Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, страница 7

3. Площадь ориентированного параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда. Если прямая ориентирована, то длине ненулевого вектора на ней можно приписать знак: считать длину положительной, если вектор ориентирован положительно, и отрицательной в противоположноы случае. Именно так мы приписываем знак длине векторной проекции, когда определяем скалярную проекцию. Обобщим это определение. Рассмотрим параллелограмм, построенный на двух векторах так, что две его смежные стороны являются векторами с общим началом.

Параллелограмм называется ориентированным, если пара векторов, на которой он построен, упорядочена. На ориентированной плоскости параллелограмм считается положительно или отрицательно ориентированным, смотря по тон|у, как ориентирована определяющая его пара векторов. На ориентированной плоскости принято считать площадь ориентированного параллелограмма числом со знаком: она равна площади параллелограмма (положительна), если параллелограмм ориентирован положительно, и ранна той же площади со знаком минус, если отрицательно.

Мы будем обозначать плошадь ориентированного параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, через Яь(а, Ь). Рассмотрим теперь параллелепипед, построенный на трех векторах так, что три его ребра, исходящие из одной вершины, являются векторами с общим началом. Параллелепипед называется ориентированныл|, если зти три ребра упорядочены. В ориентированном пространстве ориентация параллелепипеда положительна или отрицательна смотря по том|у, какук| тройку образуют векторы, на которых он построен.

В ориентированном пространстве объем ориентированного параллелепипеда число со знаком: объем положительно ориентированного параллелепипеда считается положительным, а отрицательно ориентированного . — отрицательным. При выбранной нами правой ориентации пространства положительными считаются объемы ориентированных параллелепипедов, построенных на правых тройках нектаров. Гл.

й Векторная алгебра зо 4. Смешанное произведение. Если пространство ориентировано, мы можем ввести Определение. Смешанным произведением векторов а, Ь и с (в данном порядке) называется число, равное объему ориентированного параллелепипеда, построенного на этих векторах, если они не компланарны, и равное нулю, если компланарны. Смешанное произведение векторов а, Ь и с обозначается (а, Ь,с). При перестановке сомножителей в смешанном произведении, самое большее, может измениться только ориентация тройки векторов.

Поэтому абсолютная величина смешанного произведения не зависит от порядка сомножителей. Для любых векторов а., Ь и с мы получаем, сравнивая ориентации троек векторов (схь рис. 14), (а, Ь, с) = (с, а, Ь) = (Ь, с, а) = — (Ь, а, с) = — (с, Ь, а) = — (а, с, Ь) . (7) Следуюшее предложение устанавливает связь между скалярным произведением и смешанным произведением. Предложение 3. Каковы бы ни были векторы Ь и с, найдетск единственный (ке зависящий от а) вектор с1 такой, что при любом а выполнено равенство (8) (а, Ь, с) = (а,с1).

Д о к а з а т е л ь с т в о Докажем сначала существование вектора с1, а потом установим, что такой вектор возможен только один. Пусть векторы Ь и с коллинеарцы. Тогда при любом а векторы а, Ь и с компланарны и (а, Ь,с) = О. Поэтому мы можем положить с1 = О. Рассмотрим неколлинеарные векторы Ь и с и предположим сначала, что а, Ъ и с нс компланарцы.

Построим на них ориентированный параллелепипед и при- Н мем за его основание параллелограмлц поста роенный на Ь и с (рис. 18). Введем ориентацию на прямой ОХ, перпендикулярной основанию. Мы зададим ее с помощью вектора и длины 1, составляющего с Ъ и с правую тройку и, Ь, с. (Тройка Ь, с, и также правая.) Рвс. 15. Здесь трой- (а,п) -- скалярная проекция вектора а яа а, Ъ, с левая на и.

По модулю опа равна высоте параллелепипеда ОН, а знак ее определяется ориентацией тройки а, Ь,с. Действительно, (а,п) ) О тогда и только тогда, когда концы векторов а и п лежат в одном полупространстве, т. е. тройка а, Ь,с правая так гке, как п,Ь,с. Таким образом., (а,п) положительно для правой тройки а, Ь,с и отрицательно для левой. Пусть положительное число 5 площадь основания параллелепипеда. Тогда произведение (а,п)Я по модулю равно объему параллелепипеда, а знак ого совпадает со знаком (а,п). Это значит, .что (а, Ь,с) = Я(а,п).

Полученное равенство совпадает с (8), если с1 = Яп. ЗЛ'. Скалярное, смешанное и векторное проюведения Осталось рассмотреть случай, когда Ь и с не коллинеарны, а а, Ь и с компланарны. В этом случае а лежит в плоскости векторов Ь и с и, следовательно, ортогоцален вектору Й, вычисленному по формуле [9). Поскольку [а, Ь,с) = 0 и [а,п) = О, вектор [9) удовлетворяет равенству [8) и в этом случае. Итак,мы нашли вектор, который удовлетворяет [8) при любох|а и определяетсн только по Ь и с.

Допустим, что для фиксированных Ь и с нашлось два вектора с11 и с1з таких, что для любого а выполнено [а, Ь, с) = [а, с11) и [а, Ь, с) = = (а,с1з). Отсюда следует, что [а,с11) = [а, с1з) или [а,й~ — с1з) = О. Поэтому вектор с1, — с1з ортогонален каждому вектору пространства и, следовательно, равен нулевому вектору.

Это доказывает, что вектор с1, определяемый формулой [8), может быть только один. Предложение полностью доказано. Опишем еще раз, как вектор с1 определяется по Ь и с. 1. Если Ь и с коллинеарны, то с1 = О. 2. Если Ь и с пе коллинеарны, то; а) ]с1] = Я = ]Ъ]]с]з1п~р, где р угол между Ь и с; б) вектор П ортогонален векторам Ь и с; в) тройка векторов Ь,с,с1 имеет положительную ориентацию. При нашем выборе ориентации пространства — — это правая тройка. Определение. Вектор с1, определенный перечисленными выше условиями, или, что то же, формулой [8), называется векторным произведением векторов Ь и с.

Подчеркнем, что векторное произведение, как и смешанное, определено только для ориентированного пространства. Разумеется, необходим также выбор единицы измерения длин. Векторное произведение векторов Ь и с обозначают [Ь,с] или Ь х с. Используя это обозначение, мы можем записать формулу [8) в виде [а, Ь, с) = [а, [Ь, с]).

[10) Благодаря этому равенству смешанное произведение и получило свое название. Пример 1. Пусть еыез,ез правый ортонормированный базис. Тогда при выбранной нами правой ориентации пространства [ез,ез] = еы [ез,ез] = ез, [ем ее] = ез. [11) Если Гы Бз, Гз левый ортонормированный базис, то [1з; 1з] = -1ы [7з, Ц = - 6з, [1ы 1з] = -1з Предложение 4. Векторное умножение антикоммутвтивно, т. е. для лебит векторов [Ь, с] = — [с, Ь].

Действительно, если [а, Ъ, с) = [а, с1), то (а.,с, Ь) = — (а,п) = [а, [ — и)). Получим теперь свойство линейности смешанного и векторного произведений по каждому из сомножителей. Применяя предложе- зг Гл. Е Веккюрная алгебра ние 2 к скалярному произведению (Лаз + даг, [Ь, с]), мы получим (Лаз + раг, Ь, с) = Л(аы Ъ, с) + д(аг, Ъ, с). (12) Из равенств (7) следуют аналогичные тождества для остальных сомножителей. Например, длн второго сомножителя (а, ЛЬг + рЪг, с) = Л(а, Ьы с) + р(а, Ьг, с).

(13) Действительно, мы можем переставить интересующий нас сомножитель на первое место., раскрыть скобки, а затем выполнить обратную перестановку. Предложение 5. Для любых векторов Ьы Ьг ос и любых чисел Л и р имеет место равенство [ЛЪ| + рЪг.с] = Л[Ьыс] + р[Ьг,с]. В самом деле, правой части формулы (13) можно придать вид (а, Л[Ъы с]) + (а, р[Ьг, с]). Поэтому по предложению 2 получаем (а, [ЛЬг + рЬг, с]) = (а, Л[Ьы с] + р[Ьг, с]). Так как это верно длн любого вектора а, мы можем, выбрав ортопормировапный базис еы ег, ез, подставить на место а последовательно каждый вектор этого базиса.

В силу предложения 1 мы получим равенство всех компонент векторов [ЛЬ| + рЬгч с] и Л[Ьы с] + р[Ьг, с], а отсюда и равенство векторов, которое нам нужно было доказать. Линейность векторного произведения по второму сомножителю можно получить из свойства антикоммутативности. 5. Выражение векторного н смешанного произведения через компоненты сомножителей. Если заданы разложения векторов а и Ь по векторам некоторого базиса ем ег, ез, то мы можем раскрыть скобки: [а Ь] = [(о1е1 + огег + озез) (33з е1 + Вгег + Ввез)] = = (о1г3г — огг3г)[емег] + (ог(3з — оздг)[ег,ез]+ + (оз/Зг — ог Вз) [ез, ег].

(14) Здесь использовалась антикоммутатинность векторного умножения и то, что векторное произведение двух одинаковых сомножителей нулевой вектор. В примере 1 были сосчитаны попарные вскторныс произведения векторов ортонормированного базиса. Поэтому из формулы (14) следует Теорема 2. В положительно ориентированном ортонормированном базисе векторное произведение выражается через компоненты сомножителей формулой [а, Ь] = (о Дз — оч)3г)ег + (оздг — ы,33з)е + (огфг — пгниг)ез. (15) Если базис ориентирован отрицательно, перед правой частью этой формулы следует поставить знак минус.

зл. Скалярное, смешанное и векторное проюведения [а, Ь,с) = ",~[сеюЗз — озфз)[еы [ез,ез)) -ь + 'уз(озА — ондз) [ез, [ез, е1)) Ч уз(елзфз — огд1) [ез, [еы ез)). [Слагаемые, содержашие смешанные произнедения с одинаковыми сомножителями, мы не выписываем, так как они равны нулю.) Отсюда, учитывая равенства [7) и приводя подобные члены, получаем нужный нам результат. 6.