Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, страница 2

248 1. Закон преобразования коэффициентов (248). 2. Линии второго по- рндка на плоскости (25Ц. 3. Ортогональные инварианты (252). 4. По- верхности второго порндка (253). ГлдВА !х ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОИ АЛГЕБРЫ Тензоры в линейном пространстве 259 1. Вводные замечания (259).

'2. Обозначении (259). 3. Определение и примеры (26Ц. 4. Линейные операции (264). 5. Умножение тензо- ров (265). 6. Свертывание (266). 7. Транспонирование (268). 8. Сим- мотрирование и альтернирование (269), 9, Замечание (270). 10. Сим- метричные и антисимметричные тензоры (27Ц. Тензоры в евклидовом пространстве ...................

273 !. Метрический тензор (273). 2. Подая!не и опускание индексов (273). 3. Евклидовы тензоры (274). Полнвекторы. Внешние формы 277 1. р-векторы (277). 2. Относительные инварианты (279). 3. Внешние формы (280). 4. Вне!цнее умножение (28Ц. ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ бета А, о альфа Е, е Эпсилон 1, г Иота М, и ню Р,р ро ф ф фи дзета К, к каппа Е,б кои Е, о сигма Г., 1 гамма 11, и эта Л, Л лямбда О, о омикрон Т, т тау ф ф пои Ь, о дельта О, 0 тета М,р мю П, и ри У,о ипсилон й,м омега ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга отражает многолетний опыт преподавания соответствующего курса в Московском физико-техническом институте. Особенности подготовки студентов МФТИ вызывают необходимость ускоренного изложения курса математики., по объему приближающегося к университетскому.

В связи с этим аналитическая геометрия излагается так, чтобы на простом и доступном материале подготовить студента к изучению линейной алгебры. Собственно линейной алгебре, т. е, теории линейных пространств, предпослана большая глава о системах линейных уравнений и матрицах. Ее цель — дать читателю исследование систем линейных уравнений, независимое от методов линейной алгебры. В этой же главе собраны и другие сведения, необходимые для дальнейшего. Настоящее издание существенно отличается от предыдуших. Произведены две перестановки материала: в теории определителей используется умножение матриц и элементарные операции. теория евклидовых пространств излагаетсн после квадратичных форм. Добавлены параграфы о теореме Жордана и о внешних формах.

Кроме того, сделан ряд других дополнений и изменений. В конце каждого параграфа добавлены упражнения, снабженные ответами и указаниями. Произведены также некоторые сокращения. В настоящем издании улучшены некоторые доказательства и исправлены погрешности предыдущего. В частности, ранг матрицы изучается независимо от теории определителей. Добавлена теорема о приведении матрицы линейного преобразовании к треугольному виду. Более подробное представление о строении книги люжно получить из оглавления. Мне хочется с благодарностью отметить то влияние, которое оказали на эту книгу преподаватели кафедры высшей математики МФТИ, больше других все, читавшие лекции по курсу аналитической геометрии и линейной алгебры. Особенно я благодарен проф. А.А.

Абрамову, проф. Л.А. Беклемишевой, чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрнвцеву, проф. В.Б. Лидскому, акад. Л.В. Овсянникову, проф. С.С. Рышкову, проф. С.А. Теляковскому. ГЛАВА 1 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА й 1. Векторы 1. Предварительные замечания. Первые главы этой книги можно рассматривать как продолжение школьного курса геометрии. Известно, что каждая математическая дисциплина основывается на некоторой системе не доказываемых предложений, называемых аксиомами. Полный перечень аксиом геометрии, так же, как и обсуждение роли аксиом в математике, можно найти в книге Н.В.

Ефимова [5). [Цифры в квадратных скобках означают ссылки на список рекомендуемой литературы, помещенный в конце книги.) Мы не ставим себе целью изложение логических основ предмета и потому просто опираемся на теоремы, доказываемые в курсе элементарной геометрии. Равным образом мы пе пытаемся дать определения основных геометрических понятий: точки, прямой, плоскости. Читатель, интересующийся их строгим введением, может обратиться к той же книге Н.В.

Ефимова, мы же просто будем считать, что эти и другие введенные в школьном курсе математики понятия известны читателю. Предполагаются также известными определение вещественных [действительпых) чисел и их основные свойства. [Строгая теория вещественного числа приводится в учебниках математического анализа.) Будет широко использоваться то обстоятельство, что при выбранной единице измерения каждому отрезку можно сопоставить положительное вещественное число, называемое его длиной. Единицу измерения длин мы будем считать выбранной раз и навсегда и, говори о длинах отрезков, не будем указывать, какой единицей они измеряются. 2.

Определение вектора. Понятие вектора также известно из школьного курса, но лучше напомнить основные факты, с ним связанные. Пару точек мы называем упорядоченной, если про эти точки известно., какая из них первая, а какая -- вторая. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется направленным отрезком или вектором. Первый из его концов называется началом, второй -- концом вектора. К векторам относится и нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.

Направление вектора на рисунке принято обозначать стрелкой, над буквенным обозначением вектора тоже ставится стрелка, напри- |о Гл. й Векгиорнал алгебра л|ер АВ (при этом буква, обозначающая начало, обязательно пишется первой). В книгах буквы, обознача|ошие векторы, набираются полужирным шрифтом, например а. Нулевой вектор обозначается О.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (а также модулем или абсолютной величиной). Длина вектора обозначается ~а~ или ~АВ~. Векторы называются коллинеарными, если существует такая прямая, которой они параллельны. Векторы компланарны, если существует плоскость, которой они параллельны. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления. Длина его, разумеется, равна пул|о. Определение 2.

Два вектора называются равными, если оци коллинеарны, одинаково направлены и ин|еют равные длины. Из этого определения вытекает, что, выбрав любую точку А', мы можем построить (и притон| только один) вектор (А'В'), равный некоторому заданному вектору ~АВ~, или, как говорят, перенести вектор ~АВ~ в точку А'.

3. О другом определении вектора. Понятие равенства векторов существенно отличается от понятия равенства, например, чисел. Каждое число равно только самому себе, иначе говоря, два равных числа при всех обстоятельствах к|агут рассматриваться как одно и то же число. С векторами дело обстоит по-другому: в силу определения существуют различные, но равные между собой векторы. Хотя в большинстве случаев у нас не будет необходимости различать их между собой, вполне может оказаться, что в какой-то люмент нас будет интересовать именно вектор АВ, а не равный ему вектор А'В'. Для того чтобы упростить понятие равенства и снять некоторые свлзанные с ним трудности, иногда идут на усложнение определения вектора.

Мы не будем пользоваться этим усложненным определением, но сфорьлулируем его. Чтобы нс путать, будем писать "Вектор" (с большой буквы) для обозначения определяемого ниже понятия. Определение 3. Пусть дан направленный отрезок. Множество всех направленных отрезков, равных данному в смысле определения 2, называется Вектором. Таким образом, каждый направленный отрезок определяет Вектор. Легко видеть, что два направленных отрезка определяют один и тот же Вектор тогда и только тогда, когда они равны согласно определению 2. Для Векторов, как н для чисел, равенство означает совпадение. Из начального курса физики хорошо известно, что сила может быть изображена направленным отрезком. Но она не может быть изображена Вектором, поскольку силы, изображаемые равными направленными отрезками, производят, вообще говоря, различные действия.

(Если сила действует на упругое тело, то изображающий ее отре- е Д Векторы зок не может быть перенесен даже вдоль той прямой, на которой он лежит.) Это только одна из причин, по которой наряду с Векторами приходится рассматривать и направленные отрезки. При этих обстоятельствах применение определения 3 осложняется большим числом оговорок. Мы будем придерживаться определения 1, причем по обгцему смыслу всегда будет ясно, идет речь об определенном векторе или на его место может быть подставлен любой, ему равный.

В связи со сказанным стоит разъяснить значение некоторых слов, встречающихся в литературе. Вместо определения 2 можно ввести для векторов другое определение равенства, согласно которому векторы равны, если они равны по длине, лежат на одной прямой и направлены в одну сторону. В этом случае вектор не может быть перенесен в дюбуа~ точку пространства, а переносится только вдоль прямой, на которой он лежит. При таком понимании равенства векторы называются скользящими векторами. В механике сила, действующая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором. Можно для векторов не давать никакого особого определения равенства, т.