Труды семинара Бурбаки за 1992 г (Семинар Н. Бурбаки)

МАТЕМАТИКА НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОИ НАУКЕ РЕДАКТОРЫ СЕРИИ:Ю. И. МАНИН, С. П. НОВИКОВ Д50 ТРУДЫ СЕМИНАРА Н.БУРБАКИ за 1992 г.. СБОРНИК СТАТЕЙ Перевод с английского и французского 'под редакцией В.Л. ПОПОВА МОСКВА «МИР» 2001 УДК 517+514 ББК 22.16+22.151 Т77 Т77 Труды семинара Н. Бурбаки за 1992 гл Сб.

статей: Пер. с англ. и франц.— Мл Мир, 2001. — 509 с., нл. 1БВХ 5-03-003326-2 Продолжение публикации трудов известного семинара Н.Вурбвки, начатой издательством «Мир» в 1990 г. В очередной выпуск включены доклады, посвященные новейшим достижениям в различных областях математики: алгебраической геометрии, современной математической физики, теории динамических систем и др. Среди авторов такие известные французские математики, как Э.Гис, Ж.-К.йоккоз, Ж.-П.Серр, Ж.-М.

Фонтен и др. Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов. ББК 22.16+22.151 Р И Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту № 97-01-14014 ' Редакция литператпуры по матлематпическим наукаы © Зос~есе Масиешасьцие де ргапсе, 1992 Тоив 6 тоне тбвегтев © состав, В,Л. Попов, 2001 © перевод на русский язык, «Мир», 2001 18ВХ 3-03-003326-2 (русск.) СЕМИНАР Н. БУРБАКИ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР» Настоящий сборник продолжает традицию изданий на русском языке трудов семинара Н.Бурбаки (сборники «Труды семинара Н.Бурбаки за 1988г.», «Труды семинара Н.Бурбаки за 1989 г.», «Труды семинара Н.

Бурбаки за 1990г.» и «Труды семинара Н. Бурбаки за 1991 г.» были выпущены в 1990 г., 1991 г., 1996 г. и 1998г. соответственно). В этот сборник включены доклады, сделанные на семинаре в ноябре 1991 г.— июне 1992 г. Они посвящены новейшим ярким достижениям в следующих областях: динамика потоков на однородных пространствах, гипергеометрические функции, гиперкэлеровы многообразия, дифференциальная теория Галуа, алгебраическая К-теория, арифметическая алгебраическая геометрии, дифферен« циальные уравнения, вопросы математической физики, минимальные поверхности в евклидовом пространстве, случайные операторы и матрицы, динамические системы.

Издание этого сборника, без сомнения, поможет российским специалистам ознакомиться с достижениями. мировой науки. Пользуясь случаем, выражаю признательность авторам, любезно прочитавшим рукописи переводов своих статей и приславшим замечания. Хочется также поблагодарить всех, кто оказал нам помощь при подготовке настоящего издания.

В. Л. Попов БАБОЧКА ХОФСТАДТЕРА (по Б, Хельферу и Ж. Шестранду) Жан БеллиссарО 1. ЭЛЕКТРОНЫ БЛОХА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Бабочка Хофстадтера, которой посвящена эта публикация, возникает при изучении движения электрона в однородном магнитном поле. Это одна из тех проблем, которые привлекали в этом веке интерес наибольшего числа специалистов в области физики твердого тела.

Ей посвящено более 200 публикаций ведущих специалистов в этой области. Мы не можем их все здесь перечислить, хотя история этого вопроса, без сомнения, заслуживает освещения. Однако на некоторых моментах полезно остановиться. Первая публикация по этой теме принадлежит Л.Д.Ландау [ЬА[, который в 1930 г. впервые вычислил спектр энергии свободного электрона в однородном магнитном поле.

Пайерлс [РЕ] в 1933 г. заложил основы теории электронов в кристалле для равномерно намагниченного металла, которая показывала, что вклад электронов проводимости в магнитную чувствительность является диамагнитным. В.кристалле размерности Р. при отсутствии магнитного поля и без учета кулоновских взаимодействий электроны проводимости описываются как независимые частицы, энергию которых можно представить одной или несколькими функциями ЕЯ вектора «квазиимпульса» Й, периодического относительно группы симметрии обратной решетки рассматриваемого кристалла. Квази- импульс представляет, с точностью до некоторой физической кон- ' станты, импульс частицы.

Эти функции .называются функциями зоны. Рассмотрения в рамках статистики Ферми — Дирака показывают, что только носители заряда с энергией, близкой к уровню Ферми, дают вклад в проводимость. Таким образом, в простейшем случае достаточно одной функции зоны, тогда как в общем случае требуется конечное число таких функций, но редко более трех. Зная, что лабораторные магнитные поля всегда слишком слабы, чтобы давать заметный эффект, Пайерлс предложил описывать движения электрона в однородном магнитном поле оператором Га- '1 Ве111аваго зеап. 1.е рар1цоп г1е Нойаад1ег [гГаргев В. Не!бег ег 3.

91ов1гап<Ц,— Звпг1па1ге ВопгЬа1г1, 1991-92, пе 745, Аввени1пе, 206 (1992), р. 7 — 39. БАБОЧКА ХОФСТАДТЕРА мильтона Н, полученным подстановкой вместо квазиимпульса Й в функцию зоны оператора К = (Р— еА)/6, где Р = — -„*17 — опера-, тор импульса, а А — векторный магнитный потенциал, связанный с магнитным полем В соотношением го1(А) = В. Первая проверка этой подстановки стала предметом статьи Латтингера [ЬУ] в 1950 г., который применил к этой проблеме метод, разработанный Слзтером для исследования примесей в кристалле.

Эта статья послужила началом огромного потока работ, написанных в пятидесятые годы и посвященных конструкциям эффективных гамильтонианов, более нли менее реально отражающих влияние магнитного поля. В одной из этих работ, статье Харпера [На] 1955 г., предлагалась упрощенная модель, способная дать качественно корректное описание движения носителей заряда.'Зная, чтонетривиальнотолькодвижение,перпендикулярноемагнитному полю, Харпер ограничился рассмотрением двумерной проблемы, в которой К = (КОКт).

Кроме того, в разложении в ряд Фурье функции зоны он оставил только младшие члены. Для квадратной ячейки он получил следующий гамильтониан: Н = 21 (сов(К1) + сов(Кт)), (1) где величина г (названная трансфертом или обменным интегралом) представляет энергию, необходимую электрону для перехода с одного энергетического уровня кристалла на другой.

Замечательной особенностью этого выражения является то, что этот оператор, как, впрочем, и другие, сконструированные по той же методике, зависит только от «магнитных трансляций» [2А], а именно от двух унитарных операторов Уь = е'~'(я = 1,2), удовлетворяющих следующим. условиям коммутирования: У1Уз = еиы Узам а = —; (2) Ф фо, здесь фе = Л/е — квант магнитного потока, Ь вЂ” постоянная Планка и е — зарнд электрона. Эти соотношения являются каноническими соотношениями коммутнрования при условии, что постоянная Планка 6 заменяется нормированным потоком 2яа. Однако для реального кристалла с элементарной ячейкой размером в несколько А, помещенного в пале величиной в несколько тесл, этот нормированный поток имеет порядок от 10 ~ до 10 э.

В этом случае хорошо работает,кввзиклассическое приближение. Математическая проверка подстановки Пайерлса была проделана в работах [ВЕ1, НЯО], где было доказано, что электроны с энер- Жан Бсллиссар гней, близкой к уровню Ферми, точно описываются эффективным гамильтонианом, выраженным в виде конечной матрицы, элементами которой являются сходящиеся ряды мономов от магнитнмх трансляций. Таким образом, модель Харпера, по-видимому, дает аппроксимацию в простейшей зоне эффективного гамильтониана, описывающего электроны проводимости.

Вычисление спектра модели Харпера имеет долгую историю. Действительно, присутствие магнитного поля нарушает инвариант- ность при трансляции, требуя обращения к теореме Блоха при вычислениях. Квазиклассический метод использовался с конца пятидесятых годов для описания влияния кристаллической решетки на уровень Ландау. Однако физики заметили, что, когда нормированный поток рационален, гамильтониан становится периодическим, так что в этом случае возможно использование теории Блоха. Таким обрезом, аппроксимируя а подходящей последовательностью рациональных выражений, можно вычислить спектр с возрастающей точностью. Эта программа была впервые осуществлена Шамберсом [СН] в 1965 г, но он вычислил спектр только для малого числа значений потока, надеясь на то, что нет необходимости идти дальше, при этом упустив важнейший аспект этой проблемы, а именно фрактальный характер спектра как функции потока.

Пришлось ждать 1976 г. и диссертации Хофстадтера [НО], чтобы впервые увидеть структуру [рис. 1) ... в форме фрактальной... бабочки. Примечательно, что модель Харпера или ее производные переоткрывались и использовались в самых разных физических ситуациях многими другими физиками. В 1978 году Обри [АП] использовал ее для описания физики одномерных спонтанно модулируемых цепей для явления, названного «переходом Пайерлсаэ. В восьмидесятые годы в серии работ Геннеса [СЕ] и Александера [АЬ] по решеткам сверхпроводников Раммаль и его многочисленные сотрудники теоретически и экспериментально доказали, что модель Харпера позволяет описывать кривую перехода металла из нормального в сверхпроводящее состояние для квадратной решетки из нитей сверхпроводников.

В частности, квантование потока рациональными значениями квантов потока было доказано экспериментально [РСН]. Эта модель была также использована для понимания теории квантового эффекта Холла [ТКН2], открытого в 1981 г. Клицингом и др. [КБ]. Наконец, совсем недавно эта модель и ее производные создали необходимую базу для понимания теории высокотемпературной сверхпроводимости сверхпроводящих окисей 1О Жан Беллиссар меди [ВВ1]. Заинтересованный читатель может найти дополнитель- ную информацию в [ВЕ2]. 2.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИ ХАРПЕРА В этом разделе мы рассмотрим следующую модификацию модели Харпера: Н(о,р) = У~ + Уг +р(Юг+ Уз ), где операторы Уг унитарны и удовлетворяют уравнению (2) при о = ф/фа, а р — действительное число. Эта модель в'дальнейшем будет называться дискретный моделью Матье. Модель Харпера соответствует случаю р = 1. Напомним, что спектром оператора Н называется множество комплексных чисел г, при которых оператор г — Н не имеет ограниченного обратного. Спектр является замкнутым подмножеством комплексной Плоскости.

Для произвольного (соответственно самосопряженного, унитарного) оператора спектр ! содержится в С (соответственно в К, в единичной окружности), и мы будем называть лакунами, или щелями связные компоненты дополнения к спектру в С (соответствейно в К, на единичной окружности). Напомним также, что канторово множество замкнуто, нигде не плотно и не имеет изолированных точек. Следующие результаты — краткий перечень простейших свойств этой модели.

Теорема 2.1 (дуальность Обри, см. [АА, А0, ВЕЯ]). Спектры опе- раторов Н(о,р), РН(о, ~~-), Н(о, — р) и Н(1 ~о,р) совпадают. Теорема 2.2 (см. [ВЕЯ, МО, СЕУ]). Если о = р/д — рациональное число и р ф О, то спектр оператора Н(о, р) состоит из д зон, разделенных лакунами. Если д нечетко, тв лакуны открыты. Если д четко, то все лакуны, кроме центральной, соответствующей нулевой энергии, открыты.

Теорема 2.3 (см. [ВЕЯ, МО, СЕ"г]). На отрезке [О, Ц существует плотное подмножество Й типа Сг, такое, чтв если о Е Й и если р ф О, то спектр оператора Н(о, р) — канторвво множество. Теорема 2.4 (формула Обри, см. [АА, ТН, АМЯ]). Если числа о иррационально и р ф 1, то мера Лебега оператора Н(о, р) равна 4]1 — д]. БАБОЧКА ХОФСТАДТЕРА Теорема 2.5 (см, [61]).