Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, страница 10

° Если Рл и Рт уравнения множеств 5 и Т, то уравнение объединении НОТ высказывание, состоящее в том, что из Рз и Рт верно хотя бы одно. Такое высказынание обозначается Ря 'У Рт. ° В случае, когда Рл и Рг - — равенства, содержащие координаты точки, Рл(х, у, е) = О и Рг(х у, з) = О, у равнение объединения можно написать в виде Гз(х, у, з) Рт(х, у, з) = О. ° Если Рл и Рт . уравнения множеств Я и Т и Я есть подмножество Т, то из Рл следует Рт.

° Множества Я и Т совпадают тогда и только тогда, когда их уравнения эквивалентны, т. е. из Ря следует Рг, а из Рт следует Рэ. Проиллюстрируем два последних утверждения. Уравнения (1) и (2) эквивалентны. Переходя от (2) к (1), мы можем не ставить двойного Гл. Н. Прямые линии и плоскости 42 знака перед корнем, так как г ) О. Наоборот, уравнение (3) не эквивалентно уравнению (2). Действительно, хотя возведением в квадрат можно получить (2) из (3), при извлечении корня из (2) мы получаем г — с'=х Это означает, что равенство (2) выполнено не только для точек, удоя- летворяюших (3), но и для точек, удовлетворяющих уравнению (4) Уравнение (2) следует также и из (4). Таким образом, уравнения (3) и (4) определяют части сферы "верхнюю' и "нижнюю" полусферы.

Иногда два последних утверждения считают определенинми атношений яследуетя и зэквивалептное для уравнений. 2. Алгебраические линии и поверхности. Изучение произвольных множеств точек задача совершенно необъятная. В этом пункте мы определим сравнительно узкий класс множеств, все ете чересчур широкий для того., чтобы быть подробно изученным. Определение. Алгебраической поверхностью называется множество точек, которое в какой-нибудь декартовой системе координат люжет быть задано уравнением вида (б) где все показатели степени -- целые неотрицательные числа. Наиболыпая из сумм' кз + 1г + ты ..., й„+ 1„+ т, называется степенью уравнения, а также порядком алгебраической поверхности. Это определение означает, в частности. что сфера, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид (2), являетсн алгебраической поверхностью второго порядка.

Определение. Алгебраической линией на плоскости называется мно'кество точек плоскости, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением нида А„хви у" + ... + А,х" у' = О, (б) где все показатели степени . целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм йг + 1г, ..., и, + 1з называется степенью уравнен я, а также порлдколг алгебраической линии. Легко видеть, что алгебраическая поверхность не обязательно является поверхностью в том смысле, который мы интуитивно придаем *) Разумеетсн, адесь имеется в виду наибольшая из сумм, фактически входящих в уравнение, т. е. предполагается, что после припедення подобных чяонов найдется хотя бы одно слагаемое с ненулевым нозффипиентом, имеющее такую сумму показатеясй. Вто же замечание относится и к опредезению порндка алгебраической яинии, приводимому ниже.

41. Оби1ее понятие об уравнениях 43 этому слову. Например, уравнению хз + уг + 21 + 1 = О не удовлетворяют координаты ни одной точки, уравнение (хе+ уз+ 22)[(х — 1) + (у — 1) + (г — 1)2] = О определяет две точки, уравнение у' + 22 = О определяет линию (ось абсцисс). Такое зке замечание надо сделать и об алгебраических линиях.

Читатель сам сможет найти соответствующие примеры. Приведенные определения имеют существенный недостаток. Именно, не известно, какой нид имеет уравнение поверхности в какой-нибудь другой декартовой системе координат. Если жс уравнение и имеет в другой системе координат уравнение нида (5), то порядок какого из этих уравнений мы будем называть порядком поверхности? Те же вопросы возникают и об алгебраических линиях. Ответом служат следующие теоремы. Теорема 1.

Алгебраическая поверхность порядка р в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида (5) порядка р. Теорема 2. Алгебраическая линия порядка р на плоскости в любой декартовой системе координат может бь1ть задана уравнением вида (6) порядка р. Обе теоремы доказываются одинаково. Докажем, например, теорему 2. Для этого перейдем от системы координат О,е1,ез, о которой шла речь в определении, к произвольной новой системе координат О', е', е! . Старые координаты х, у связаны с новыми координатами х', у' формулами (7) Х 3 гл.

1: + агу + по "': = о1х +'11у + по. 1,2 1 ~ 1,, 2 ~ 2 ~ 2 (7) Чтобы получить уравнение линии в новой системе координат, подставим в ее уравнение Г(х, у) = О выражения х и у через х' и у'. При умножении многочленов их степени складываются. Поэтому (а,'х' + +азу'+ао)" многочлеп степени Й относительно х' и у', а (а х'+азу'+аг)' многочлен степени 1. Таким образом, каждый одночлен вида Ахьу' есть многочлен степени Й + 1 относительно х' и у'.

Степень сумлзы многочленов не выше максимальной из степеней слагаемых. (Она окажется ниже, если члены с максимальными степенями уничтожатся.) Итак, мы доказали пока, что алгебраическан линия в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением С(х', у') = О вида (6), причем степень многочлена С(х', у') не больше степени многочлена г'(х, у), т. е.

степень уравнения не повышается. Нам осталось доказать, что степень уравнения не может и понизиться, а потому не меняется при переходе к другой системе координат. Это легко доказать от противного. Действительно, гз(х, у ) = г (азх + агу + ав., а1Х + а,у + ао). Поэтому, если мы подставим в С(х', у') выражения х' и у' через х и у, 44 Гл. П.

Прямые ликии и плоскости полученные решением уравнений (7), мы получим многочлен с'(;с, д). Если бы степень С была меньше степени Г, это означало бы, что при переходе от системы координат О', е',, е!, е! к системе О, еы ег, ез степень уравнения повысилась, чего, как мы видели, быть не может. Порядок алгебраической линии первый встретившийся нам пример инварианта. Вообше, инвириантом называют всякую величину, не меняюшугося при изменении системы координат.

Только инвариантпые комбинации величин (коэффициентов, показателей и т. д.), входяших в уравнение линии или поверхности, характеризуют ее геометрические свойства, не зависящие от ее расположения относительно системы координат. Накой геометрический смысл имеет порядок линии, мы увидим в конце главы. 3 а м е ч а н и е. Снойство неизменности порядка не относится к различным уравнениям, которые линия или поверхность могут иметь в одной и той же системе координат. Хотя такие уравнения и эквивалентны, среди них могут быть уравнении различных степеней и даже не получаемые приравниванием гиногочлена нулю.

Действительно, следу юшие три уравнения задают окружность радиуса 1 в декартовой прямоугольной системс координат; гтз+ г 1 г+ г 1 О ~ г+дг 1)з О Принято считать, что эквивалентные уравнения вида (6), имеюшие разные степени, задают разные алгебраические линии (хотя соотнетствуюшие множества точек и совпадают). Например, говорят, что последнее из приведенных выше уравнений задает 'сдвоенную окружность". Основания для такой терминологии и удобства, из нее вытекающие, в точности те же, что и в случае привычного читателю термина "кратный корень" квадратного уравнения.

Теперь мы можем указать основной предмет курса аналитической геометрии. Это .—. исследование линий и поверхностей первого и второго порядка, которые доступны для изучения средствами элементарной алгебры. Однако перед этим полезно рассмотреть некоторые более общие уравнения. е1ы будем говорить о линиях и поверхностях. Формулирование их общих определений пс входит и пашу задачу. Читатель, который любит, чтобы все было точно определено, может под ними понимать соответственно алгебраическую линию и поверхность, однако все результаты имеют место и в более обшем случае. 3. Уравнения, не содержащие одной из координат. Рассмотрим частный случай уравнении поверхности с'(х, д, г) = О, когда леван часть уравнения не зависит от одной из переменных, например, от г,.

и уравнение имеет вид 11л, д) = О. Пусть точка Ие1шо, до, ео) лежит на поверхности. Тогда все точки с координатами то, до, г при любых з также лежат на поверхности. Легко заметить, что все точки с координатами такого вида заполнякгт прямую, проходяшую через Л1е в у1. Общее авнлтио об уравнениях направлении вектора ез. Таким образом, вместе со всякой точкой Мо на поверхности де«кит прямая, проходящая через Мо в направлении вектора ез. О п редел е н и е. Поверхность, которая состоит из прпмых линий, параллельных заданному направлению, называется цилиндрической поверхностью или циликдрозл., а прямые линии ее вбрпзующи- Мо(*о Уо «о) ли (рис.

16). Линию, лежащую на Ь поверхности и пересекающую все образующие, называют направляю- ез щей. Мы показали, что уравнение, не О содержащее одной из координат, е, определяет цилиндр с образующими, параллельными соответствую" р„о 1б ь — ваирааяяю1иая, щей координатной оси. В качестве приолера рекомен- МоЛХ вЂ” образующая дуем читателю нарисовать поверхность, заданную уравнением хг + Ч- уз = гз в декартовой прямоугольной системе координат в простран- стве. Эта поверхность прял«ой круговой цилиндр. Еще один вопрос, над которым стоит подумать: как выглядят множества, уравнения которых не содержат двух из трех координат, т.

е. имеют, например, вид Г(х) = О? ЛГ(хя УО «) 4. Однородные уравнения. Конусы. Пусть Г(х, у, г) функция от трех переменных, а в натуральное число. Введем О п р е д ел е н и е. Допустим, что длн каждой тройки чисел (х, у, г) из области определении функции и дли каждого числа Л тройка чисел (Лх, Лу, Лх) также принадлежит области определения, и, крооле того, Р(Лх, Лу, Лг) = Л«Р(х, у, г). Тогда Р называется однородной функцией степе; ни в. Ь Р Рассмотрим поверхность, определиемую в некоторой декартовой системе координат уравнением Р(х,у,г) = = О, где Р однородная функция.

Если точка М с координатами (х,у,г) е1 принадлежит поверхности, то при любом Л точка Р(Лх,ЛУ,Л«) также при- надлежит поверхности. Радиус-векторы ряс. 1т. б — направляющая точек М и Р коллинеарны, и потому точка Р лежит на примой ОМ (рис. 17). О и р е д ел е н и е. Поверхность, которая состоит из прямых линий, проходящих через фиксированную точку, называется конической по- Рл. И. Прямые линии и плоскости еерхностью или конусом.

Прямые линии называютсн ее образующими, а точка .- вершиной конуса (рис. 17), 1!инию, лежащую на поверхности, не проходящую через вершину н пересекающую все образующие, называют направляющей. Мы доказали, что уравнение Г(х, у, х) = О, где Г однородная функция, определяет конус с вершиной в вачале координат. Упражнения 1. В декартовой прнмоугольной системе координат даны точки з1(1,0) и В(4,0). Напишите уравнение мнолзества точек, отстоящих от В вдвое дальше. чем от Л. 2. Кал1дое из днух уравнений системы (х — 2) + у- = г, (х + 2) + у в докартовой прямоугольной системе координат определяет окружность.

Вычитая одво уравнение из другого, мы получим следствие этой системы х = О. Как геометрически истолковать этот результат? Рассмотритс случаи г = 3 и г = 1. 3. Составьте « равнение цилиндра с направлнющей, заданной системой уравнений х ж у ж зз = 1, х ж у Ч- л = 1, и образующей, параллельной вектору ез. 4. Напишите уравнение конуса с направляющей, заданной системой уравнений х -~- у = 4, х = 1, и с вершиной в начале координат.