Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, страница 11

0 2. Уравнения прямых и плоскостей 1. Поверхности и линии первого порядка. Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид Лх+ Ву+ Сх+ В = О, (1) причем предполагается, что коэффициенты при перезиенных не равны нулю одновременно, т. е. з4з + Вз + Сз ~ О. Аналогично, линейное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, . — это уравнение ,4х+ Ву+ С = О (2) при условии Аз + Вз ф О. В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения (1) и (2) определяют соответственно плоскость и прямую линию на плоскости. Из теорем 1 и 2 2 1 следу.— ет, что то же самое верно и в общей декартовой системе координат.

Точнее, имеют место следующие теоремы. Теорелза 1. В общей декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость молсет быть задана линейным уравнением (1). Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат определяет плоскость. Теорема 2. В общей декартовой системе координат на плоскости казкдая прямая может быть задана линейным уравнением (2). 80. Ураепеппл прлмнх и плоскостей 47 Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат на плоскости определяет прямую. Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости.

Однако ввиду важности этих уравнений ьеы рассмотрим их в других формах. При этом буду~ получены независимые доказательства теорем этого пункта. 2. Параметрические уравнения прямой и плоскости. Прямая линия (на плоскости или в пространстве) полностью определена, если на ней задана точка ЛХо и задан ненулевой вектор а, параллельный этой прямой. Разумеется, и точку, и вектор можно выбрать по-разнолпу, но мы будем считать, что они как-то выбраны, и называть их начальной точкой и направляюи4им вектором.

Аналогично, плоскость задается точкой и двумя неколлинсарными векторами, ей параллельными, начальной точкой и направляющими векторами п.оскости. 31ы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, ес- М ли лпы изучаем прямую в планиметрии).

Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлон се радиус-вектор относительно начала координат. Пусть дана прямая. Обозначим че- ез рез го и а соответственно радиус-вектор ее начальной точки ЛХо и направляющий вектор. Рассмотрим некоторую точку ЛХ с радиус-вектором г (рис. 18). Рпс. 48 Вектор ЛХоЛХ = г — го, начало которого лежит на прямой, параллелен прямой тогда и только тогда, когда ЛХ также лежит на пряьиой. В этом и только этом случае для точки ЛХ найдется такое число 4, что г — го = Ха.

(3) Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу (3) в качестве Х, вектор г н этой формуле определит некоторую точку на прямой. Уравнение (3) называется векторным параметприческим уравнением прямой, а переменная величина О принимающая любые вещественные значения, называется параметром. Векторное параметрическое уравнение выглндит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.

Рассмотрим прямую н пространстве. Пусть (ю, у, ) и (хо, де, о) координаты точек ЛХ и ЛХо, соответственно, а вектор а имеет компоненты (ам аз,аз). Тогда, раскладывая по базису обе части уравне- 48 Рл. 11. Прллзие ликии и плоскости Рис. 19 ния (3), мы получим х-хо =а11, У-Уо =пег, -' — за =азй (4) Для прямой на плоскости мы получаем, аналогично, х — хо = а11, у — уо = азй (о) Уравнения (4) или (5) называются параметрическими уравнениями прямой. Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через р и 11 ее направляющие векторы, а через го . радиус-вектор ее начальной точки ЛХо. Пусть точка М с радиус-вектором г произвольная точка пространства (рис. 19).

Вектор МоМ = г — го, начало которого лежит на плоскости, параллелен ей тогда и только тогда, когда его конец ЛХ также лежит на плоскости. Так как р и 11 не коллинеарны, в этом и только этом случае г — го может быть по ним разложен. Поэтому, если точка ЛХ лежит в плоскости (и только в этом случае), найдутся такие числа 11 и 12, что г — го = 11Р+ Хзс1. (6) Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров 11 и зз. Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения 11 и 12, уравнение (6) определит некоторую точку плоскости.

Пусть (х,у,з) и (хо,уо,зо) .- координаты точек ЛХ и ЛХо соответственно, а вектоРы Р и Ц имеют компоненты (РыРЗ,Рз) и (УыУЗ, Уз). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения (6), мы получим параметрические уравнения плоскости хо — 11Р1 + езу1: У уо 11Р2 + 1ЗФ2 з 20 — 11РЗ + 12ЧЗ (7) Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра 1, соответствующее какой-то точке, является координатой втой точки во внутренней системе координат.

Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, зто ее координаты в этой системе. 3. Прямая линия нн плоскости. Параметрическое уравнение прямой утверждает., что точка ЛХ лежит на прнмой тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки Мо коллинеарна направляющему вектору а. Пусть в некоторой общей декартовой системе координат на плоскости заданы координаты точек и вектора М(х, у), ЛХс(хо, уо), а(ам аз).

Тогда условие 92. Уравнения прямых и плоскостей 49 коллинеарности может быть записано в виде равенства х хо у уо О (8) а1 аз Поэтому имеет место Предложение 1. В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой ЛГо(хо, уо) и направляющим вектором а(а1, пз) может быть записано в виде (8).

Уравнение (8) линейное. Действительно, после преобразования оно принимает вид аех — а1у+ (очуо — азха) = О, т. е. Ах+ Ву+ С = О, где А = аз, В = — а1 и С = а1уо — агхо С другой стороны, при заданной системе координат для произвольного линейного многочлена Ах + Ву + С, Аз + Вз ~ О, найдутся такая точка ЛХо(хо, уо) и такой вектор а(ам аз), что (9) Ах+ Ву+ С = а1 ае Действительно, выберем числа хо и уо так, чтобы Ахо + Вуо + С = О. В качестве таких чисел можно нзять, например, — АС вЂ” ВС (10) Если С = —.4хо — Вуо, то Ах+ Ву+ С = 4(х — хо) + В(у — уо), т.

е. выполнено равенство (9) при аз — — А, а1 = — В. Итак, мы получили Предложение 2. Вектор с координатами ( — В,А) можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением (2) в общей декартовой системе координат, а точку (10) за начальную точку. Следствие. Если система координат декартова прямоугольная, то вектор п(А,В) перпендикулярен прямой с уравнением (1).

Действительно, в этом случае (а, и) = — ВА+ АВ = О. Заметим, что из предложений 1 и 2 вытекает теорема 2. Пусть в уравнении прямой Ах+ Ву+С = 0 коэффициент В отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллетьна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде 122) у = Ах+о, (11) где к = — А/В, а 6 = — С,1В. Мы видим, что 1 о равно отношению компонент направляющего вектора: й = аз/а1 (рис.

20). меи у= -к-~-1/2 О и р с д ел е н и е. Отношение компонент направляющего вектора аг/а1 называется угловыл1 коэффициентом прямой. Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью 4 Д.В. Беклемишев 50 Тл. П. Прямые линии и плоскости абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от е1 к ез (рис. 21). Положив х = О в уравнении (11), получаем у = Ь.

Это означает, что свободный член у равнения Ь является ординатой точки пересечения прямой с осью ординат. Если же в уравнении прямой В = О и ее уравнение нельзя представить в виде (11), то О обязательно А р': О. В этом случае прямая параллельна оси ординат и ее ураннению мазано придать вид х = хо, где хв = — С/А - абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс. 4.

Векторные уравнения плоскости н прямой. Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка ЛХ лежит па плоскости тогда и только тогда, когда разность ес радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки ЛХо компланарна направляющим векторам р и с1. Эту компланарность можно выразить и равенством (12) (г — го, р, с1) = О. Вектор п = (р,с1) . ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости.

Используя его,мы можем записать уравнение (12) в виде (г — го,п) = О. (13) Уравнении (12) и (13) называют оекторными уравнениями плоскости. Им можно придать форму, в которую не входит радиус-вектор начальной точки. Например, положив в (13) Р = — (го,п), получим (14) (г, п) + Р = О. Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравненигь аналогичные (13) и (14), (г — го,п) = О или (г,п) + С = О.

Первое из них выражает тот факт, что вектор г — го перпендикулярен ненулевому вектору и., перпендикулярному направляющему вектору а, и потому коллипсарен а. Предложение 3. Пусть х,у,г компоненты вектора г в общей декартовой системе координат. Тогда скалярное произведение (г — го,п) при п ф О записываегпсп линейным многочленом Ах+ ж Ву+ Сг -ь Р (Аз + Вг + Сз ф О). Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы го и п ф О, что в заданной общей декартовой системе координат.4х+ Ву+ Се+ Р = (г — го,п). Первая часть предложения очевидна: подставим разложение нектора г по базису в данное скалярное произведение; (хе1 + уее + гез — го п), Г2.