Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, страница 5

3. Декартова прямоугольная система координат. Общие декартовы системы координат используются реже, чем специальный класс таких систем декартовы прямоугольные системы координат. Определение. Базис называется ортвнормирвванным, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортоцормнрован, называется декартовой прямоугольной системой координат. Нетрудно проверить, что координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат в пространстве по абсолютной величине равны расстояниям от этой точки до соответствующих координатных плоскостей. Они имеют знак плюс или ьиинус в зависимости от того, лежит точка по ту же или по другую сторону от плоскости, что и конец базисного вектора, перпендикулярного этой плоскости. Аналогично находят координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат на плоскости.

4. Полярная система координат. Декартовы системы координат не единственный способ определять при помощи чисел положение точки на плоскости. Для этого используются многие другие типы координатных систем. Здесь мы опишем некоторые из них. На плоскости часто употребляется полярная система координат. Она определена, если задана точка О, называемая полюсолб и исходящий из полюса луч Е который называется полярной осью.

Положение точки ЛХ фиксируется двумя числами: радиусом г = ~0ЛХ~ и углом ~р между полярной осью и М вектором ОЛХ. Этот утол называется полярным углол1 (рис. 7). г Мы будем измерять полярный утоп в радиа- ег нах и отсчитывать от полярной оси против часовой стрелки. У полюса г = О, а р не определоно. У остальных точек г ) О, а ~р определяется с е~ точностью до слагаемого, кратного 2л. Это озна- Рии 7 Гл. Х. Ветпарная алгебра 20 чает, что пары чисел (т, уг), (т, 9с + 2л) и вообще (т, уе + 2Ьг), где Л.

любое целое число, представляют собой полярные координаты одной и той же точки. Иногда ограничивают изменение полярного угла какими-нибудь условинми, например, О < р < 2л или — и < уг < л. Это устраняет неоднозначность, но зато вводит другие неудобства. Пусть задана полярная система координат и упорядоченная пара чисел (т,уе), из которых первое неотрицательно. Мы можем сопоставить этой парс точку, для которой эти числа нвляютсн полярными координатами. Именно, если т = О.,мы сопоставляем полюс.

Если же т ) О, то паре (т,уг) ставим в соответствие точку, радиус-вектор которой имеет длину т и составляет с полярной осью угол р. При этом парам чисел гт,уг) и (т~.,чг,) сопоставляется одна и та же точка, если т = ты а уг — уг~ — — 2лЛ, где Л целое число. Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, поместив ее начало в полюс О и приняв за базис векторы ег и ег длины 1, направленные соответственно вдоль полярной оси и под углом лгг2 к ней (угол отсчитывается против часовой стрелки). Как легко видеть из рис. 7, декартовы координаты точки выражаются через ее полярные координаты формулами т = т соз уе., у = т зш,р.

(3) 5. Цилиндрические и сферические координаты. В пространстве обобщением полнрных систем координат являются цилиндрические и сферические системы координат. И для тех, и для других фигура, относительно которой определяется положение точки, состоит из точки О, луча 1, исходящего из О, и вектора и, равного по длине 1 и перпендикулярного к 1. Через точку О проведем плоскость О, перпендикулярную вектору и.

Пуч / лежит в этой плоскости. Пусть дана точка ЛХ. Опустим из нее перпендикулнр ЛХЛХ' на плоскость О. Цилиндрические координаты точки ЛХ это три числа т, уг, 6. Числа т и д полярные координаты точки ЛХ' по отношению к полю- Рис. В Рис. 9 су О и полярной оси 1, а Ь компонента вектора ЛХ'ЛХ по вектору и. Она определена, так как эти векторы коллинеарны (рнс. 8). ад. Замена бпэисп и системы координат Сферические координаты точки три числа (г,у1,()). Они определяютсн так: г = ~О.дэХ(.

Как и для цилиндрических координат, 1р угол вектора Охьэ' с лучом| 1, а и --- угол вектора ОЛХ с плоскостью О (рис. 9). УПРажНеНИЯ 1. Дан параллелограмм ОАВС. В нем ~ОА~ = 2, ~ОС~ = 3, угол АОС равен к/3. Найдите координаты точки В в системе координат О, ОС, 0.4. 2. Даны три точки А(х1, у1), В(хи уэ), С(хэ, уэ). Найдите координаты вершины Р параллелограмма АВСР. 3. Нарисуйте на плоскости множества точек, полярные координаты которых связаны соотношениями: а) г = 2/ соево; б) г = 2 сов 32.

4. Пусть О, 1, и - - сферическая система координат. Введем декартову прямоугольную систему координат О, е1, е, п, где е1 направлен вдоль Н а угол к/2 от е1 к е отсчитываетсн в сторону возрастания полярного угла. Напишите формулы, выражающие декартовы координаты через сферические. 3 3. Замена базиса и системы координат (2) е) Здесь Плн удобства адин ив индексов мы располагаем сверху.

Зто не покаветоль степени. Например, о! читветсв "о один-три". 1. Изменение базиса. До сих пор мы предполагали, что рас- сматривается один базис. Однако выбор базиса ничем не ограничен, и принципиальное значение имеет задача о нахождении компонент вектора в одном базисе по его компонентам в другом базисе. При этом положение нового базиса относительно старого должно быть за- дано, а именно должны быть известны компоненты новых базисных векторов е'„е.', и е! в старом базисе е1, ех, ез. Пустьг е', = а,е, + а',еэ+ а',ез, з е!, = а.',е1+ аэез+ аэез, (1) ез = азе1 + азез + аэез.

1 2 3 Произвольный вектор а разложим по базису е', е', е!31 Р Р и = оэе1 + озе + озез. Компоненты этого же вектора в старом базисе обозначим а1, оз, аз. Раскладывал каждый член предыдущего равенства по базису е1, еэ, ез, в силу предложения б 3 1 имеем а1 = аьа1 + азах + аза',, 1 ~ 1 ~ 11 2 / 2 Р оз = а, а, + ахах + ата'1, асз а1111 + а2112 + а31.13' 3 ! 3 ! 3 ! Вж Х. Ветлорнал алгебуа 22 Соотношения (2) и являются решением нашей задачи.

Если нас заинтересует выражение новых компонент через старые, то надо будет решить систему уравнений (2) относительно неизвестных а1, о!г, а~. Результат будет иметь такой же вид, как (2), только коэффициентами будут компоненты старых базисных векторов в новом базисе. Точно тем же способом получаютсн формулы, связывающие компоненты вектора в разных базисах ца плоскости.

Вот они; а1 = а, 11' 1+ азаз. 1 1 1 1 2 1 2 ю (3) аг = а1111 + агаг. Коэффициенты в формулах (2) можно записать в таблицу; аг аг аз 1 1 1 2 2 2 а аг а; з з з 111 а2 аз (4) Она называетсЯ матРиЦей пеРехода от базиса ег,е!г,ег к базисУ е1, ег, ез. В ее столбЦах стоЯт компоненты вектоРов е',, е!г, е~з в стаРом базисе. 2. Изменение системы координат.

Рассмотрим теперь две декаРтовы системы кооРДинат: стаРУю О, ег, ег, ез и новУю 0', е',, ез, ез. Пусть ЛХ произвольная точка, и координаты ее в этих системах обозначены (х, у,з) и (х',у',2'). Поставим себе задачу выразить х, у и 2 через х', у' и 2', считая известным положение новой системы относительно старой. Оно опредслнется координатами (а1, а-, аоз) точки 0' в системе кооРДипат О, ег, ег, ез и компонентами вектоРов е1, е!г, ез, составляющими матрицу перехода (4). Радиус-векторы точки ЛХ относительно точек О и 0' связаны равенством ОЛХ = Осг'+ 0'ЛХ, которое мы можем записать в виде Олх = 00' + 2 е' + у'е~ + 2'ез., (5) так как х', у' и 2' компоненты 0'ЛХ в базисе е'„е!,е~. Разложим кажДый член Равенства (5) по базисУ е1, ег, ез, имел в виДУ, что компоненты векторов ОЛХ и 00' равны координатам точек ЛХ и 0', котоРые мы обозначили (х, У, 2) и (ао, а~з, а5).

Лгы полУчим х = ао + а,х' + азУ' + азз', (6) 2 = ага+ а1х'+ аггУ'+ аг,.'. Равенства (6) представля1от собой закон преобразования координат точки при переходе от одной декартовой системы координат в пространстве к другой такой же системе.

3. Замена декартовой прямоугольной системы координат на плоскости. Формулы перехода от одной декартовой системы координат на плоскости к другой получаются из (6), если там оставить да. Замена Оазиса и системы координат 23 только первые два равенства и в них вычеркнуть члены с х'. и = е1х + езу + ео, 11 1~ 1 2 ~ 2 / 2 (7) у = ибх +азу +по. Рассмотрим частный случай, когда обе системы координат лекартовы прямоугольные. Через со обозначим угол мезкду векторами е1 и е', отсчитываемый в направлении кратчайшего поворота от е1 к ез. Тпгда (рис.

10) ! е, = соз~ре1+ япуез, к / к1 ез — — соз ~12 х — )е1+ яп ~1о х — (ез. 2) 1 2( В разложении е! ставится знак плюс, осли кратчайший поворот от е', к е.', направлен так же, как кратчайший поворот от е', к ез, т. е. если новый базис повернут относительно старого на угол у. Знак е1 Рис. 10. Два случая взаимного расположения ортонорми- рованных базисов на плоскости минус в разложении е!2 ставится в противоположном случае, когда новый базис не может быть получен поворотом старого.

Поскольку сов (д х — 1 = ~ яп со, зш ) со х — ) = ж соз ус, получаем х=х сов~о~у з1п~7+ио, 1 (8) у = х' зш ис х у' соз я + е„", причем при повороте системы координат берутся верхние знаки. Упражнения 1. Выведите формулы замены базиса и замены системы координат на прялшй линии. Как меняются координаты точек прямой, если при неизменном начале координат длина базисного вектора увеличивается вдвое? 2. Пусть 0' серсдиаа стороны АВ треугольника 0.4В. Напишите формулы перехода от системы координат О, ОВ, 0.4 к системе координат О', О'О, О'В. 3. Дана декартова система координат О, еь е, ея Как расположена относительно нес система координат О, е',,е!и ез~, если формулы перехода Р 1 1 имеют внд х = 1 — у — х, у = 1 — х — х, х = 1 — х — у . Гл.

В Векнюрнал алгебра й 4. Скалярное, смешанное и векторное произведения е1 гх1 = (а,е1), оз = (а,ез), оз = (а,ез) (1) а = (а,ег)ег + (а,ез)ез + (а,ез)ез. Доказательство. Пусть а = а~ + + аз + аз, причем каждое слагаемое коллинеарно соответствуюшему базисному вектору. Мы знаем из предложе- 1. Скалярное произведение. Под углом между векторами мы понимаем угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало. В некоторых случаях мы будем указывать, от какого вектора и в каком направлении угол отсчитывается.