Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, страница 3

е. считать, что вектор характеризуется, помимо длины и направления в пространстве, еше и точкой приложения. В этом случае векторы называются приложенными. Как уже упоминалось, сила, действующая на упругое тело, изображается приложенным вектором. Если нужно подчеркнуть, что равенство векторов понимается в смысле определения 2, то векторы называются свободными.

4. Линейные операции. Так называются сложение векторов и умножение вектора на число. Напомним их определения. Определение. Пусть даны два вектора а и Ь. Построим равные им векторы АВ и ВС. Тогда вектор АС называется суммой векторов а и Ь и обозначается а + Ь. Заметим, что, выбрав вместо В другую точку, мы получили бы другой вектор, равный вектору Ас,".

Определение. Произведением вектора а на вещественное числе а называется вектор Ь, удовлетворяюший следующим условиям: а) (Ь) = )айа); б) Ь коллинеарен а: в) Ь и а направлены одинаково, если а > О, и противоположно, если а ( О. (Если же а = О, то из первого условия следует Ь = О.) Произведение вектора а на число а обозначается оа. Приведенное определение определяет вектор аа пе единственным образом, но все удовлетворяюшие ему векторы равны между собой.

В курсе средней школы были выведены основные свойства линейных операций. Перечислим их без доказательства. 12 Гл. й Векторкал алгебра Предложение 1. Для любых векторов а, Ь и с и любых чисел о и 3 вьтолкеко; 1) а+ Ь = Ь+ а (сложение комлеутвтивко), 2) (а+ Ь) + с = а+ (Ь+ с) (сложение ассоциативно); 3) а+О=а; 4) вектор ( — 1)а противоположный для а: а+ ( — 1)а = О, 5) (ад)а = а(да): 6) (а+ В)а = оа+ Ва; 7) а(а+ Ь) = ма+ аЬ; 8) 1а=а. Вектор ( — 1)а обозначается — а. Разностью векторов а и Ь называется сумма векторов а и — Ь. Она обозначается а — Ь. Если Ь+ х = = а, то х = а — Ь (рис.

1). В этом смысле вычитание операция, сопоставляющая паре векторов разность первого и второго, есть операция, обратная сложению, и мы не считаем его отдельной операцией. Точно так же мы пе выделяем деление вектора на число сн так как его можно определить как умножение на сг Из определения произведения вектора на а число прямо следует Предложение 2. Если а~О, то любой ввкРис. 1 тор Ь, колликеарный а, представйм в виде Ь = = Ц~Ъ|/~а~)а. Знак + или — берут, смотря ао толгу, направлены а и Ь одкаково или кет.

Применяя линейные операции, можно составлять суммы векторов, умноженных на числа: сг1а1+ сгзаз + ... + агат. Выражения такого вида называются ликейкылги комбинациями. Числа, входящие в линейнукз комбинацию, называются ее коэффициентами. Свойства, перечисленные в предлогкении 1, позволяют преобразовывать линейные комбинации по обычным правилам алгебры; раскрывать скобки, приводить подобные члены, переносить некоторые члены в другую часть равенства с противоположным знаком и т.

д. Предложенио 1 дает в некотором смысле полный набор свойств: любые вычисления, использующие линейные операции, можно производить, основываясь на них и не обращаясь к определениям. Ото будет иметь для нас принципиальное значение в гл. У1. Линейные комбинации обладают следующим очевидным свойством: если векторы а1, ..., аь коллинеарны, то любая их линейная комбинации им коллинеарна.

Если же они компланарны., то любая их линейная комбинация им компланарна. Это сразу следует из того, что вектор сга коллинеарен а, а сумма векторов компланарна слагаемым и коллинеарна им, если они коллинеарны. Множество называется замккутыле относительно некоторой операции, если для любых элементов множества результат применения этой операции принадлежит данному множеству. д П Векторы зз О и редел е н и е. Ыножество векторов, замкнутое относительно линейных операций, называется векторным пространством. Если одно векторное пространство является подмножеством другого, то оцо называется его подпростракством.

Таким образом, можно сказать, что множество всех векторов, параллельных данной прямой, и множество всех векторов., параллельных данной плоскости, являются векторными пространствами. Чтобы различать эти два типа векторных пространств, их называют соответственно одномерными и двумерными пространствами. Помимо упомянутых, существуют еще два векторных пространства: нулевое или нульл1еркое, состоящее только из нулевого вектора, и трехмерное множество всех векторов пространства. Нулевое пространство является подпространством для каждого другого, и каждое векторное пространство является подпространством для трехмерного. 5. Линейная зависимость векторов. Мы будем говорить, что вектор Ь раскладывается по векторам аы ...,аь, если он представилз как их линейная комбинация: найдутся такие коэффициенты, что Ь = = Д1а1+ ...

+ ньаь. Вполне может случиться, что какой-то вектор раскладывается по данной системе векторов, и при этом коэффициенты разложения определены неоднозначно. Например, если аз = а, + аз, то вектор Ь = — аз раскладывается так же., как Ь = — а1 — а или Ь = аз — 2а1 — 2аз и т. д. Посмотрим, с чем это связано. Нулевой вектор раскладывается по любой системе векторов: мы получим нулевой вектор, если возьмем линейную комбинацию этих векторов с нулевыми коэффициентами.

Такая линейная комбинация называется тривиальной. Определение. Система векторов аы ...,аь называется линейно независимой, если нулевой вектор раскладывается по ней единственным образом. Иначе говоря, систезиа векторов линейно независима, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна пулевому вектору, или, подробнее, если из равенства о1аз + ... + оьаь = О следует, что о~ — — ...

—— оь = О. Система векторов аы ..., аь линейно зависима, если нулевой вектор раскладывается по ней не единственным образом, т. е. если найдутся такие коэффициенты оы ...,оз, что оза~ + ... + озал = О, но не все они равны нулю: озз + ... -1- оз, ф О. Рассмотрим свойства линейно-зависимых и линейно-независимых систем векторов. ° Если среди векторов аы ..., аь есть нулевой, то такая система линейно зависима.

Действительно, рассмотрим линейную комбинацию, в которую О входит с коэффициентом 1, а остальные векторы с нулевыми коэффициентами. Эта линейная комбинация нетривиальна и равна нулевому вектору. В частности, Гл. В Векторное алгебра ° Система, содержащая один вектор, линейно зависима, если он нулевой. ° Если к линейно зависимой системе аы ...,аь добавить какие-то векторы Ь|,..., Ь,„ то полученная система векторов будет линейно за- висимой. В самом деле, к игиеюшейся равной О нетривиальной линей- ной комбинации векторов аы ..., аь можно добавить нектары Ьы ..., Ь, с нулевыми коэффициентами. Таким образом, ° Если в системе векторов какая-то часть линейно зависима, то вся система обязательно линейно зависима.

Отсюда от противного следует, что ° Любая часть линейно независимой системы линейно незанисима. Предложение 3. Если вектор х раскладывается по системе векторов аы ...,аь, то это разложение единственно тогда и только тогда, когда система векторов линейно независима. Действительно, пусть существуют два разложения х = о~ а1 -Ь ... ...

+ оьаь и х = Д1аь + ... + 1зьаь. Вычитая их почленно одно из дру- гого, мы получим (о1 — В1)а~ + ... + (оь — Вь)аь = О. Если векторы линейно независимы, отсюда следует, что о1 — В = О, ..., оь — дь = О, т. е. оба разложения совпадают. Обратно, если векторы линейно занисимы, существует их нетри- виальная линейная комбинация, равная нулевому вектору; о~ а~ + ... ... + озал = О.

э1ы можем прибавить ее к имеющемуся разложению х = В1а1 + ... + цьаь и получить новое разложение х по тени же век- торам: х = (о, +,31)а, + ... + (оь + ®аь. Предложение доказано. Предложение 4. Систелса из й > 1 векторов линейно зави- сима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывает- ся по остальным. До к а з а тел ь от во. Пусть система векторов а„..., аь линейно зависима, т. е. существуют такие коэффициенты о ы ..., оь, что ач а1 + ... + оьаь = О, и, например, сы отличен от нуля.

В этом случае мы можеги разложить а1 по остальным векторам: аг оь а1=-=аг —...— — аь. а1 Обратно, пусть один из векторов, например, ам разде~вен по осталь- ным векторам: аь = Дгаз + ... + Дьаь. Это означает, что линейная ком- бинация векторов ам ....,аь с коэффициентами — 1, Вг,..., Вь равна ну- левому вектору.

Предложение доказано. Понятие линейной зависимости будет играть большу ю роль в даль- нейшем изложении, но сейчас мы могли бы обойтись без него ввиду простого геометрического смысла, который имеет это понятие. Теорема 1. Система из одного вектора линейно зависил~а тогда и только тогда, когда это --. нулевой вектор. Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тог- да, когда векторы коллинеарны. 4 С Векторы Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы колгпланарньь Любые четыре вектора линейно зависилгьь Доказательства 1.

Мы уже отмечали, что нулевой вектор составляет линейно зависимую систему. Система. содержащаи только ненулевой вектор линейно независима, так как при его умножении на число, отличное от нуля, получится ненулевой вектор. 2. Пусть векторы а и Ь коллинеарны. Если а = О, то а и Ь линейно зависимы.