Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002, страница 6

Обобщим это правило так, чтобы можно оыло построить другой звездный фрактал. Обозначим число шагов через р и возьмем произвольное число и вместо 4. Тогда мы получим общее правило; 53 Спирали, деревья„звезды Рис. 3.15. Квадратичный звездный фрактал В общем случае индекс отрезка изменяется от 0 до (г+ Ц зг '. Из них ровно г-~- 1 отрезков самой большой длины 1; (г ч 1)(г — !) .— длины г; (~ -, !)(гЗ вЂ” г) — длины г~ и т. д, Рис. 3.13 был построен для р = 5, г= 4, а = 4я! 5, г = 0.35. На рис.

3.15 показан фрактал, построенный для р =. 7, г= 3, а= я,' 2, г =. 0.47. Попробуйте написать программу построенги звездных фракталов с произвольными и, г, а, г. Итак, мы рассмотрели разнообразные конструктивные фракталы, приближение для которых задается достаточно сложной линией. А что же такое линия". Интуитивно мы понимаем, что зто такое. Более строгие математические определения смотрите в Лриюжении !глава 10). Глава 4. Анализ конструктивных фракталов 4.1.

Инвариантные преобразования Фракталы можно определить как множества точек, инвариантных относительно полугруппы сжатий. В самом простом случае сжатие — это масштабное уменьшение с вращением или без него и задается линейным преобразованием плоскости (х,у) ~ 1х',у'): 14.1) Преобразование 14.1) с матрицей А будем для краткости обозначать буквой Т. При с$е1 ~ О (4,2) преобразование !отображение плоскости в себя) имеет единственную неподвижную точку х' = х = О, у' = у = 0.

Тз«п неполвнжной точки 0(0, 0) определяют корни характеристического уравнения а' — (а «- с )з «- Ь = О, Л = е)е! А (4.З ) или «)е11,4 — иЕ) = 0 . (4.4) 1) В случае (и, < 1,(а, <1 точка Π— устойчивая; 2) при 1,и,/ < 1,' а /> 1 — ссдловая (гиперболи геская); 3) при а„! = 1 — эллиптическая; 4) лри <,и,~ > 1, 1,а,< > 1 — неустойчивая. Анализ конструктивных фракталов Говорят, что отображение Т сохраняет шющадь, если!11е1А~ =1.

Поэтому. когда ! и!~ !р ~ = 1, то отображение Т сохраняет площадь. Сохраняющее площадь отображение может иметь лишь точки эллиптического или гиперболического типа. Можно рассматривать произведение двух или большего числа отображений Т, Например, если точка М,(х, у)под действием отображения Т переходит в точку М,(х, у), а точка Мз(х, у), в свою очередь, переходит в точку Мз(х, у), то мы можем записать Мз — ТМь Мз = ТМ, или Мз = Т(ТМ,) = Т'Мь Рассмотрим подробнее отображение, сохраняющее площадь. Рис.

4.1. Отображение, сохраняющее площадь Теорема 4.1: Существует линейное невмрвэкдтшое преобразввиние 1х, уу — > (х, )!) приводящее (4.1) при 1 = 1, <11,~ = !,и,~ =! к виду: < х = х соягх — у з1тзгх У' = Х З1П ГХ + У СОЗ а где а — параметр (угол поворота). Введение в теорию фракта.зов 5б 4.2. Поворот Итак, рассмотрим преобразование поворота на угол а (против часовой стрелки) без растяжения (сжатия), Оно имеет вид: < х' = хсоза-уяпа у' = хыпач-усова (4.5 ) Якобиан Л этого преобразования, очевидно, равен 1.

Формула (4.5) определяет поворот относительно начала координат. Отображение, описывающее поворот относительно произвольной точки (хж уе), записывается в виде: < х' = (х — х„) сова — (у — у,) яп а ж х„ у' = (х — х,)япае(у — у )сова+у„ (4б) Точка (хь уе) — неподвижная точка .

центр вращения. Для примера рассмотрим два поворота:  — поворот влево относительно точки А(0, О) с углом вращения л! 6 и  — поворот вправо относительно точки В(1, О) с углом вращения л! 3. В результате для отрезка АВ на рис. 4.2 получим; И.(АВ) =А,Вз, так как 7(АВ) =:АВп К(АВ1): —.А,В,; М(АВ~=А,В, так как В(АВ~=АзВ, В(А,В)=А,Вп К; х' =-(з/Зх — у)/2 ) х' = (х — т/Зуе1)/2 (4.7) у' = <х+ з/Зу)/2 < у' = (з/Зх+ у — з/3)/2 Заметим, что А1В1 и АзВз параалельны и повернуты относительно АВ на л/б е гг/3 = х/2 (90') . Формально имеем Анализ конструктивных фракталов 57 Рис. 4.2. Сочетание двух вращений Поэтому получаем х'= — у+1/2 И,: у' = х — эГЗ/2 ( х' = — у ч 1/3/2 '(у' = х — 1/2 (4.8 ) с (- Гз )- Гз~ <'(+ Гз -)' Гз' 4 4 < < 4 4 4.3. Сжатие (растяжение) Сжатие (растяжение) связано с изменением масштаба.

Пере- масштабирование илн центральное расширение характеризуется центром и показателем сжатия «с». Так, центральное расширение (сжатие), то есть расширение (сжатие) относительно начала координат, выражается соотношеню1ми х' = сх С: у' = су (4.9 ) Следовательно, Ш, и 1Я являются поворотом на 90'. Положения центров вращения для М, и бй соответственно равны Введение в теорию фракталов а центральное расширение (сжатие) относительно точки (х„у„) — фор- мулами ) х' = с(х — х„) ч х„ '(у' = с(у — у,) е у„ ( 4.10 ) Прп с >1 преобразование С определяет растяжение, а при !с!<! — сжатие.

Для фракталов обычно имеем !с~ <1. При с = — 1 говорят об отражении, оно соответствует повороту относительно точки О на !30'. 4.4. Поворот с растяжением (сжатием) Рис. 4пй Преобразование «поворотчрастяжение» Преобразование «повороттрастяжение» относительно начала координат О имеет вид: Самым важным преобразованием подобия является поворот, скомбинированный с центральным расширением (сжатием). Опрелеляющими характеристиками являются центр и показатель масштабирования. Поворот с расширением — это произведение преобразований: ЯС или СЯ. Здесь порядок преобразований не имеет значения.

Анализ конструктивных фракталов 59 Величина Л = а + Ьг характеризует величину растяжения- сжатия. При Л > 1 имеем раста»гение, а при Л < 1 — сжатие. В координатах преобразование «поворот — растяжение» показано на рис. 4.4. Точка Е с координатами (1, 0) переходит в точку Е' с координатами (а, Ь). При этом масштабный множитель ОЕ'/ОЕ = зГа' + Ьг . Угол вращения а удовлетворяет соотношениям: ОА а АЕ' Ь сова = , з)па = ,Дч.Ьг ' ОЕ',/ гч.бг Рнс.

4.4. Преобразование «поворот-растяжеение» Преобразование «поворот — распгяжепие» относительно произвольного центра записывается в виде; < х' = ах — Ьужс у' = Ьх -ь ау ж д (4.12 ) 4.5. Применение поворота — сжатия Рассмотрим кривую Леви. На рис.

4.5 показаны первые фазы ее построения, Фактически приближение фрактала определяется своими вершинами. Поэтому то, что нам нужно сделать, это на каждом шаге найти вершины (и соединить их прямыми линиями). На рис. 4.5 мож- бО Введение в теорию фрактадов но обнаружить лва поворота-сжатия. Первое преобразование, 7., имеет центр в точке О, л/ 4 — угол вращения и 1/т/2 —. показатель уменьшения. УЛЕ Аь' О(0, 0) Рис. 4.5. Подобные преобразования во фрактале Леви Второе преобразование, Я, имеет центр в точке (1, 0), угол вращения -л!4 и показатель сжатия 1/т/2 . Как Х, так и й преобразуют вершины в другие вершиньз так, что фрактал Леви является инвариантным множеством относительно А, Я и их комбинаций. Л: х'=(х — у)/2 ) х'=(х+у+1)/2 (4.13) у' = (х+ у)/2 (у' = ( — х+ у+ 1)/2 Из(4.13) следуетз Л = 1/2 к1, сова = /2/2.

Точки фрактала Леви на каждом шаге (фазе) р можно получать, например, подвергая правую точку (1, 0) последовательности комбинаций преобразований Е и й, Здесь можно использовать двоичную систему счисления, интерпретируя Ь как двоичную цифру 1, а й — как О. Таким образом, фрактаз состоит из такого же числа точек, сколько чисел между 0 и 1 в двоичной системе, а их бесконечное множество. Анализ конструктивных фракталов 61 Если мы выберем произвольную точку Р в качестве начальной и подвергнем ее преобразованиям 7.

н й несколько раз, то число точек на каждом шаге будет удваиваться.Мы можем изобразить этот процесс в виде дерева с числовыми индексами (рис. 4.6). Например, точка с номером 18 получится в результате преобразования !й!.7 (Р). 16 8 Ф=:17 19 21 1! -В=23 :) 24 3 25 6 26 27 14 ~Ф 7 В 30 5 Рис. 4.6. Нумерация двоичного дерева Если точка Р является точкой фрактала, то и все ее итерации, которые получаются из иее, также будут точками фрактала.

Это один из способов написания программы для построения вершин фрактала. Этот метод быстрый н эффектнвнглй, но требует много машинной памяти. Есть другой способ, который требует значительно мсныпе памяти компьютера. Он называеэся методом «обратного следил (3) н включен в программу «Ргасга!зя. Для этого необходимо по-другому перенумеровать дерево (рис.

4.7). 62 Введение в теорию фракталов и 2 14 15 5 17 22 3 2 23 18 25 26 Ф ~с 19 Рис. 4.7. Нумерация с использованием метода иобратного следа» С помощью этого метода перенумерации мы приходим к самым маленьким ветвям и затем возвращаемся. Приведем пример программы на языке Ваз(с (31 (с небольшой модернизацией) построения фракталов, для которых Е и Я имеют вид: х' = ах — Ьу < х' = сх — оу 41 — с Я: у'=Ьхьау, <у'=с(х-ьсу — с( Итак, Š— это поворот-сжатие относительно точки (О, О) с показателем сжатия тГа ьЬ, а Я вЂ” поворот-сжатие относительно точки (1, О) с показателем сжатия т(с -(- ~7 ~ . Программа использует метод обратного следа, и читатель сможет ее понять, используя рис.

4.7 и полагая р = 4. ВЕМ Программа построения конструктивных фракталов БСНКК(( 12: Сьэ и1нпои ( — 1.1, — 1( — (2.1, 1.41 1МРОТ "Введите число уровней Р"; Р О1М Х1 (Р(, 71(Р1, х2 (Р(, т2 (Р( Анализ конструктивных фракталов )НРОТ 'Введите парамесры преобразовании а, Ь, с, сГ'з а, Ь, с, с) Х1(0) = а: У1(0) = Ь РВЕТ (О, 0): РВЕТ (1, 0): РВЕТ (а, Ь) Б = 1: БОБОВ 110 РОН зп = 1 ТО 2 (Р-1)-1 Б.= Р: и =.п1 ТР и иоа 2 = 0 ТНЕУ и = 1М!(г/2) 110 Б = Б-1.