Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, страница 8

Детерминанты второго и третьего порядков. Найденные нами формулы достаточно громоздки. Для их более компактной записи употребляются детерминанты [или определители) второго и третьего порядков. Расслзотрим четыре числа ам аз, дыда. Из них можно составить таблицу, называемую матрицвй второго порядка; о! Оз А /Зз Число о1Дз — свздз называется детерминантом этой матрицы или де- терминантам второго порядка и обозначается щ оз д1 Дз Теперь выражение векторного произведения в правом ортонормированном базисе перепишется так: оз ез ез о1 ез [а,Ь) = д 1 ед+ З ег+ оз 1 2 ез.

Из компонент трех векторов можно составить таблицу .. матрицу 3 Д.В. Беклемишев Избежать постоннной заботы об ориентации базисов можно двумя способами. Можно договориться при правой ориентации пространства, если не оговорено противное, использовать только правые базисы. Такого соглашения мы и будем придерживаться. Второй способ состоит в том, чтобы не фиксировать заранее ориентацию пространства, а выбирать ее так, чтобы используемый базис был ориентирован положительно.

При таком подходе векторное произнедение всегда вычисляется по формуле [15)., но приходится следить за тем, как нектарное произнеденис направлено. Этот подход принят, например, в литературе по физике. Теорема 3. Смешанное произведение векторов а, Ь и с выражается через их компоненты (ам ош оз), [Ды дз, ® и [ й ~7з~ 7з) в про извольном базисе емез,ез по формуле [а, Ь, с) = [озАТз + свзфз7з + + изАТз — елздз7з — аз А7з — слФзба) [еы ез,. ез). Для доказательства заметим, что [а, Ь,с) = [с, (а,.Ь)) и умножигл скалЯРно обе части Равенства (14) на вектоР с = ",~вез + узез + Тзез, Мы получим гл.

В Вектернал алгебра третьего порядка а1 а2 аз А Рз Дз 71 72 тз Число Дз дз Аг А А А аг " +аг ' +аз 72 тз тз ьй '71 92 или, что то же самое, 2 дз , 1 , 3 Д1 ггз 92 73 71 73 т1 72 а1 112 аз А Д2 ДЗ 71 тг 73 По теореме 3 в новых обозначениях аг аз (а, Ь, с) = А Вз Дз (ег, ез, ез). 71 72 73 В частности, в правом ортонормированном базисе (18) а1 а2 аз 11а,Ь,с) = А А Дз (17) 71 7г 73 При помощи теоремы 2 и определения детерминанта можно получить следующее выражение векторного произведения через компоненты сомножителей в правом ортонормированном базисе: Е1 Ез ЕЗ (а,Ь,с) = а1 аз аз 191 Д2 ггз (18) Детерминанты тесно связаны с системами линейных уравнений, решевня которых удобно записывать с их помощью.

Этим мы зай- мемся в гл. Ъ', а сейчас дадим только геометрическую иллюстрацию. Пусть дана система из трех уравнений агх -~- Ьгу + с12 = ды а2х + ЬЗУ + с22 = дг, азх+ Ьзу+ сзз = дз. Выберем в пространстве некоторый базис и рассмотрим векторы а(а1,аг.,аз), Ь(Ь1,ЬЗ,Ьз), с(сг,сг,сз) и д(дг,дз,дз). Тогда система яв- ляется координатной записью векторного равенства ха+ дЬ+ зс = 11. (19) называется детерминантам этой матрицы или детерлгннантом третьего порядка и обозначается бд. Скалярное, смеьзанное и векторное произведения Поэтолиу решение системы х,у,г коэффициенты разложения с1 по а, Ь и с. Ыы молкем быть уверены, что система имеет единственное решение, если а, Ь и с не компланарпы, т.

е. [а, Ь, с) х: О. Предположим, что это условие выполнено, и найдем решение. Для этого умножим обе части равенства [19) скалярно на векторное произведение [Ь,с]. Ыы получим х[а,Ь,С) = (11,Ь,с), и, следовательно, х равен отношению детерминантов 111 42 дз ал ал аз Ьл Ьл Ьз и Ь1 Ьг Ьз С1 СЛ СЗ С1 С2 Сз Аналогично находятся и остальные неизвестные. Остановимся на следу'лощих свойствах детермнпантов. Из равенств [7) следует, что детерминант меняет знак при перестановке каких-либо двух строк матрицы.

Формула [12) означает, что Лал+ 1лал' Ла.', + ра!,' Лаз + раз Ьл Ьз Ьз Сл Сз сз л л П П П а1 2 аз ал аз аз = Л Ьл Ь2 Ьз + лл Ь~ Ьз Ьз С1 Сз СЗ Сл Сз СЗ ал аз 112 ллз [20) аз ал Дз 61 7. Условии коллииеариости и комплаиарности. Начнем со следующего полезного предложения. П редложение 6. Каков бы ни был базис ел,ез,ез, покорные векторные произведения базисных векторов линейно независимы.

Докажем это от противного. Рассмотрим равенство Л[ел, ез) + р[ез, ел) + и[ел, ег) = 0 и допустим, что какой-нибудь коэффициент, пусть для определенности Л, отличен от нуля. Умножив обе части равенства скалнрно на ел, мы полУчим Л[ел,ел, ез) = О. ПолУченное пРотивоРечие Доказывает наше предложение. Следующие предложения дают условия на компоненты векторов в произвольном базисе, необходимые и достаточные для компланарности или коллинеарности векторов. Предложение 7. Равенство нулю детерминанта ллатрииьл из компонент трех векторов необходимо и достаточно для колтланарности векторов. Это сразу следует из формулы (16), поскольку [ел, ез, ез) ф О. Предложение 8.Пусть[11„112гиз) и[В1,,32,62) компоненты векторов а и Ь в некотором базисе.

Векторы а и Ь коллинеарны тогда и только тогда, когда гл. б Векгпорнал алгебра Достаточность условия очевидна: из равенств [20) по формуле [14) следует обращение в нуль [а, Ь), что равносильно коллинеарности векторов. Заметим, что мы пользуемся формулой (14), которая справедлива дли произвольного базиса. Наоборот, из обращения в нуль [а, Ь] и формулы (14) л1ы могкем вывести (20), так как в силу предложения 6 векторы [ег,ез), [ез, е1] и [е„ег) линейно независимы. В планиметрии признак коллинеарности двух векторов дает Предложение 9. Обращение в нуль детерминанта матрицы из компонент двух векторов на плоскости необходимо и достаточно для коллинеарности этих векторов. Для доказательства будем считать, что плоскость помещена в пространство и базис в этой плоскости дополнен третьим вектором до базиса в пространстве. Тогда векторы а(аг,сх2) и Ь[Ды В2) на плоскости имеют компоненты (аг,а2,0) и [121,62,0) относительно базиса в пространстве.

Применяя предложение 8, получаем условно о1 о2 А Ф> Остальные два детерминанта равны нулю, так как схз =,Вз = О. 8. Площадь параллелограмма. Если в пространстве заданы два неколлинеарных вектора, имеющих общее начало, то площадь параллелограмма, построенного па этих векторах, может быть найдена через их компоненты в ортонормированном базисе по формуле Я = [[а Ь][ = (агуз — сгздз)~ + [азВ1 — а1Дз)2 + (сг162 — а261)2.

[21) Еще одно выражение для площади параллелограмма мы получим, если заметим, что [[а, Ь][ = ]а[ [Ь[2 гйп 1с = ]а[2]Ь[ [1 — созе у1). В результате )а[2 (а, Ь) [ Ь) а[]2 [22) Найдем теперь площадь ориентированного параллелограмма на ориентированной плоскости. Можно считать, что ориентация плоскости определена вектором и, перпендикулярным плоскости и составляющим правую тройку с положительным базисом на плоскости. Более того, будем предполагать, что ]п[ = 1. Пусть дан ориентированный параллелограмм, построенный на векторах а и Ь. Рассмотрим скалярную проекцию Прп[а, Ь]. Так как [а, Ь] и п коллинеарны, проекция по модулго равна [[а, Ь]], т.

е, площади параллелограмма. Она положительна, если [а, Ъ] и п сонаправлены, и отрицательна в противном случае. Но вектор [а, Ь) сонаправлен с и, если пара векторов а, Ь на плоскости ориентирована положительно. Поэтому Пр [а, Ь] равна площади ориентированного параллелограмма, построенного на а и Ь. По определению проекции За[а, Ь) = [и, а, Ь) б2. Скалярное, омешаккое и векторное произведения [напомним, что [и[ = 1). На плоскости выберем произвольный [не обязательно положительный) базис еы ез. Примем и за третий базисный вектор и выразим смешанное произведение через координаты сомножителей: 0 0 1 Яь[а,Ъ) = си ог 0 [еыез.,п).

)51 да 0 Вычисляя детерминант, находим, что оп равен о~Да — оз)5ы и полу- чаем окончательное выражение [23) Ба[а,Ь) =,5 о Яь[еыег). 11 Дг Эта формула сходна с формулой [16). По существу это та же формула, написанная для двумерного пространства. Если еы ез --. положительный ортонормированный базис, то Яь[а, Ь) = о1дз — глад~ [24) Для площади неориентированного параллелограмма в ортонормированном базисе мы получаем формулу Я = [сг~)5а — гл Д[, [25) которая следует и из (21). 9.

Двойное векторное произведение. Выражение [а, [Ь, с]] называется двойнм.к ввкторкым произведением. Докажем, что [а, [Ь, с]] = [а, с)Ь вЂ” [а, Ь) с. [26) С этой цепью выберем правый ортонормиронанный базис е„еа,ез так, чтобы е1 был коллинеарен Ь, а еа был компланарен Ь и с. Тогда Ь = Деы с = узе1+ П еа и а = аче1 + гггег + озез. Отсюда получаем [Ь, с] = )5 узез и [а, [Ь, с]] = — глз[5'узел + огд'угеь С друтой стороны, [а, с)Ь = (озйз + оз'Уз))5еы [а, Ь)с = оз)5[ Пез + 'Узел).

Разность правых частей двух последних равенств совпадает с найденным выше двойным векторным произведением. Это заканчивает доказательство. 10. Биортогоиальиый базис. Дадим следующее Определение. Базис, составленный из векторов [еь ез] „[еи е1] „[еь ез] (ек ез, ез) ' (ек еь ез) ' ' [еь еь ез) ' называется взаимным или биортогокальным для базиса ем ел,ез. Из предложения 6 вытекает, что е*, е.', е.* не компланарны и действительно образуют базис. Название "бнортогональный" связано с тем, Гл.