Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, страница 4

Пусть а ~ О. Тогда по предложению 2 Ь раскладывается по а. Таким образом, в любом случае коллинеарные векторы линейно зависигиы. Обратно, из двух линейно зависимых векторов один обязательно раскладывается по другому и, следовательно, ему коллинеарен. 3. Пусть векторы а, Ь и с комплацарны. Если а и Ь коллинеарны, то они линейно зависимы, и тогда линейно зависимы все три вектора. Пусть а и Ь не коллинеарны. Разложим с по ним. Для этого поместим начала всех векторов в одну точку О (рис.

2) и проведем через конец С вектора с прямую, параллельную Ь, до пересечения н точка Р с прямой, на которой лежит а. о Р (Это построение возможно, так как вак- Рис. 2 торы а и Ъ не коллинеарны и, в частности, оба ненулевые.) Теперь ОС = ОР+ РС, причем ОР и РС коллинеарны соответственно а и Ь. По доказанному выше найдутся числа а и Д такие, что ОР = аа и РС = ДЬ. Таким образом, с = = па + ВЬ. Это означает, что а, Ь и с линейно зависимы. Обратна, если а, Ь и с линейно зависимы, то один из них раскладывается по двум другим и, следовательно, иги компланарен. 4. Рассмотрим четыре вектора а, Ь, с и с1. Если а, Ъ и с компланарны, то они линейно зависимы сами по себе и вместе с вектором с1. Пусть а, Ь и с не компланарны.

Аналогично предыдущему докажем, что с1 раскладывается тз по ним. Поместим начала всех векторов в одну точку О (рис. 3) и проведем через конец Р с и вектора с1 прямую, параллельную с, до пересечения в точке Р с плоскостью, на которой лежат а и Ь. Теперь ОР = ОР + РВ, причем <1Р Р компланарен а и Ъ, а РВ коллинеарен с. По О и доказанному выше ОР раскладывается по а и Рис. 3 Ь, а РР -- по с. Значит, с1 разложен по а, Ь и с и составляет с ними линейно зависимую систему.

Теорема доказана. 1б Гл. В Векнюрнал алгебра 6. Базис. В конце п. 4 было дано определение векторного пространства. Введелз следующее Определение. Базисом в векторном пространстве называется упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства по пей раскладывается. Из теоремы 1 сразу вытекает, что ° В нулевом пространстве базиса не существует. ° В одномерном пространстве (на прямой линии) базис состоит из одного ненулевого вектора.

° В двумерном пространстве (на плоскости) базис упорядоченная пара неколлинеарных векторов. ° В трехмерном пространстве базис упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Требование упорядоченности означает, что, например, в случае плоскости а, Ь и Ь,а два разных базиса. Так как векторы базиса линейно независимы, коэффициенты разложения по базису для каждого вектора пространства определены однозначно.

Они называются компонентами или координатами вектора в этом базисе. Таким обРазом, если е1, ег, ез базис тРехмеРного пРостРанства, то по формуле а = о1е1+ озез+ озез каждому вектору сопоставлена единственная упорядоченная тройка чисел о1, оз, оз и каждой тройке чисел единственный вектор. Аналогично, вектор на плоскости имеет две компоненты, а на прямой одну. Компоненты пишутся в скобках после буквенного обозначения вектора, например а(1, О, 1) .

В аналитической геометрии геометрические рассуждения о векторах сводятся к вычислениям, в которых участвугот компоненты этих векторов. Следующее предложение показывает, как производятся линейные операции над векторами, если известны их компоненты. Предложение 5. При умножении вектора на число все его компоненты умножаются на это число.

При сложении векторов складываютсл их соотвегпспгвующие компоненпгы. Действительно, если а = о,е, + озез + озез, то Ла = Л1о1ег + озез+ озез) = (Ло1)е1+ (Лаз)ез+ (Лаз)ез. Если а = оге1+ олег+ озал и Ь = Дге1+ Взел -Ь )3зез, то а + Ь = (оге1 + азез + азез) + (Д1 е1 + 13зез + Пзез) = = (о1+ Д1)е1+ (оз + Пз)ез + (оз + Дз)ез. Для одномерного и двумерного пространств доказательство отличается только числом слагаемых.

40. Системы координат 17 Упражнения 1. Докажите, что точка С лежит на отрезке АВ тогда и только тогда, когда существует число Л Е [О, 1) такое, что для любой точки О выполнено ОС = ЛОА+ [1 — Л)ОВ. Если Л дано, то в каком отношении точка С делит отрезок АВ7 2. Дан правильный шестиугольник АВСРЕР, [АВ[ = 2. Найдите координаты вектора АС в базисе АВ, АР. 3. В некотором базисе на плоскости заданы координаты вектороа а[1, 2), Ъ[2, 3) и с[ — 1, 1). Проверьте, что а и Ь линейно независимы, и найдите координаты с в базисе а, Ь.

4. Даны три точки А, В и С. Найдите такую точку О, что ОА+ + ОВ -Ь ОС = О. Решив аналогичную задачу лля четырех точек, докажите, что в треугольной пирамиде отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граавй, пересекаются в одной точке. 2 2. Системы координат 1. Декартова система координат. Фиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку ЛХ. Радиус-вектором точки ЛХ по отношению к точке О называется вектор ОМ. Если в пространстве кроме точки О выбран некоторый базис, то точке М сопоставляется упорядоченная тройка чисел компоненты ео радиус- вектора. О и р е д ел е н и е. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.

Точка носит название начала координат. Прямые, проходящие чорез начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат: первая осью абсцисс, вторая осью ординат, третьл -- осью аппликат. Плоскости., проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Определение. Пусть дана декартова система координат О, е,, ег, ез. Компоненты х, у, з радиус-вектора ОЛХ точки М называются координатами точки М в данной системе координат: ОЛХ = хе + уег + лез. Первая координата называется айсциссой, вторан -- ордииатой, а третья — — аппликатой. Аналогично опрсделнются координаты на плоскости и на прямой линии.

Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты, а на прямой линии --. одну. АН?г, 1?г) Координаты т<шки пишут в скобках после буквы, обозначающей точку. Например, запись А[2,1/2) означает, что точка А имеет координаты 2 и 1?2 в ранее выбранной декартовой Р е, системе координат на плоскости (рис. 4). г Д.В. Беклемишев Гл. Л Векгаарнал алгебра 18 А(хи иь ег) 2. Деление отрезка в заданном отношении. Найдем координаты точки Лд на отрезке АВ, которая делит этот отрезок в отнощении Л/р. т, е. удовлетворяет условию — л>о, р>о ~мв~ (рис. 6).

Это условие можно переписать в виде ВАЛй = ЛлтВ. (1) Обозначив через (х1,у1,г1) и (хг,уз;гг) соответственно координаты точек А и В, а через (х,д,г) координаты точки Л1, разложим обе части равенства по базису, причем компоненты векторов .4ЛТ и ЛТВ найдем по предложению 1. Тогда р(х — х1) = Л(хг — х), .р(у — д1) = Л(дг — д), р(г — г1) = Л(гг — г). Координаты точки, как и компоненты вектора, величины безразмерные. В частности, они не зависят от выбранной единицы измерения длин. В самом дело, раскладывая векторы в теореме 1, мы сводили дело к разложени1о вектора по коллинеарному с ним ненулевому вектору. Л в этом случае компонента равна отношению длин, взнтому с определенным знаком (предлояеение 2).

Легко видеть, что при заданной системе координат координаты точки определены однозначно. С другой стороны, если задана система координат, то для каждой упорядоченной тройки чисел найдется единственная точка, имеющая эти числа в качество координат. Система координат на плоскости определяет такое же соответствие между точками плоскости и парами чисел. Задание системы координат на прямой линии сопоставляет каждой точке вещественное число и каждому числу -- точку. Рассмотрим две точки А и В, координаты которых относительно некоторой декартовой системы координат О, ег,ег,ез соответственно х1,уг,.г1 и хг,уг,га.

Поставим себе задачу найти компоненты вектора АВ. Очевидно, что АВ = О — 0.4 (рис. 5). Компоненты радиус-векторон 0.4 и ОВ равны (х1, д1, г1) и (хз, уг, гг) по определению координат. Из предложения 5 81 следует, что АВ имеет компоненты (хз — х1, уг — у1, з — г1). Этим доказано следующее Предложение 1. Чтобы найти координаты вектора, нугкна из координат вга конца вычесть координаты ега начала. Хй.

Системы координат 19 Из этих равенств можно найти х, д и г, поскольку Л + р Х- .О: рх1+ Лхг рщ + Луг рх3 + Лхг (2) х= 1/ = Л+р ' Л+и ' Л+р Если в формулах (2) мы будем считать одно из чисел Л или р отрицательным, то из равенства (1) увидим, что ЛХ находится на той же прямой вне отрезка .4В, деля его в отношении ~Л/р~. Поэтому из формул (2) можно найти координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении как внутренним, так и внешним образоьс На плоскости и оа прямой линии задача о делении отрезка решается точно так же, только из трех равенств в (2) остается соответственно два и одно равенство.