если положить 1 = (а).

Тогда существует естественный гомоморфизм г): Р(1) — > Р, получающийся вычислением коэффициентов Фурье в точке с«. Определим линейную форму т следующей формулой: т(а) = ао. (8) Она принимает значения в пространстве С(1) непрерывных функ- ций на 1. Эта форма является «следом», т.

е. удовлетворяет следу- ющим условиям: т(а'а) ) О, т(аЬ) = т(Ьа), а, Ь Б Р(1). (0) ]] а ]]««епр ]] к(а) ]] . «ец«Р1»»1т)) (10) Алгебра А(1) получается пополнением алгебры 'Р(1) по этой норме. Легко доказать, что след, гомоморфизм й,„и все представления алгебры Р(1) единственным образом продолжаются по непрерывности на алгебру А(1) ]ВЕЗ]. Семейство представлений к называется точным, если пересечение ядер его элементов равно нулю. Если семейство состоит из одного элемента к, то мы' будем говорить, что представление к точно. Интерес к подобным семействам объясняется следующим их свойством: Лемма 3.1 (см. [РЙ1)]).

Пусть (к,),е.« — пючное семейство пред- ставлений алгебры А(1), индексированное множеством Я. Тогда спектр любого элемента а Б А(1) является замыканием объеди- нение по 5 спектров операторов к,(а), т. е. Бр(а) = 0 Бр( .(а)). (11) 3.2. Представление к алгебры 'Р(1) определяется заданием гильбертова пространства 'Н„и гомоморфизма к: Р(1) -) Н(Н,), такого, что к(а") = к(а)". Здесь Б(Н„) — алгебра ограниченных операторов на 'Н,. Мы не будем различать унитарно эквивалентные представления.

В этом случае классы унитарно эквивалентных представлений образуют множество, обозначаемое Кер(Р(1)). Норма в смысле С'-алгебры определяется на Р(1) формулой БАБОЧКА ХОФСТАДТЕРА Кроме того, норма элемента а видается формулой ]] а]]= вор ]] гг,(а) ]] . геэ 13 (12) Чаще всего используются следующие представления алгебры Аа ° (1) Определенное в рэзд.

1 представление магнитного поля ггэг действует на пространстве Ьг(Нг) следующим образом: бгй д ггм, (5гг) = е'к', К, = — ~ —.— — еАг, (13) Ь |,1дхг где е — заряд электрона, А = (Аы Аг) — векторный потенциал, задаваемый магнитным полем В посредством соотношения дгАг— дгАг —— В = сопев, а б — период рассматриваемой решетки. В данном случае а — отношение потока в квадратной ячейке со стороной б к кванту потока )г/е (см. (2)). Это представление точное ]ВЕЗ]. (й) Представление лгнс, определенное на пространстве 1г(Ег) соотношением лгнс(Уг)г/г(т) = егя "~ э/г(т — гг), т Е Е~, (14) где' г/г Е (г(Ег), а гг(1 = 1,2) — канонические базисные векторы в Е~.

Представление гггно тоже точное. ГНС вЂ” аббревиатура от Гельфанд — Наймарк — Сигал, которые сопоставляли каждому положительному линейному функционалу на С*-алгебре естественное представление (РЕП]. В нашем случае таким функционалом является след. Кроме того, это представление. соответствует тому, что физики называют ипредставлением сильной связиэ, где носители заряда рассматриваются как частицы на решетке Ег, а не непрерывно размазанными в пространстве.

(гй) Семейство (я ',,; х Е Н/Е) действует на пространстве (г(Е) следующим образом (здесь гр Е (г(Ег)): л л(сГг)гр(п) = гр(п — 1), ли,,(1/г) р(п) = е ' (* "~гр(п), и Е Е. (15) В частности, дискретный оператор Матье Н(р)(см. (3)) действует на этом представлении следующим образом: и ~(Н(р)) р(гг) = гр(п+1) +гр(п — 1)+ 2р сов2л(х — па) р(п). (16) Именно в этой форме Харпер [НА] первоначально задал свое уравнение в г лучае р = 1. Это семейство точно для всех а. Кроме того, если а иррационально, то каждое из представлений семейства точно, что неверно в случае, если а рационально. 14 Жзн Беллиссар (1ч) Представление Вейля гти определено на пространстве г,г(К) следующим образом (здесь / Б Ь~(К)): ки~, (Уг)/(х) = /(х+ 2тта), ки;,„(Уг)/(х) = ег*/(х), х Б К. (17) Это представление точно. На самом деле именно оно использовалось такими специалистами В псевдодифференцизльном исчислении, как Хельфер и Шестранд.

Предыдущие представления в композиции с гомоморфизмом д дают также представления алгебры А(1). Псяучаемые путем варьирования а в 7 семейства во всех случаях оказываются точными семействами представлений алгебры А(1). З.З. Алгебра А обладает достаточно простой структурой, что делает ее особенно интересной в приложениях. В случае иррационального а мы имеем Предложение 3.2 (см. (ВЕЗ]). Если число а иррационально, то алгебра А,„проста. В частности, все ее представления точны. В случае когда а = р/д Б ь1, где р и д — взаимно простые целые числа, получается следующее представление: Предложение 3.3 (см.

]ВЕЗ]). Если а = р/д Б Я, где р и д— взаимно яростные целые числа, то алгебра А изоморфна подалгебре непрерывных функций, определенных на двумерном тлоре Тз = (К/о)з и приггимающих значения в пространстве «омпяексных д, х д-матриц', порожденной следующими двумя функциямит Уг(й) = е'егин й = (йг,йз) Б Т~, г = 1,2, (18) где и; — унитарные матрицы размера д х д, определенные соотпногиениями ит = 1, игит — е ' "ттизиг. (19) 'Например, мы можем выбрать в качестве и, следующие матрицы: 0 1 0 ...

0 0 0 0 '1 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 (20а) 0 0 0 ... 0 1 1 0 0 ... 0 0 БАБОЧКА ХОФСТАДТЕРА о о 0 е2(лрй 0 О О 21л2р/т (2ОЬ) Е21л(т-2)Ит 0 егы(т-2)р(т 0 0 0 0' 0 0 Это представление,.в частности, удобно для численного онределения спектра элемента Н алгебры Ар)т. Действительно, Н становится функцией от переменной 1 с матричными значениями. Таким образом, для каждого значения к достаточно диагонализировать конечную матрицу, что сравнительно просто сделать с помощью компьютера. Каждое собственное значение также определяет функцию Е,(й) от )т (г Е [О, д — Ц), и спектр получается объединением всех возможных ее значений, когда )т пробегает 2-тор.

В действительности образ этого тора при Е„определяет то, что называют лзоной», для которой достаточно знать границы. В большинстве случаев, известных из литературы, это замечание позволяет свести вычисления к диагонэлизации относительно небольшого числа матриц. Так, например, обстоит дело в случае модели Харпера на треугольнике (см. рис. 2). 3.4.

Примечательно, что рис. 1 и 2, демонстрирующие спектры, полученные предыдущим методом для рациональных значений а, при изменении а принимают фрактальную форму, и это позэоляет думать, что при иррациональном тт должно получаться канторово множество. Однако для подтверждения этого нужно убедиться,. что иррациональный случай хорошо аппроксимнруется рациональным. АлгебраиЧеский подход действительно позволяет доказать, что спектр элемента алгебры А(1) непрерывен по пс В следующем разделе мы увидим, что при значениях ст, близких к нулю, спектр можно изучать с помощью квэзиклассического анализа.

Как заметил Соколов (ЯО] в 1981 г., отсюда можно получить форму спектра в окрестности произвольного рационального числа. Действительно, использование подстановки Пайерлса и представления алгебры в рациональном случае матрицами, зависящими от й е т2, приводит к следующему представлению алгебры Ару э Предложение 3.4 (см. (ВЕЗ)).

Если Н вЂ” нормальнмт) элемент алгебры А(1) (тп. е. НН' = Н'Н), тпо границы лакун спектпра опе- ратпора т) (Н) яеллютпся непрерывными функциями отп тг. Жан Беллиссар 1б Ю с» а о о, и о Д ° ° в в в в в в в в ° ° Поток через единичную ячейку 17 БАБОЧКА ХОФСТАДТЕРА Предложение 3.5. Алгебра Ар1г+ иэомор4на подалггбре алгебры .4 ег М, пороэтсденной элементами Йт = У; З и„т' = 1, 2. (21) Этот последний результат позволяет использовать квазикласснческий анализ в окрестности рационального числа, но за это придется расплачиваться работой с матричными операторами. 4.

КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 4.1. Ренары-группа по Вилкинсону. В своей диссертации [%1] Вилкинсон систематически развил метод, основанный на квази- классическом анализе, который позволил понять, почему спектр Хофстадтера распространяется на всю шкалу. В действительности соотношение коммутирования (2) есть не что иное, как частный случай соотношений Вейля, при условии замены постоянной Планка л на 2ха. Аналогично, предел при а -+ О есть не что иное, как квазикласснческий предел. Расслютрим сначала ситуацию, когда а мало. Итак, следуя метопу Вора и Зоммерфельда, мы сначала рассмотрим соответствующую классическую проблему. Пусть 1 — интервал вида [О,е), и пусть Н Е А(1) — самосопряженный элемент.