Труды семинара Бурбаки за 1992 г (Семинар Н. Бурбаки), страница 3

Для простоты будем предполагать, что ряд Фурье для Н убывает так быстро, как это нам нужно, и что коэффициенты Фурье— настолько регулярные функции от а, насколько нужно. Поставим в соответствие элементу Н классическую функцию Гамильтона 'Н, определенную на двумерном торе Т: 'Н()г) = ~ Ь еиа (22) где компоненты вектора к будут записываться в круглых скобках, (с = (х,с), чтобы согласовать обозначения с обозначениями Хермандера, используемыми в мнкролокальном анализе, тогда как й.т = хт1 + Стг будет обозначать скалярное произведение. Получается задача классической механики с одной степенью свободы. Фазовое пространство здесь В.г, но периодичность функции 'Н по обеим переменным (х,~) позволяет свести изучение к одной элементарной ячейке. Следовательно, классические орбиты в фазовом пространстве являются связными компонентами яиний уровня для 'Н, которые образуют подмножества, ннвариантные от- 18 Жан Беллиссар носительно трансляций, кратных 2х.

В случае модели Харпера (следовательно, при р = 1) Н(х, с) = соэ х+ сон с и линии уровня могут быть двух видов (см. рис. 3): (1) Орбиты, гомотопные окружности с центром в точке, получаемой трансляцией из точки (О, 0) или (н, н). Эти орбиты окружают максимум или минимум соответственно. (й) Сепаратрисы, т.е. прямые вида ххс = л(щоб2х). Эти прямые пересекаются в седловых точках функции 'Н, находящихся в точках (О, х) и (н, 0) щоб2х. Тогда орбиты являются различными сегментами, связывающими две соседние седловые точки на одной из этих прямых. Заметим, что эта структура не изменится с точностью до гомотопии, если рассматривать элемент Ны близкий к Н, при условии, что симметрии элемента Н сохраняются, например, симметрия относительно поворота на х/2 в фазовом пространстве.

Для другой модели структура орбит может оказаться более сложной. Мы не будем здесь этим заниматься. Квантование по Бору — Зоммерфельду ограничивает рассмотрение только орбитами вида Г, удовлетворяющими условию ~ е1х = и + — 2ха. (23) Значение функции Н на такой орбите зависит от и и обозначается Е„. Мы назовем Е„собственной энергией. Она не зависит от компонент связности ввиду инвариантности относительно трансляций.

Таким образом, эти значения являются собственными значениями оператора Н наиболее низкого порядка по степеням се, 'Обычный метод ВКБ'> дает возможность вычислить асимптотическое поведение этих собственных значений по степеням а, что позволяет их определить по модулю 0(ет'е). Интересен частный случай орбит, близких к максимумам и минимумам (донья колодцев). В действительности они близки к окружностям, что позволяет явно вычислить собственную энергию в виде Е = Н(йв) ~ 2ха п+ - е(есдедв'Н(йе) +0(а~), (24) 2! где знак + выбирается для минимума, а знак — для максимума, (ее соответствует положению выбранного экстремума и и — квантовый уровень.

О Вентцель — Крамер — Брнллюен. — Лреьн. нерее. 20 Жан Беллиссэр В представлении Вейля каждая нз этих орбит определяет собственную функцию ф„, „в пространстве Л~(В.), где, ги Б хе нумеруют центры элементарных ячеек, в которых находятся рассматриваемые орбиты, так, что собственные значения Е„бесконечно убывают.

Эти собственные функции тоже могут быть вычислены методом ВКВ. Вследствие туннельного эффекта интеграл перекрытия (ф„,„~ф„„р ) убывает как е '"ый "~1", поскольку семейство (ф„; гп Б Е~) ортонормировано с точностью до экспоненциально малой относительно а ошибки. Вследствие того же самого туннельного эффекта между орбитами одинаковой энергии, находящимися в различных элементарных ячейках, вырождение собственных значений Е„усиливается, что порождает зону В„, ширина которой имеет порядок возмущений, создаваемых туннельным эффектом. Каждая из этих зон позволяет с помощью формулы Коши определить спектральный проектор для Н 1 ~ (Ь П„= —.

21я,/с э — Н' (25) Нипз~д = Еп(а)будд" +С(о)е" " Йп;~п -щ, (26) где Е„(а) = Е„+ 0(оз), о' — дробная часть от 1/а, С(о) — константа, экспоненциально малая относительно о, и Й вЂ” последовательность, экспоненциально убывающая относительно тп/а. Мы узнаем здесь выражение для матрицы элемента Й алгебры А', в представлении ГНС. Кроме того, гамильтониан подзоны наследует где С вЂ” окружность на комплексной плоскости с центром в Е„и с радиусом, достаточно болыпим, чтобы охватывать зону В„, и достаточно малым, чтобы не включать другие зоны. Этот проектор можно вычислить с точностью до экспоненциально малой относительно а ошибки как проектор на пространство, порожденное семейством (4„; т Б 2т). Отсюда также следует, что можно вычислить ограничение оператора Н на эту зону, рассматривая его матрицу в ба-' зисе (ф„; т 6 Е~).

Предположим, помимо этого, что мы можем контролировать ошибки, возникающие на каждом этапе этих рассуждений. Тогда мы получим описание каждой зоны, определенной таким же образом эффективным оператором Н„, задаваемым бесконечной матрицей, которая индексирована точками решетки Ет, соответствующими различным элементарным ячейкам. Одно из основных замечаний Вилкинсона состоит в доказательстве того, что эта матрица имеет вид БАБОЧКА ХОФСТАДТЕРА 21 симметрию оператора Н, и если а мало, то Н можно аппроксимировать по модулю экспоненциально малой относительно а ошибки элементами матриц ближайших соседей, так что и после аппроксимации Й остается моделью Харпера. -Таким образом, гамильтониан каждой такой подзоны задаетсн формудой Й„= Н(а'„и = 1) + О(е «оо»«~о), ' (27) показывающей, что спектр оператора Н в.такой подзоне вычисляется как спектр оператора Н при условии «перенормнровки» параметров трансферта (здесь †констан С(а)) и нормированного потока а и модификации этого оператора посредством экпоненциально малого относительно а возмущения.

Как мы отмечали в предыдущих разделах, эту стратегию можно обобщить на анализ спектра в окрестности числа р/д. В этом случае эффективная постоянная Планка равна разности б = а — р/д, и ассоциированный классический гамильтониан становится функцией от 'Н(т, ~) со значейиями в пространстве матриц размера д х о. В, случае модели Харпера эта матрица трехдиагональна, и ее диагонализация знакома любому физику. Собственные значения е;(я,() этой матрицы, т.е.

функции зон, играют роль, аналогичную роли собственных значений классической функции Гамильтона, рассматривавшейся выше. В частности, «донья колодцев» для этих функций соответствуют границам рассматриваемой зоны. Однако нужна корректировка, называемая «искривлением», поскольку собственные векторы этой матрицы определяют линейное периодическое рцсслоенне над фазовым пространством или, если угодно, расслоение над двумерным тором. Это расслоение в общем случае нетривиально, и его классы Черна могут быть связаны с квантованием проводимости Холла [ТКМ2]. Эти вычисления ведут к явному представлению для собственных энергий вблизи границ зон, аналогичному формуле (24) [ВЕ1, ВЕ2, ВЕЗ, НЗЗ, В.В2[: р / ЕА„= е,(йо) ~ 2л а — — ( п+ — ) йесд«д,е«(Ьо) Д +а2л а — — +О а —— где знак + выбирается для минимума,' а знак — для максимума, 1«о — положение рассматриваемою экстремума, и — квантовый уровень, а и — следующее выражение: п = ог(Р,(М~)(д,Р«(1«о)дс'Н(йо) — д<Р (йо)д«2((йо))) (29) Жан Беллиссар, где Р,(х, б) — спектральный проектор, ассоциированный с собственным значением е,(х, б) матрицы Я(х, б).

Эта формула, называемая формулой Вилкинсона — Раммаля была доказана и обобщена в [ВЕ1, ВЕ2, НЯ2, НВ2] для произвольного гамильтониана в алгебре АЯ. 4.2. Вклад Хельфера и Шестранда. Приведенные выше соображения Вилкинсона образуют каркас стратегии Хельфера и Шестранда, позволяющий дать строгое математическое доказательство. Однако в этих соображениях негласно присутствуют две трудности: первая связана с контролем за ошибками в терминах эффективной постоянной Планка, вторая — с вычислением спектра вблизи сепаратрис. Вклад Хельфера и Шестранда состоит в заполнении этих лакун.

Микролокальный анализ является математическим инструментом, позволяющим решить первую проблему. В этом состоит главный методологический вклад Хельфера и Шестранда. В их первой работе [НЯЦ они исследуют случай малых значений а. Их вторая статья [НВ2] содержит анализ в окрестности рационального числа. Вторая трудность на самом деле непреодолима. Действительно, различные вычислительные работы позволяют убедиться, что главная часть спектра сосредоточена вблизи нулевой энергии, т.е. энергии, которая соответствует в точности классическим орбитам, близким к сепаратрисам. В первых двух статьях о бабочке Хофстадтера [НВ1, НЯ2] Хельфер и Шестранд уклонились от обсуждения этого деликатного вопроса. Только в третьей работе они дают решение этой проблемы, используя для этого старую работу Азбеля [АЕ].

Этот результат является, без сомнения, наиболее оригинальным как по сравнению с численными, так и теоретическими работами физиков. Действительно, ВКВ-анализ вблизи сепаратрис отсутствовал почти во всех предыдущих работах. Даже результаты Азбеля не свободны от неточностей в этом вопросе. Резюмируя, сформулируем наиболее важный результат, полученный с помощью этого метода: Теорема 4.1.(см.

[НИЗ]). Существуе1л. целое число С > 1, такое, что если о — иррациональное число, допускающее разложение е цепную дробь [а„аш..., а„,...], е которой а„> С длл любых и > 1, то спектр оператора Н(а, р = 1) — канп1ороео множество меры нуль. Этой теоремой не исчерпываются все результаты. В действительности из этой статьи можно извлечь много другой информации ЕАЕОЧКА ХОФСТАДТЕРА 23 о структуре спектра. Разложение в цепную дробь числа а позволяет определить следующим образом иерархию зон: пусть дана зона в окрестности собственного значения, близкого к типу Бора †Зомерфельда; тогда с ней можно связать перенормированные операторы двух типов: либо «возмущенный оператор Харпера вблизи а = О», либо «возмущенный оператор Харпера вблизи а = 1/2», в котором нужно заменить а на а' = (1/а) (здесь (з) — дробная часть числа х).