Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, страница 12

уравнения прямых и плоскостей 51 раскроем скобки и получим многочлен .4х + Ву + Сг + Р, в кото- ром Р = — (го, п) и А = (ез,п), В = 1ез,п), С = (ез,п). (15) А, В и С одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор п не может быть ортогопален всем векторам базиса. Для доказательства обратного утверждения найдем сначала век- тор п из равенств 115), считая А, В и С заданными. Из предложе- ния 10 5 4 гл. 1 следует, что п= ' + '' + А)ез,ез) В~ез,ез) С(еыез) (16) (ек е, ез) (еь ез, ез) (ек ез, ез) Вектор го должен удовлетворять условию Р = — 1го,п). Один из таких векторов можно найти в виде го = Лп. Подставляя, видим, что — Л1п,п) = Р, откуда го = — РпДп)з.

Итак, н|ы нашли векторы п и го такие, что линейный многочлен записывается в виде Х(Е1з11) + У(ЕЗзП) + г1ЕЗ,П) — 1ГО,П), который совпадает с требуемым (г — го, п). Заметим, что из доказанного предложения вытекает теорема 1. Предложение 4. Если система координат декартова прямо- угольная, то вектор с компонент ми А, В,. С является норлзальнылз вектором для плоскости с уравнением Ах+ Ву + Сг + Р = О.

Это сразу вытекает из формул (15) и предлозкения 1 54 гл. 1. Рассмотрим вектор а = сззе1+ сззез + сззез в общей декартовой системе координат О.ез, ез,ез. Очевидно, что 1а, п) = сз1(ез,п) + +аз(ез,п) + пз(ез,п). Теперь из формул (15) следует, что (а, п) = Асзз + Впг + Сов. (Заметьте, что в общей декартовой системе координат числа А, В, С, вообще говоря, не являются, координатами вектора п, и скалярное произведение нв зааисьзвавтся как сумма произведений одноимен- ных компонент, но (а,п) выглядит так же, как и в прямоугольных координатах.) Теперь очевидным становится следующее ПРедложение 5.

ВектоР а с компонентами аз,сзз,оз в общей декартовой системе координат параллелен плоскости с уравнени- ем .4х + Ву + Сг + Р = О тогда и только тогда, когда Аоз + Воз + Соз — — О. (17) Следствие. Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяю- щие уравнению (17), ложно принять за направляющие векторы плос- кости.

Предложение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассмат- ривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости. По- старайтесь сделать зто. сл. П. Прлмые ликии и плоскости 52 Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, имеет место Предлоскение 6. Вектор а с компонентами ос,ог е общей декартовой системе координат параллелен прлмой с уравнением Ах+ + Ву+ С = 0 тогда и только тогда, когда Аос + Воз — — О.

(18) Действительно, к„ол должны быть пропорциональны компонентам . - В, А направляющего вектора прямой. Векторное уравнение прямой линии в пространстве может быть написано в виде ]г — го,а] = О. (19) Здесь а — направляющий вектор прямой, а го радиус-вектор ее начальной точки. В самом деле, это уравнение, как и векторное параметрическое, выражает коллинеарность векторов го и а. 5. Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.

Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, т. е. что плоскость (прямая) параллельна самой себе. Предложение 7. Пр мые линии, задаваемые е общей декартовой системе координат уравнениями Ах+ Ву+ С = О, Асх+ Всу+ Сс —— О, параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенспы е их уравнениях пропорциональны, т. е.

существует такое силла Л, что (20) А =ЛА, В =ЛВ. Прямые совпадают е том и только толс случае, когда их ураенекил пропорциональны, т. е. помимо уравнения (20) еыполнено ( с тем же Л) равенство (21) Сс = ЛС. Д о к а з а т е л ь с т в о. Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами ( — В, А) и ( — Вс, Ас) каправлнющие векторы прямых. Докажем вторую часть. В равенствах (20) и (21) Л у'= О, так как коэффипиенты в уравнении прямой одновременно нулю не равны.

Поэтому, если эти равенства выполнены, уравнения эквивалентны и определяют одну и ту же прямую. Обратно, пусть прнмые параллельны. В силу первой части предложения их уравнения долскны иметь вид Ах+ Ву+ С = 0 и Л(Ах+ Ву) -~-Сс = 0 при некотором Л. Если, кроме того, существует общая точка ЛХо(хе, уо) обеих прямых, то Ахо + Вуе + С = = 0 и Л(Ахе+ Вуо) + Сс = О. Вычитая одно равенство из другого, получаем Сс = ЛС, как и требовалось.

З2. Уравненап прямых и плоскостей 53 Предложение 8. Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями Ах+ Ву+Сг+Р = О, А1х+Взу+ Ссг+Р1 — — О, параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэузузициенты в их уравнениях пропорциональны, т. е. существует такое число Л, что А,=ЛА, В,=ЛВ, С,=ЛС. (22) Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, т. е. помилсо уравнений (22) выполнено (с тем же Л) равенство Р, =ЛР. (23) Д о к а з а т е л ь с т во. Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы п и пз коллинеарны, и существует такое число Л, что пс = Лп.

В силу уравнений (16) Ас = (емпс) = Л(емп) = Л.4. Аналогично доказываются и остальные равенства (22). Обратно, если равенства (22) выполнены, то из формулы (16) следует, что п1 — — Лп. Это доказывает первую часть предложении. Вторая его часть доказывается так же, как вторая часть предложении 7. Условия (20) выражают не что иное, как коллинеарность векторов с компонентами (А, В) и (Аы В~). Точно так же условия (22) означают ьоллинеарность векторов с компонентами (А, В, С) и 1Аы Вы Сз). Поэтому согласно предложенинм 9 и 10 5 3 гл. 1 условие параллельности прямых на плоскости можно записать в виде А В .4 В О' (24) а условие параллельности плоскостей — в виде В С С л1 А В В1 С1 С1 А1 Аз В (26) то при любых С и Сс система имеет единственное решение (х, у).

Разумеется, это предложение можно доказать и непосредственно и отсюда получить условие параллельности прямых. Исследованием произвольных систем линейных уравнений мы займемся в гл. Ъ'. Предложению 7 можно придать чисто алгебраическую форгиулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых -— это решение системы, составленной из их уравнений. Предложение 9. При условии (24) система линейных уравнений Ах + Ву + С = О., А1 х + Вз у + С1 = 0 не илсеет решений или меет бесконечно лсного решений (в зависимости от С и Сс). В последнем случае система равносильна одному из составллющих ее уравнений. Если зке ~0, .41 В1 Гл. И. Прялзезе ликии и плоскости 6. Уравнения прямой в пространстве.

Пряман липин в пространстве мозкет быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида Ах+ ВУ+ Сх+ В = О, А,х+ Взр+ Сзл+ Рз — — О. (26) Пересечение плоскостей - - прямая линия тогда и только тогда, .когда они не параллельны, что согласно (26) означает, что хоть один из детерминантов отличен от нуля: В С С А Вз Сз Сз л4г У вЂ” Ун оз з — ее 1= сзз х — хе оз и мы получаем два равенства У Уе з ее х — хе з — зе (28) о оз аз оз или, в более симметричном виде, х хо У Ую е зе сез оз сзз Уравнения (28) представляют прнмую как линию пересечения двух плоскостей, первая из которых параллельна оси абсцисс (в ее уравнение не входит переменная х), а вторая параллельна оси ординат. Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, оы то уравнения прямой принимают вид х = хо, (30) Оз оз Зта прямая лежит в плоскости х = хо и, следовательно, параллельна плоскости х = О.

Аналогично пицзутся уравнения прямой, если в нуль обращается не оы а другая компонента. Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, аз и аз, то прямая имеет уравнения (29) х=то, У=Уо. (31) Такая пряман параллельна одной из осей координат, в нашелз случае оси аппликат. Вагино уметь находить начальную точку и направляющий вектор прнмой, заданной системой линейных уравнений (26).

По условию (27) один из детерминантов отличен от нуля. Допустим длн Разумеется, систему (26) можно заменить на любую, ей эквивалентную. При этом прямая будет представлена как пересечение двух других проходящих через нее плоскостей. Вспомним параметрические уравнения прямой (4). Допустим, что в них ни одна из компонент направляющего вектора не равна нулю. Тогда 42. Уравнения прямых и плоскостей определенности, что АВ, — А1В ф О. В силу предложения 9 при любом фиксированном з система уравнений будет иметь единственное решение 1х, у), в котором х и у, разумеется, зависят от ж Они линейные многочлены от ьн х = о1с + ды у = озс + Вз.

Не будем доказывать этого, хоти это и не трудно сделать. Для ясности, заменяи э на 1, получаем параметрические уравнения прямой т, = о11+ Ды у = оз1+ Вз, Первые две координаты начальной точки прямой ЛХс(ВО,В2,0) можно получить, решая систему (26) при значении - = О. Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты (оы оз, Ц. Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольнал, векторы с компонентами (А, В,С) и (Аы Вы С~) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой (26), по которой плоскости пересекаются.

Вычисляя векторное произведение в ортонормированном базисе, мы получаем компоненты направляющего вектора С С А А В С1 ' С1 А1 ' А1 В1 (32) Предложение 10. Вектор с компонентами (32) есть направляющий вектор прямой с уравнениями (26), какова бы ни была декартова система координат. Доказательство. Согласно предложению 5 каждый ненулевой вектор, компоненты которого (оыоз,оз) удовлетворяют уравнению Ао1 + Воз + Соз = О, параллелен плоскости с уравнением Ах + Ву + + Сз + .0 = О. Если, кроме того, он удовлетворяет уравнению А1о1+ + В~аз + С1оз = О, то он параллелен и второй плоскости, т. е. может быть принят за направляющий вектор прямой.

Вектор с компонентами (32) ненулевой в силу неравенства (27). Непосредственно легко проверить, что его компоненты удовлетворяют обоим написанным выше условиям. На этом доказательство заканчивается. Упражнения 1. Найдите параметрические уравнения прямой с уравнениями х+ у+ э = 4, х — у -~- Зэ = О. 2. Найдите параметрические ураваевия плоскости х — 2у -~- Зэ = 1. 3. Найдите координаты точки пересечения прямых с уравнениями х = = 1 — й у = 1 ч- й э = 1 — 1 их = ЗФ вЂ” 1, у = 21 — 2, э = 1 -Ь К какое значение параметра соответствует этой точке на каждой из прямых? Нак установить, что прямые пересекаются, не находя точки пересечения? 4.