Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, страница 6

Если такого указания не сделано, углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит я. Если угол прямой, то векторы называются ортаганальными. Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хоть один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определению равно нулю.

Скалярное произведение векторов а и Ь обозначается (а, Ь) или аЬ. Такиги образокй мы можем написать (а, Ь) = (аОЬ! соз <р, где р угол между векторами а и Ь. Необходимо подчеркнуть следующее принципиальное обстоятельство: скалярное произведение может быть определено только после того, как будет выбрана определенная единица измерения длин векторов. Иначе приведенное выше определение не имеет сгиысла.

Скалярное умножение имеет следуюшие очевидные свойства. ° Коммутативностгп для любых а и Ь выполнено (а, Ь) = (Ь,а). ° (а,а) = ~а~а для любого вектора а. ° Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен О. ° Векторы ортонормированного базиса удовлетворяют равенствам (емег) = (ег,ег) = (ез,ез) = 1, (емез) = (его ез) = (ез,ег) = О.

Предло кение 1. Если базисные векторы попарно артоганальны, то компоненты любого вектора а находятся па форл~улалг (а, е1) (а, ег) (а, ез) о1= '„, аг= '... из= )е1Р ' )ез(г (езр е, В частности, если базис ортанормирован- ный, ЗЛ'. Скалярное, смешанное и векторное произведения нин 2 ) 1, что глз = ~~аз~ДеО, где выбираетсн знак + или — в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены а~ и ез.

Но, как видно из рис. 11, ~~аз) = ~а~ соз рз, где ~р~ угол между векторами а и еы Итак, а~ = (а)сов~о~Де~! = (а,е~)/)ез)з. Аналогично вычисляются и остальные компоненты. О и р е д ел е н и е. Косинусы углов между вектором а и базисными векторами декартовой прямоугольной системы координат называются напрев яющими косинусами этого вектора. Направляющие косинусы это компоненты вектора ао = а/~а~. Их отличительная особенность состоит в том, что сумма их квадратов равна квадрату длины а, т. с. 1 (см.

ниже формулу (3)). Предложение 2. Для любых векторов а, Ь и с и любых чисел а и Д выполнено равенство (аа+,ЗЬ,с) = а(а,с) + В(Ъ,с). В частности, (аа, с) = а(а, с) и (а + Ь, с) = (а, с) + (Ь,. с). Доказательство. Если с = О, то утверждение очевидно. Пусть с ф О. Примем с за первый вектор базиса, а остальные выберем ортогонально к нему и между собой.

Число (аа+ ЗЬ,с)/~с~з первая компонента вектора аа+ ВЪ. Точно так же (а,с)/~с~з и (Ъ,с)Дс~~ первые компоненты векторов а и Ь. Согласно предложению 5 ~ 1 (аа+,ЗЬ,с)/~с( = а(а,.с)/)с~ + В(Ь,с)Дс~ . Отсюда прямо получается доказываемое равенство. Легко показать, что такая же формула справедлива и для линейной комбинации любого числа векторов. Используя коммутативность скалярного умножения, мы получаем тождество (а, ДЬ + ус) = (1(а, Ъ) + ", (а, с). Теорема 1. Если базис ортонормированный, то скалярное произведение векторов а и Ь выражается через их колтоненты (о ы аз, аз) и (Ды Вг, Вз) по формуле (а, Ь) = о~(Зд + глзах + озДз. (2) Действительно, подставим вместо а его разложение и воспользуемся предложением 2: (а, Ь) = (азе, + азез + азез, Ь) = а~(е,, Ь) + аз(ез, Ь) + аз(ез, Ь).

Теперь доказываемое следует из формулы (1). Отметим, что требование ортонормированности базиса очень существенно. В произвольном базисе выражение скалярного произведения через компоненты гораздо сложнее. Поэтому в задачах, связанных со скалярным произведением, чаще всего используются ортонормированпые базисы. Если почему-либо все же надо вычислить скалярное произведение в неортонормированном базисе, следует перемножить разложения сомножителей по базису и., раскрыв скобки, подставить в полученное б4.

Скалярное, слзешакнвс и векторное првизведекия длине ~АВ'. Она положительна, если направление .4'В' совпадает с направлением е, и отрицательна в противоположном случае. Величина (4В, е)/~е) не меняется при замене е на соцаправленный вектор Ле, Л ) О, и меняет знак при замене е ца противоположно направленный вектор. Прямая линия называется направленной прямой (употребляются также термины ориентированная пряльая и ось), если на ней указано определенное направление. Подробнее это определение рассматривается в начале п. 2.

Определение. Число (АВ,е)/)е~ называется скалярной проекцией вектора АВ на ось 1, определяемую вектором е (или на вектор е), и обозначается Пр1.4В или Пр .4В. Из определения следует, что Пр,АВ = ~АВ~созд, где у .. угол между АВ и е. Компоненты вектора в ортонормированном базисе равны его скалярным проекциям на оси координат. 2. Ориентация прямой, плоскости и пространства. Выше мы дали определение ориентированной прямой (оси). Окажем о пем подробнее, с тем чтобы аналогично ввести определение ориентированной плоскости и ориентированного пространства. Все базисы (ненулевые векторы) на прямой разделяются на два класса: векторы из одного класса направлены одинаково, а векторы из разных классов направлены противоположно. Говорится, что прямая ориентирована или что на ней задана ориентация, если из двух классов базисов выбран один. Базисы выбранного класса называются положительно ориентированными или положительными.

Задать ориентацию можво, указав какой-либо базис и считая положительно ориентированными все базисы того же класса. Однако то, что прямая ориентирована, не означает, что на ней выбран какой-то определенный базис. Два базиса на плоскости называются одинаково ориентированными, осли в обоих базисах кратчайший поворот от первого вектора ко ез е~ б Ряс. 13. Левый базис 1а), правый базис (б) второму производится в одну сторону, и противоположно ориентированными в противном случае. На рис. 10, а базисы ориентирова- Гл.

В Веннюрнал алгебра 28 ны одинаково, а на рис. 10, б противоположно. Если фиксировать какой-то базис, то любой другой ориентирован с ним либо одинаково, либо противоположно, и, таким образом, все базисы распадаются на два класса: любые два базиса одного класса ориентированы одинаково, базисы разных классов ориентированы противоположно. Определение. Плоскость ориентирована, если из двух классов базисов на ней выбран один класс. Ориентацию можно задать, выбрав базис и считая положительно ориентированными все базисы одного с ним класса. Но, конечно, задание ориентации не предполагает выбор определенного базиса.

В планиметрии часто ориентируют плоскость., считая положительными те базисы, у которых кратчайший поворот от первого вектора ко второму производится против часовой стрелки. Для плоскости в пространстве это соглашение не имеет смысла, так как видимое направление поворота зависит от того, с какой стороны смотреть на плоскость.

Но если выбрать одно из полупространств, ограничиваегиых плоскостью, и смотреть на повороты именно из него, то класс базиса определяется видимым направлением поворота. Определение. Базис в пространстве называется правым, если (считая векторы имеющими общее начало) с конца третьего вектора мы видим кратчайший поворот от первого вектора ко второму а 6 Рвс. 14.

Левый базис (е), правый безас (6) направленным против часовой стрелки. В противном случае базис называется левыле (рис. 13). Представим себе, что ца рис. 14 концы векторов лежат в плоскости рисунка, а их общее начало за плоскостью. Тогда поворот от вектора ез к вектору ез и затем к ез для правого базиса нам виден против часовой стрелки, а для левого .- по часовой стрелке. Определение. Пространство называетсн ориентированным, если из двух классов базисов 1правых или левых) выбран один. Базисы этого класса называются положительно ориентированными. Ниже мы всегда будем выбирать правую ориентацию пространства, считая положительными правые базисы. Но важно помнить, что выбор ориентации мог бы быть противоположным.

Если пространство ориентировано, то ориентацию любой плоскости в нем можно задать, указав ориентацию прямой., перпендикуляр- д~. Скаллрное, еле|ионное и векторное произведения ной этой плоскости. При этом положительным базисом а, Ъ на плоскости считается такой, который вместе с положительным базисом п на прямой составляет положительный базис пространства а, Ь,п.

Это внешний способ задания ориентации. Говорится, что ориентация плоскости определяется нормальным вектором и. Аналогично, в ориентированном пространстве можно внешним образом задать ориентацию прямой линии. Для этого нужно задать ориентацию плоскости, перпендикулярной этой прямой. Положительным базисом на прямой будет такой базис, который вместе с положительным базисом плоскости составляет положительный базис пространства.