Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, страница 13

Напишите уравнения плоскости, в которой лежат прямые из упр. 3. б. Напишите параметрические уравнения прямых, заданных векторными уравнениями: а) )г, а] = Ь, 1а Ь) = О; Гл. И. Прллзые линии и плоскости бб 3 3. Основные задачи о прямых и плоскостях 1. Уравнение прямой, проходнщей через две точки. Пусть в пространстве задана общая декартова система координат и две точки М1 и ЛХ2 с координатами (х1, уз, 21) и (хз, уз, зз). Чтобы написать уравнение прямой М,ЛХз, примем И1 за начальную точку, а ЛХг ЛХ2 за направлпющий вектор. Этот вектор пе нулевой, если точки не совпадают.

По формуле (29) З 2 мы получаем х — х1 У вЂ” У1 (1) хз — х1 Уз — У1 зз — з1 Если в этих равенствах какой-либо из знаменателей равен нулю, то следует приравнять нулю соответствующий числитель. В планиметрии задача решается также. Отличие только в том, что координаты точек теперь (хз, у1) и (хз, уз), и мы получаем по формуле (8) З2 х — хз У вЂ” У1 хз — хз У вЂ” У1 2.

Уравнение плоскости, проходнщей через три точки. Пусть ЛХ1, Луз и Мз — не лежащие на одной прямой точки с кооРДинатами (хз, У1, 21), (хю Уз, 22) и (хз, Уз, зз) в обЩей ДекаРтовой системе координат. Выберем ЛХ1 в качестве начальной точки, а ЛХ,М2 и М,Мз в качестве направляющих векторов. Тогда по формулам (12) З 2 и (16) З 4 из гл. 1 получаем уравнение плоскости Х Х1 У У1 Х2 — Х1 у2 — у1 зз — 21 х11 — х1 дз — уз (2) 3.

Параллельность нрнмой н плоскости. Пусть известен направляющий вектор прямой а(а1, аз, оз), а плоскость задана одним из уравнений (г — ге, .и) = О или (г — ге, р, ц) = О. Прямая параллельна плоскости (а возможно, и лежит в ней) тогда и только тогда, когда соответственно (а,п) = О или (а, р, ц) = О. Если плоскость задана линейным уравнением Ах + Ву + Сз + Р = О, то по предложению 5 З 2 условие параллельности Аа1 + Воз+ Саз = О.

(3) Пусть прямая задана системой уравнений .41х + Взу + С1 2 + Р1 — — О, Азх + Взу + Сзз+ Рз = О. б) (г, п1) -~- Р1 = О, (г, пз) -Ь Р = О, (п1, и ) = О. В задаче б) пе слишком трудно получить решение н без условия (п1, и ) = = О. Попробуйте сделать это. 43. Основные задачи о прпмых и пласнастнх Тогда по предложению 10 д2 условие (3) переписывается в виде А Вз Сз В Сз Аз С А1 Вз Вг Сг Сз Аг Аг Вг или А В С Аз Вг Сз = О. Аг Вг Сг (4) Легко проверить, что все приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными.

Из формулы (4) следует, что три плоскости пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда коэффициенты их уравнений удовлетворяют условию А В С .4з Вз Сз ф О. А В С, (5) Действительно, это неравенство означает, что прямая, по которой пе- ресекаются две плоскости, не параллельна третьей. 4. Полупространство.

Пусть даны плоскость Р и определенный ее нормальный вектор п. ХХолупространством, определяемым Р и п, называется множество точек ЛХ таких, что для некоторой точки Мо на плоскости вектор МоМ составляет с п угол, не больший х/2. Если г радиус-вектор точки М, а го точки ЛХо, то определение полупространства, эквивалентно неравенству (г — го, и) > О. Это неравенство и есть уравнение полупространства. Нетрудно проверить, что определение полупространства не зависит от выбора точки ЛХо. Действительно, если М~(гз) ††др точка плоскости, то вектор а = гз — го лежит в плоскости, перпендикулярен п, и мы имеем (г — гы п) = (г — го — а, п) = (г — го, п).

Мы получим уравнение полупространства в координатной форме, если вспомним, что согласно предложению 3 г2 выражение (г — го, п) в координатах записывается линейным многочленом Аг + Ву + Сг + + Р. Итак, полупространство в декартовой системе координат задается линейным неравенством Ах+ Ву+ Сг + Р > О. Обратно, любое такое неравенство можно записать как (г — го, и) > О, откуда сразу видно, что оно задает полупространство. Плоскость Р и вектор пз = -п задают другое полупространство с уравнением (г — го,пз) > 0 или (г — го,п) < О.

Его назовем "отрицательным', в отличие от "положительного" полупространства г— — го,п) > О. Однако такое наименование условно †- оно определяется Хл. 11. ХХрллоле ликии и плоскости 58 выбором вектора и. Изменение направления этого вектора равносильно умножению уравнения плоскости на [ — 3). При этом "положительное" полупространство становится "отрицательным", и наоборот. Вот, однако, факт, це зависящий от выбора направления нормального вектора: если М1 [хм ума,) и ЛХ2[хз.,уоьлз) две точки, не лежащие в плоскости, то результаты подстаноиси их координат в левую часть уравнения плоскости Ах1 + Ву~ + Сл~ + Р и Ахз + Вуз + + Сзз+ Р имеют один знак тогда и только тогда, когда точки лежат в одном полупространстве.

Для решения задач бывает полезно следующее замечание: если точка Мо [хо, уо, зо) лежит на плоскости, то точка с координатами хо + + А, уо + В, ло + С лежит в "положительноме полупространстве. Иначе говоря, вектор с координатами А, В, С направлен в "положительное" полупространство. Это легко провернется подстановкой. Вполне аналогично сказанному о полупространствах мы можем определить, что такое полуплоскость, и доказать, что неравенство Ах+ Ву+ С > О, связывающее декартовы координаты точки на плоскости, определяет полуплоскость.

Вторая полуплоскость, ограниченная примой Ах -~- Ву+ С = О, задается неравенством Ах+ Ву -~- +С<О. Точки ЛХ1(хму1) и ЛХ2[хз,уз) лежат по одну сторону от прямой тогда и только тогда, когда (Ах1+ Ву + С)(.4хз + Вуз + С) > О. 5. Расстояние от точки до плоскости. Пусть дана плоскость с уравнением [г — го,п) = О и точка ЛХ с радиус-вектором В. Рассмотрим вектор ЛХоЛХ = К вЂ” го, соединяющий начальную точку плоскости с М [рис. 22).

Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на век- М тор и, т. е. [(лк — ге, и)[ [6) [и! Если в декартовой прямоугольной системе координат точка ЛХ имеет координаты [Х, У, х), то равенство [6) запишется согласно предложениям 3 и 4 Л 2 так: О е1 Рис. 22 6. Расстояние от точки до прямой. Если прямая задана уравнением [г — го, а) = О, то мы мооком найти расстояние Ь от точки М с радиус-вектором В. до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах К вЂ” го и а, на длину его основания 93. Основные задачи в прямых и плоскостях [рис.

23). Результат можно записать формулой [[К вЂ” ге, а)[ [8) [а[ Для прямой в пространстве мы не будем получать координатной записи этого выражения. Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнениези Ах+ Вр+ С = О в декартовой прямоугольной систе- 1 ме координат.

Пусть зьзо(хо, уо) — начальная точка прямой, а АХ[Х,Р) некоторая Ркс. 22 точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем вектор а( — В,А). Из формулы [25) 9 4 гл. 1 следует, что площадь параллелограмма равна Я = [[Х вЂ” хо)А — [У вЂ” ро)[ — В)[. Тогда по формуле [9) 92 Я = [АХ+ Ву + С[ и [АХ ж Ву+ С[ зАх 4 Вх [9) Легко заметить также, что для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости можно воспользоваться форл1улой [6), считая, что и .— нормальный вектор прямой.

7. Расстояние между скрещивающимися прнмыми. Пусть прнмые р и а не параллельны. Известно, что в этом случае существуют такие параллельные плоскости Р и ь,), что прямая р лежит в Р, а пРЯмаЯ 9 лежит в с,). [Если УРавнениЯ пРЯмых г = гз + аз 4 и г = гг + + а24, то плоскость Р имеет начальную точку гх и направляющие векторы аз и аг. Аналогично строится плоскость Ц.) Расстояние 6 между Р и Я называется расстоянием между пр мыми р и 9.

Если р и а пересекаются, то Р и сг совпадают и А = О. Для того чтобы найти расстояние 6, проще всего разделить объем параллелепипеда, построенного на векторах гг — ты ах и ах, на площадь его основания [рис. 24). Мы получим Лз, в р 6= [(гг — гы аы а )[ [[аы аз) [ Рис. 24 [гг — гм аы аг) = О, [аы аг) ф О. Знаменатель этой дроби отличен от нулн, поскольку прямые не параллельны. Предложение 1. Прямьзе линии с иравнениялзи г = гз -Ь ад4 и г = гг+ агг пересекаются тогда и только тогда, когда Ь, = О, т. е.

60 Гл. 11. Прямые линии и плоскости 8. Вычисление углов. Чтобы найти угол между двумя прямыми, следует найти их направляющие векторы и вычислить косинус угла между ними, используя скалярное произведение. При этом следует иметь в виду, что, изменив направление одного из векторов, мы получим косинус смежного угла. Для нахождения угла между прямой и плоскостью определяют угол 0 между направляющим вектором прямой и Рас. 25. Р--Рь='Рь нормальным вектором плоскости.

Если векторы выбрать так, чтобы саед > О, и взять О < У < г12, то искомый угол дополняет О до к/2. Угол между плоскостями находят как угол между их нормальными векторами. Полезна бывает формула для угла между прямыми линиями на плоскости, заданными уравнениями у = Кьх + Ьь и у = Кзх + Ье в декартовой прямоугольной системе координат. Обозначим через ьс угол между прямыми, отсчитываемый от первой прямой ко второй в том жс направлении, в котором производитсн кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму. Тогда ьп со можно найти как тангенс разности углов, которые прямые составляют с осью абсцисс.