Труды семинара Бурбаки за 1992 г (Семинар Н. Бурбаки), страница 10

Введем теперь новую последовательность (у(й))з>о, такую, что 5(й) = ~р(й)А(й). р(й) (107) Соотношение А(й) = Я(й) — Я(й — 1) приводит тогда к уравнению д(й + 1)~р(й) — т(й'ур(й — 1) = р(й). , (108) Если (5(й)) — последовательность гипергеометрического типа, д(й) будет рациональной функцией от й, поскольку Я(й)/А(й) — рациональная функция от й. Чудо вот в чем: если рациональная функция р(й) является решением уравнения (108), то она будет полиномом, степень которого лгожно явно мажорировать целым числом д, вычисляемым исходя из р(й), д(й) и г(й).

Если д < О, то решения нет и последовательность (Я(й)) не гипергеометрического типа; в противном случае положим Ф(й) = 10+ 11 й+... + М (109) и уравнение (108) 'сведется к системе линейных уравнений на ко- эффициенты уа,..., Уз. 3.5. Поставим задачу определенного гипергеометрического сумми- рования.

Задана функция Р(п, й) гипергеометрического типа, удо- влетворяющая двум соотношениям = А(п,й), ' ' = В(п,й), (110) Г(п, й) ' ' г'(п, й) з(п, 1«')Р(п, й) = с«(п, й) — сг(п, й — 1), (111) где з(п, Ю) = ~ з;(п))у', 1=0 С(п, й) = В(п, й) Г(п, й). (112) (113) где А(п,й) и В(и,й) — две рациональные функцни. Хотелось бы найти полиномы за(п),..., зг(п) и рациональную функцию В(п, й), удовлетворяющие соотношению 62 Пьер Картье С учетом соотношения (110) после деления на т"(п, й) соотношение (111) становится тождеством между рациональными функциями 1 1-1 Х э1(п) П.4(п+у,й) = Л(п,й) — тс(п,й — 1)(В(п,й — 1). (114) 1=0 1=0 Вообще говоря, проверка этого соотношения, когда уже найдены явно гв(п),...,э1(п) н 11(п, Й), совсем элементпарна; она влечет за собой (в предположении, например, что т (п, й) равна нулю при достаточно больших ]й], когда и фиксировано), что для суммы а(п) = 2 „Р(п, Й) выполняется рекуррентное соотношение 1 г1(п)а(я+1) = О.

(115) 1=0 Цайльбергер говорит, что В(п,й) тудостиоверлетиь выполнение уравйенил (115) . Для вычисления эе(п),..., э1(п), В(п, й) следует действовать, как в алгоритме Госпера, обращаясь с п как с параметром, т. е. заменяя основное поле С на поле рациональных функций С(п). Мы просто приведем основные формулы. Как и в методе Госпера, рассмотрим разложение на множители Р(п+г,й) р1(п, Й) д(п, Й) (116) Г(п+г,й — 1) р;(п,й — 1) т(п,й) с полиномами рс(п, Й), д(п, Й) и т(п, Й), такими, что д(п, Й) не имеет общего множителя ни с одним из полиномов т(п, Й + у) при у = О, 1, 2,...

[определим сначала ро(п, й), д(п, й) и т(п, й), что всегда возможно, если числитель и знаменатель функции В(п, й) разлагаются в произведение линейных множителей; далее используем то, что т'(и+1, Й)/Р(п, Й) — рациональная функция в соответствии с (110)]. Потом определим рациональные функции эо(п),..., г1(п) и 1о(п),..., 11(п) удовлетворяющие системе линейных уравнений (отождествляя коэффициенты при мономах от Й) 1 (д(п,й+1)йг — т(п,й)(й — 1)1) (1(п) = Я рг(п,й) ° г1(п). (117) 1=О Наконец, полагаем 1 1 а(п й) = (п Й+1)~у( )Й1 ~-1="1(")Р("+'Й). (116) Е' . ~1(~)В(~, й) «АВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 63 1!оскольку Г(и+ 1, й)/Г(п, й) — рациональная функция от п и й, то же самое верно для С(п, й)/г'(п, й).

Пример. 1"(п, й) = 1/й!(п — й)!. Пусть | = 1. Алгоритм Гоенера гарантирует, что У = 0 подходит. Тогда ро (и, й) = п — й + 1, р1(п,й) =- 1, д(п, й) = п — й + 2, г(п,й) = й. (119) Пснзвестными являются эо, вы /о, и система (117) записывается в Биде (и — 2й+1)/о = (и — й+1)во+ вы (120) Разделяя различные степени й, приходим к системе < (п + 1)/о = (и + 1) эо + эы 2/о = оо. (121) Решением является /о = 1, эо = 2, гч = -(и+ 1), откуда следует, что 2Г(п, й) — (и + 1) Г(и + 1, й) 2(п — й+ 1) — (п+ 1) Поскольку 0(п,й) г'(и, й) Уравнение (111) приводится в этом случае к виду (123) 2Г(п, й) — (и+ 1)Г(и+ 1, й) = Г(и, й) — Г(п, й — 1).

(124) Суммируя по й, вицин, что а(п) = 2 „г(п,й) удовлетворяет ре- куррентному уравнению 2а(и) — (п + 1)а(п + 1) = 0; (125) Г(и+1,й) 1 (122) г"(и,й): п — й+1 пключаем с помощью вычислений с рациональными функциями, что 64 Пьер Картье это вместе с начальным условием а(0) = 1 дает решение а(п) = 2"/п!, откуда получаем формулу суммирования (126) Мы снова пергдоказали маш любимым пример ~,~ (") = 2". 3.6.

Цайльбергер и Вильф с успехом развивают похожие алгоритмы для изучения д-аналогов функций гипергеометрического типа. Совместно с Алмквистом Цайльбергер также смог получить аналогичные алгоритмы для нахождения дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют интегралы вида и(х) = [ п(х,у)с/у, где и — функция гиперэкспоненциадьногп шипа'>. Наконец, опираясь на предварительные результаты Галлиго [С 7], Такаяма [С 14] смог развить теорию исключения в идеалах дифференциальных операторов, напоминающую технику базисов Гребнсра [С 5] полиномиальных идеалов.

Это указывает иные возможности, помимо методов Цайльбергера. 4. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И ФУНКЦИИз> 4.1. Мы уже напоминали определение гипергеометрического ряда Гаусса Р = зй>: ь| ) Г > > (ь) а>о (127) он имеет смысл, когда с не является отрицательным целым числом, и ряд сходится при ]л] ( 1. Он удовлетворяет дифференциальному уравнению ]зг' И' г(1 — л) — + (с — (а + Ь+ 1)г) — — пЬР = О.

(128) яз с[а В некоторых частных случаях получаются элементарные функции, например Ь (129) > Этп пзиачает, чтп 1> и/н и О, в/и — рациональные функции. з> См. [А 16] и [А 2] пп поводу основных свойств гипергеометрических функций и [А 11] (гл. 6), где достаточно детально изучаются суммы, связанные с бинпмиальными коэффициентами. сАВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 65 а а+'1/ (1+ 1!г) — га + (1 г1/г)-га (130) Функции, отвечагощие различным параметрам а, Ь, с, не независи- мы; вот, например, соотношение Эйлера: = (1 — г)'е 'Г г .

(131) В некоторых случаях ряд (127) можно суммировать точно: о Ь ') Г(с)Г(с — а — Ь) с / Г(с — а)Г(с — Ь) (Гаусс), (132) Ь' <о Ь ~ ') Г(1 + а — Ь)Г(1) 2а г 1+ о — Ь~,1 Г(1 — Ь+ а)Г(а~1) а 1 — а) 1~ 1 6 Г(г)Г(Ь) ~ 2/ Г(~ь)Г(ь- ~1) 2а 2Ь 1 1 Г(п + Ь + г)Г(г) а+ Ь+ г 2/ Г(а+ г)Г(Ь+ ф) (Куммер), (133) (134) (135) с / Г(Ь)Г(с — Ь) /е которое осуществляет аналитическое продолжение гипергеометри- ческой функции д плоскости, разрезанной вдоль вещественной оси от 1 до +со. При г = 1 этот интеграл сводится к бета-функции Эйлера 1 16-1(1 1)а-6-а-1(г е а значит, к Г(Ь)Г(с — Ь вЂ” а)/Г(с — о). Этот метод позволяет установить соотношения (133)-(135). Второе доказательство опирается на рекуррентное уравнение (с — а)(с — Ь)гР ~ ~г = с<(2с — а — Ь вЂ” 1)х /а Ь! ~ +1! — с+ 1]Ь' ~ ~ г) + с(с — 1)(1 — г)Р ~ г (137) /о Ь! /а Ь с) ) )с — 1 Имеется два классических доказательства формулы Гаусса (132).

Прежде всего рассмотрим интеграньное представление Эй- лера 66 Пьер Картье (непосредственная проверка сравнением коэффициентов при рь). При переходе к пределу при я, стремящемся к 1, последний член исчезаег, откуда (с — а)(с — Ь)Г~ 1) =с(с-а — Ь)Р~ 1) . (138) /а Ь /а Ь 1с+1 ) 1, с Индукцией по целому ти ) О выводим Г 1 = Р 1 .

(139) Затем перейдем к пределу по т; нетрудно заметить, что /а 6 Е ~ с+,„~ 1) стремится к 1 при т, стремящемся к бесконечности, а разложение гамма-функции в бесконечное произведение дает соот-. ношение (и1) ...(ир) - Г(ет)... Г(рр) (ет)о1 (ер)ь1 1 (нт) Г(ер) когда ит +... + ир равно ю1 +... + ер. 4.2. Формула Гаусса особенно интересна, когда Ь вЂ” целое отрица- тельное число. С учетом рекуррентного соотношения Г(8+ и) = 1 (8)(8)ь (141) формула Гаусса после специализации дает а — и (с — а)„ (142)' (143) 6 (ит) (а)6 (с — а)„ \,Ь/ (с)6 (с)„ Остается сделать подстановку а +- — и, с < — е — и — 1, чтобы получить формулу Чу — Вандермонда (144) Но гипергеометрический ряд сводится к конечной сумме, и после' некоторых маницуляций мы получаем соотношение еАВТОМАТИЧЕСКОЕ> ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 67 Вот другие специализации формулы (142)1 ) 1, — — ), )144) (а +- 1, с < — — и + г + 1).

(146) В свою очередь, формула Чу — Вандермонда имеет многочисленные специализации, например ), 11 (147) Аналогичным образом формула Куммера.(133) приходит после специализации к виду 1 — г — 2п — 2п~ '[ ( 1)»(2п)[ (г — 1)., (148) / и! (с+п — 1)! и после нескольких простых манипуляций мы получаем обобщение второй формулы из (2) '(149) Не будем продолжать эту игру: практически всякая формула, представляющая сумму произведений двух биномиальных ковффиццентов, получается специализацией из формул (132)-(135).

4.3. Чтобы двигаться дальше, нужно ввести общие гипергеометри- ческие ряды (см. п. 2.1) Дифференциальное уравнение (128) также обобщается (полагаем 11= ~, ид=т~~)) 11(д+ [41 — 1)... (д+ Ье — 1)Г = (д+ а1),(д+ар)Г. (151) ') Более са)парная список с)4. в [А 11, р. 1ВВ]. 68 Пьер Картье Это непосредственно выводится из трех формул дифференцирова- ния 6 6 ~ Ь 1 Ь (т1+ )р' 6''''6 = '6' 'ь 6 "ь (д+Ь~ — 1)Г ''' ~ з =(61 — 1)6" ' ~" ~ х . (154) Сравним коэффициенты при х~ в двух членах формулы Эйлера (131). Получается соотношение, принадлежащее Пфаффу и Заалшютцу, которое имеет вид а 6 — п ~ '~ (с — а)„(с — 6)„ с а+Ь вЂ” с — и+1~ / (с)„(с — а — 6)„ Нетрудно восстановить теорему Гаусса о зР1 ~, ~ 1), переходя в уа формуле Пфаффа — Заалшютца к пределу при и -е со. Мы выпишем наиболее замечательные соотношения, которые получаются при суммировании общих гипергеометрических рядов: а Ь с а †6 а †с / Г(а + 1)Г(а — Ь+ 1)Г(а — с+ 1)Г($ — Ь вЂ” с+ 1) Г(а+ 1)Г(з — Ь+ 1)Г(з — с+ 1)Г(а — Ь вЂ” с+ 1) (Диксон), 1(а+ 6+ 1) 2с Г(1)Г(с+ 1)Г(ЙНЫ)Г(1 — з — й+') Г( з )Г( з )Г(с — з + з)Г(с — з + з) ,/а Ь с~ хГ(е)Г(1) у/ ! 2з 1Г(ахх)Г( +с)Г(ьх )Г(ь+1) (при условии, что а+ 6 = 1 и е+ у = 2с+ 1).